# Omvendte funksjoner: Blandede oppgaver :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2x - 1, \quad D_f = \langle -2, 3] $$ Bestem $f^{-1}(x)$. ::::{answer} $$ f^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{2} \, , \quad D_{f^{-1}} = \langle -5, 5] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Funksjonen $g$ er gitt ved $$ g(x) = x^2 - 1 , \quad D_g = [0, 4\rangle $$ Bestem $g^{-1}(x)$. ::::{answer} $$ g^{-1}(x) = \sqrt{x + 1} \, , \quad D_{g^{-1}} = [-1, 15\rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Funksjonen $h$ er gitt ved $$ h(x) = -x^2 + 4x + 1 \, , \quad D_h = \langle \gets, 2] $$ Bestem $h^{-1}(x)$. ::::{answer} $$ h^{-1}(x) = 2 - \sqrt{5 - x} \, , \quad D_{h^{-1}} = \langle\gets, 5] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Funksjonen $p$ er gitt ved $$ p(x) = e^{x^2 - 4} \, , \quad D_p = \langle 2, \to \rangle $$ Bestem $p^{-1}(x)$. ::::{answer} $$ p^{-1}(x) = \sqrt{\ln x + 4} \, , \quad D_{p^{-1}} = \langle 1, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 Nedenfor viser grafene til fire funksjoner. 1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene hvis de eksisterer. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 30 --- :::{plot} function: (x - 1)**2 - 4, (1, 4], blue function-endpoints: true text: -4, 4, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 0.125 * (x - 1) * (x + 2) * (x - 3) + 1, [-3, 3], blue function-endpoints: true text: -4, 4, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -log(x + 3) / log(2) + 1, [-2, 5), blue function-endpoints: true text: -4, 4, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -2 * (x + 3) + 4, [-2, 1), blue function: 1 * (x - 1) + 1, [1, 4), blue function-endpoints: true text: -4, 4, "D", center-center, bbox ::: :::: ::::{answer} * Graf A og C har omvendte funksjoner. * Definsjonsmengden til $A^{-1}$ er lik $\langle -4, 5]$. * Definisjonsmengden til $C^{-1}$ er lik $\langle -2, 1]$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 Nedenfor vises seks grafer der to og to er omvendte funksjoner til hverandre. Avgjør hvilke grafer som hører sammen. ::::{multi-plot2} --- rows: 3 cols: 2 fontsize: 30 --- :::{plot} function: 0.25*(x + 2)**2 - 4, [-2, 4), blue function-endpoints: true text: -4, 4, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -0.25*(x - 2)**2 + 4, [2, -4), blue function-endpoints: true text: -4, 4, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 2 - 2 * sqrt(4 - x), (-5, 4], blue function-endpoints: true text: -4, 4, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 2*log(x + 4) / log(2) - 2, (-3, 4], blue function-endpoints: true text: -4, 4, "D", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -2 + 2 * sqrt(x + 4), [-4, 5), blue function-endpoints: true text: -4, 4, "E", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -4 + 2**((x + 2)/2), (-2, 4], blue function-endpoints: true text: -4, 4, "F", center-center, bbox ::: :::: ::::{answer} * $A^{-1} = E$ * $B^{-1} = C$ * $D^{-1} = F$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = -2x^3 + 24x $$ Bestem det største intervallet $I = [a, b]$ slik at $f$ har en omvendt funksjon $f^{-1}$ på $I$ og $0 \in I$. ::::{answer} $$ I = [-2, 2] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Funksjonen $g$ er gitt ved $$ g(x) = x e^{-ax^2} \, ,\quad D_g = [-2, 3] $$ For hvilke verdier av $a$ har $g$ en omvendt funksjon? ::::{answer} $$ a \in \left\langle \gets, \dfrac{1}{18}\right] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Funksjonen $h$ er gitt ved $$ h(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x < a \\ \\ x + 7, & x \geq a \end{cases} $$ For hvilke verdier av $a$ har $h$ en omvendt funksjon? ::::{answer} $$ a \leq 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 For en funksjon $f$ kjenner vi disse verdiene for $f(x)$ og $f'(x)$: | $x$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $3$ | |-----|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:| | $f(x)$ | $0$ | $-3$ | $5$ | $2$ |  | $f'(x)$ | $4$ | $-2$ | $1$ | $-3$ |
La $g = f^{-1}$ være den omvendte funksjonen til $f$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $g(5)$. ::::{answer} $$ g(5) = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $g(2)$. ::::{answer} $$ g(2) = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $g'(-3)$. ::::{answer} $$ g'(-3) = -\dfrac{1}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Det finnes bare én tangent til grafen til $g$ som har stigningstall $\dfrac{1}{4}$. Bestem koordinatene til punktet tangenten treffer grafen til $g$. ::::{answer} $$ (0, -2) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 I figuren nedenfor vises grafen til en funksjon $f$. :::{plot} width: 60% function: 2 * (x + 4) - 2, [-4, -1), blue function: -0.5 * (x - 1) + 6, [-1, 5], blue function-endpoints: true xmin: -7 xmax: 7 ymin: -4 ymax: 8 fontsize: 24 ::: Avgjør hvilke påstander nedenfor som er sanne. Rett opp i eventuelle påstander som er