# Oppgaver: Omvendte funksjoner :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 To funksjoner $f$ og $g$ er omvendte funksjoner dersom $$ f(g(x)) = x \qog g(f(x)) = x $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner. $$ f(x) = 10^x \qog g(x) = \lg (x) $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner. $$ f(x) = \ln (2x) \qog g(x) = \frac{1}{2} e^x $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner. $$ f(x) = x^3 - 4 \qog g(x) = \sqrt[3]{x + 4} $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner. $$ f(x) = \frac{2x + 3}{5} \qog g(x) = \frac{5x - 3}{2} $$ ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 For hver av funksjonene nedenfor: 1. Bestem funksjonsuttrykket til den omvendte funksjonen. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \sqrt{x} + 3 \qder D_f = [0, 4\rangle $$ ::::{answer} $$ f^{-1}(x) = (x - 3)^2 \qder D_{f^{-1}} = [3, 5\rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En funksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = \ln (x - 5) \qder D_g = \langle 5, \to\rangle. $$ ::::{answer} $$ g^{-1}(x) = e^x + 5 \qder D_{g^{-1}} = \real $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En funksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = x^2 + 3 \qder D_h = [0, 2\rangle. $$ ::::{answer} $$ h^{-1}(x) = \sqrt{x - 3} \qder D_{h^{-1}} = [3, 7\rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En funksjon $k$ er gitt ved $$ k(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \qder D_k = \real \setminus \{1\}. $$ ::::{answer} $$ k^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2} \qder D_{k^{-1}} = \real \setminus \{2\}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 Grafen til en funksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. :::{plot} width: 70% function: (x - 1)**2 - 4, f, [1, 4), blue function-endpoints: true xmin: -2 xmax: 5 ymin: -6 ymax: 6 ::: La $g$ være den omvendte funksjonen til $f$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $D_f$ og $V_f$. ::::{answer} $$ D_f = [1, 4\rangle \qog V_f = [-4, 5\rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $D_g$ og $V_g$. ::::{answer} $$ D_g = [-4, 5\rangle \qog V_g = [1, 4\rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $g(-3)$. ::::{answer} $$ g(-3) = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem $g(0)$. ::::{answer} $$ g(0) = 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Én av grafene nedenfor viser grafen til $g$. Avgjør hvilken. Husk å argumentere for svaret ditt. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 25 --- :::{plot} function: 1 - sqrt(x + 4), A, [-4, 5), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: -1 + sqrt(x + 4), B, [-4, 5), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: 1 + sqrt(x + 4), C, [-4, 5), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: 1 + sqrt(x + 4), D, (-4, 5], blue function-endpoints: true ::: :::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Om en funksjon $f$ får du vite at * $f$ har en omvendt funksjon $g$. * $f(2) = 3$ * $f(3) = -4$. Bestem $g(-4)$ og $g(3)$. ::::{answer} $$ g(-4) = 3 $$ $$ g(3) = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Om en funksjon $f$ får du vite at * $f$ har en omvendt funksjon $g$. * $f(1) = 5$ * $f(4) = 0$. Bestem $g(0)$ og $g(5)$. ::::{answer} $$ g(0) = 4 $$ $$ g(5) = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I tabellen nedenfor ser du en verditabell for en funksjon $f$ med definisjonsmengden $$ D_f = \{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}. $$ | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $5$ | |:-----:|:------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:| | $f(x)$ | $3$ | $2$ | $1$ | $-2$ | $4$ | $0$ |
Sett sammen riktig funksjonsverdier for den omvendte funksjonen $g$. :::::::{pair-puzzle} $g(3)$ : $-2$ $g(2)$ : $-1$ $g(1)$ : $0$ $g(-2)$ : $1$ $g(4)$ : $2$ $g(0)$ : $5$ ::::::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner. Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 25 --- :::{plot} function: 0.25 * x**2, A, (-4, 4), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: -0.125 * x**3 + 1, B, (-3, 3], blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: x**3 - 2*x + 1, C, [-2, 2), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: sinh(x), D, [-2, 2), blue function-endpoints: true ::: :::: ::::{answer} Graf B og D. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner. Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 25 xmin: -4 xmax: 5 ymin: -4 ymax: 4 --- :::{plot} function: sqrt(x + 1), A, (1, 4], blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: 2*cbrt(abs(x)) * sign(x), B, [-3, 3], blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: x * exp(-x), C, (-1, 3], blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: x**3 * exp(-x) + 1, D, [-1, 3), blue function-endpoints: true ::: :::: ::::{answer} Graf A, B og D. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner. Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 25 --- :::{plot} function: exp(-x) - 3, A, (-2, 3), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: -ln(x + 2), B, [-1, 3), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: exp(-x**2 + 1), C, (-2, 2], blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: ln(x - 1)**2 , D, [2, 5], blue function-endpoints: true ::: :::: ::::{answer} Graf A, B, og D. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner. Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 25 --- :::{plot} function: -2 * exp(-x) + 2, A, [-1, 4), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: ln(x + 3) - ln(3 - x), B, (-2, 2], blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: -(x - 1) * (x**2 + 1), C, (-1, 2), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} function: x**4 + 2*x - 2, D, [-1, 1], blue function-endpoints: true ymax: 2 ymin: -4 xmax: 3 xmin: -3 ::: :::: ::::{answer} Graf A, B og C. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 1. Avgjør om funksjonene nedenfor har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene der den eksisterer. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} width: 70% function: sqrt(x + 1) + 1, (-1, 3], f, blue function-endpoints: true xmin: -2 xmax: 4 ymin: 0 ymax: 5 ::: ::::{answer} 1. Funksjonen har en omvendt funksjon. 2. $D_{f^{-1}} = \langle 1, 3]$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} width: 70% function: (x - 1)**2 - 4, [1, 4), g, blue function-endpoints: true xmin: -1 xmax: 5 ymin: -6 ymax: 7 ::: ::::{answer} 1. Funksjonen har en omvendt funksjon. 2. $D_{g^{-1}} = [-4, 5\rangle$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} width: 70% function: (x - 1) / (x + 2), h, blue hline: 1, dashed, red vline: -2, dashed, red ::: ::::{answer} 1. Funksjonen har en omvendt funksjon. 2. $D_{h^{-1}} = \real \setminus \{1\}$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{plot} width: 70% function: -sqrt(x + 4) + 2, [-4, 5], k, blue function-endpoints: true xmin: -6 xmax: 6 ymin: -3 ymax: 4 ::: ::::{answer} 1. Funksjonen har en omvendt funksjon. 2. $D_{k^{-1}} = [-1, 2]$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner. 1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 25 xmin: -6 xmax: 6 --- :::{plot} function: 1 / x**2, [-4, 4], f, blue ymax: 7 ymin: -1 function-endpoints: true ::: :::{plot} function: -1/96 * x**3 + 19/24 * x + 7/2, [-4, 4], g, blue ymax: 7 ymin: -1 function-endpoints: true ::: :::{plot} function: -1/3 * (x + 5) + 3, [-5, -2), h, blue function: (3*x + 4) / (x + 4), [-2, 4], blue ymax: 4 ymin: -2 function-endpoints: true ::: :::{plot} function: -3 * x / (x + 8), [-4, 4), k, blue ymax: 4 ymin: -2 function-endpoints: true ::: :::: ::::{answer} Funksjonene $g$, $h$ og $k$ har omvendte funksjoner. Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er $$ \begin{align*} D_{g^{-1}} &= [1, 6] \\ \\ D_{h^{-1}} &= [-1, 3] \\ \\ D_{k^{-1}} &= \langle -1, 3] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner. 1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 25 --- :::{plot} width: 100% function: (x - 1) / (x + 2), [-5, -3), f, blue function: (x - 1) / (x + 2), (-1, 1), blue function-endpoints: true xmax: 3 ymin: -4 ::: :::{plot} width: 100% function: 2*sqrt(x + 2) - 3, [-1, 2], g, blue function: 0.5 * (x - 4)**2 + 1, (2, 4], blue function-endpoints: true xmin: -3 ymin: -3 ::: :::{plot} width: 100% function: x / (x - 2)**2, [1, 4), h, blue function-endpoints: true xmin: -1 xmax: 6 ymin: -1 ymax: 6 ::: :::{plot} width: 100% function: 4 * cbrt(abs(x + 1)) * sign(x + 1), [-2, 7), k, blue xmin: -4 xmax: 9 ymin: -6 ymax: 10 function-endpoints: true ::: :::: ::::{answer} Funksjonene $f$ og $k$ har omvendte funksjoner. Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er $$ \begin{align*} D_{f^{-1}} &= \langle -2, 0\rangle \cup [2, 4\rangle \\ \\ D_{k^{-1}} &= [-4, 8\rangle \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner. 1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 25 --- :::{plot} width: 100% function: 4 * (log(x) / log(2))**2 - 1, [1, 2), f, blue function-endpoints: true xmin: 0 xmax: 3 ymin: -2 ymax: 5 ::: :::{plot} width: 100% function: -(x + 1)**2 + 4, [-3, 1), g, blue function-endpoints: true xmin: -4 xmax: 2 ymin: -1 ymax: 5 ::: :::{plot} width: 100% function: -1/2 * (log(x + 1) / log(2))**2 + 2, (0, 3), h, blue function-endpoints: true xmin: -1 xmax: 4 ymin: -1 ymax: 3 ::: :::{plot} width: 100% function: -1/3 * (x + 2)**2 + 4, (-2, 1], k, blue function: 1.5 * x - 3.5, (1, 3), blue function-endpoints: true xmin: -3 xmax: 4 ymin: -4 ymax: 5 ::: :::: ::::{answer} Funksjonene $f$, $h$ og $k$ har omvendte funksjoner. Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er $$ \begin{align*} D_{f^{-1}} &= [-1, 3\rangle \\ \\ D_{h^{-1}} &= \langle 0, 2\rangle \\ \\ D_{k^{-1}} &= \langle -2, 4\rangle \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en funksjon andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f^{-1}(x)$. :::{plot} width: 70% function: x**2 + 3, [0, 2), f, blue function-endpoints: true xmin: -1 xmax: 3 ymin: -1 ymax: 9 ::: ::::{answer} $$ f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3} \qder D_{f^{-1}} = [3, 7\rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en delt funksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $g^{-1}(x)$. :::{plot} width: 70% function: 1 * (x + 2) - 3, (-2, 1), g, blue function: -2 * (x - 1) + 2, [1, 2], blue function-endpoints: true xmin: -3 xmax: 3 ymin: -4 ymax: 3 ::: ::::{answer} $$ g^{-1}(x) = \begin{cases} x + 1, & -3 < x < 0 \\ \\ -\dfrac{x + 4}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 I figuren nedenfor vises fire grafer, der to og to av grafene er omvendte funksjoner. Avgjør hvilke som hører sammen. ::::{multi-plot2} --- rows: 3 cols: 2 fontsize: 30 xmin: -6 xmax: 6 ymin: -6 ymax: 6 --- :::{plot} width: 100% function: log(x + 3) / log(2) - 2, A, [-2, 5), blue function-endpoints: true ::: :::{plot} width: 100% function: -2 * sqrt(x + 4) + 3, [-4, 5), B, blue function-endpoints: true ::: :::{plot} width: 100% function: 1/4 * (x - 3)**2 - 4, (-3, 3], C, blue function-endpoints: true ::: :::{plot} width: 100% function: -1/2 * (x - 1)**3 + 1, [-1, 3), D, blue function-endpoints: true ::: :::{plot} width: 100% function: cbrt(2*abs(1 - x)) * sign(1 - x) + 1, (-3, 5], E, blue function-endpoints: true ::: :::{plot} width: 100% function: 2**(x + 2) - 3, [-2, 1), F, blue function-endpoints: true ::: :::: ::::{answer} * $A$ og $F$ er omvendte funksjoner. * $B$ og $C$ er omvendte funksjoner. * $D$ og $E$ er omvendte funksjoner. :::: :::::::::::::::