gale. :::::{grid} 1 2 2 2 --- gutter: 2 --- ::::{grid-item-card} **Påstand 1** ^^^ $$ f^{-1}(6) = 1 $$ :::: ::::{grid-item-card} **Påstand 2** ^^^ $$ \left(f^{-1}\right)'(0) = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::{grid-item-card} **Påstand 3** ^^^ $$ \left(f^{-1}\right)'(5) = -\dfrac{1}{2} $$ :::: ::::{grid-item-card} **Påstand 4** ^^^ $$ (f^{-1})'(x) > 0 \qfor x \in \langle 2, 4\rangle $$ :::: ::::: ::::{answer} Påstand 1, 2 og 4 er sanne. Påstand 3 er korrekt hvis dersom $(f^{-1})'(5) = -2$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Når du bruker blitsen på et fotokamera, vil batteriet lade den opp igjen. Ladningen $Q$ i blitsen $t$ sekunder etter at den går av, er gitt ved $$ Q(t) = Q_0 \left(1 - e^{-2.3 t}\right) \, , \quad t \geq 0 $$ Her er $Q_0$ den maksimale ladningen i blitsen. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem den omvendte funksjonen til $Q$. ::::{answer} $$ t(Q) = -\dfrac{10}{23}\ln \left(1 - \dfrac{Q}{Q_0}\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hvor lang tid tar det før blitsen har fått 90 prosent av den maksimale ladningen? ::::{answer} $$ t(0.9 \cdot Q_0) = \dfrac{10}{23} \ln 10 \approx 1 \, \mathrm{sekunder} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = e^{4 - 2x} \qfor x \in \mathbb{R} $$ Bestem $(f^{-1})'(1)$. ::::{answer} $$ (f^{-1})'(1) = -\dfrac{1}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Funksjonen $g$ er gitt ved $$ g(x) = x^2 \ln x \qfor x > 0 $$ Bestem $(g^{-1})'(0)$. ::::{answer} $$ (g^{-1})'(0) = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Funksjonen $h$ er gitt ved $$ h(x) = x e^{x^2} \qfor x \in \mathbb{R} $$ Bestem $(h^{-1})'(e)$. ::::{answer} $$ (h^{-1})'(e) = \dfrac{1}{3e} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Funksjonen $p$ er gitt ved $$ p(x) = \ln \left(\dfrac{2 - x}{x^2}\right) \, , \quad D_p = \langle 0, 2\rangle $$ Bestem $(p^{-1})'(\ln 6)$. ::::{answer} $$ (p^{-1})'(\ln 6) = -\dfrac{3}{14} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Om en andregradsfunksjon $f$ får du vite at * Punktet $(2, 5)$ ligger på grafen til $f$. * $(f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{9}$. * Den største mulige definisjonsmengden til $f$ der $f^{-1}$ eksisterer er $D_f = [-1, \to\rangle$. Bestem $f(x)$. ::::{answer} $$ f(x) = \dfrac{3}{2}x^2 + 3x - 7 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 Om to funksjoner $f$ og $g$ får du vite at * Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i punktet $(3, 0)$. * $\left(f^{-1}\right)'(0) = -2$. * $\lim\limits_{x\to 1} g(x)$ eksisterer. * $\left(g^{-1}\right)'(0) = \dfrac{1}{2}$. Avgjør hvilken graf som viser grafen til $f$ og hvilken graf som viser grafen til $g$. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 30 --- :::{plot} function: -2*x + 3, [-1, 1], blue function: 0.5 * (x - 3), (1, 5), blue function-endpoints: true text: 5, 4, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -0.5 * (x - 3), [1, 5), blue function: 2*x + 3, (-1, 1), blue function-endpoints: true text: 5, 4, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 0.5 * x + 3, (-2, 2), blue function: -2 * (x - 3), (2, 5), blue function-endpoints: true text: 5, 4, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -0.5 * x + 3, (-4, 2), blue function: 2*x - 6, (2, 4), blue function-endpoints: true text: 5, 4, "D", center-center, bbox ::: :::: ::::{answer} * $B = f$. * $D = g$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 11 --- class: exercise, full-width --- Nedenfor ser du åtte grafer. * En av grafene er grafen til en funksjon på formen $f(x) = a^x$ der $a$ er positivt helt tall. * Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen $f(x) = x^b - c$ der $b$ og $c$ er positive hele tall. * Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 4 fontsize: 30 --- :::{plot} function: 2**(x - 1) lw: 4 text: -4, 4, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**3 - 1 lw: 4 text: -4, 4, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 6*x lw: 4 text: -4, 4, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 3 * x**2 lw: 4 text: -4, 4, "D", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**2 - 2 lw: 4 text: -4, 4, "E", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**4 - 1 lw: 4 text: -4, 4, "F", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 2**x lw: 4 text: -4, 4, "G", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 2 lw: 4 text: -4, 4, "H", center-center, bbox ::: :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Sorter grafene i par. De to grafene i hvert par skal være grafen til en funksjon og grafen til den dobbeltderiverte til funksjonen. ::::{answer} * $G'' = A$ * $E'' = H$ * $B'' = C$ * $F'' = D$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hvilke av de åtte grafene ovenfor er grafen til funksjoner som har en omvendt funksjon? ::::{answer} $A$, $B$, $C$ og $G$ har omvendte funksjoner. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: ---