# Oppgaver: Derivasjon og omvendte funksjoner :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^4 \qder D_f = \real. $$ 1. Avgjør om $f$ har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen hvis den eksisterer. ::::{answer} $f$ har ikke en omvendt funksjon. :::: ::::{solution} Vi deriverer $f$ for å avgjøre hvor grafen til $f$ stiger og synker. $$ f'(x) = 4x^3 $$ Vi løser $f'(x) = 0$ for å finne eventuelle ekstremalpunkter: $$ f'(x) = 0 \limplies 4x^3 = 0 \liff x = 0 $$ Vi kan tegne en fortegnslinje for $f'(x)$: :::{signchart-2} width: 80% function: 4 * x**3, f'(x) fontsize: 24 ::: Her kan vi se at grafen til $f$ synker før $x = 0$ og stiger etterpå. Dermed er ikke $f$ monoton på hele sin definisjonsmengde, som betyr at $f$ ikke har en omvendt funksjon. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En funksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -x^3 + 1 \qder D_g = [-1, 1\rangle. $$ 1. Avgjør om $g$ har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen hvis den eksisterer. ::::{answer} 1. $g$ har en omvendt funksjon. 2. $D_{g^{-1}} = \langle 0, 2]$. :::: ::::{solution} Vi deriverer $g$ får å avgjøre hvor grafen til $g$ stiger og synker: $$ g'(x) = (-x^3 + 1)' = -3x^2 $$ Så løser vi $g'(x) = 0$ for å undersøke om $g$ har noen ekstremalpunkter: $$ g'(x) = 0 \liff -3x^2 = 0 \liff x = 0 $$ Så tegner vi et fortegnsskjema for $g'(x)$: :::{signchart-2} width: 80% function: -3*x**2, g'(x) ::: Vi kan se at grafen til $g$ synker i hele sin definisjonsmengde, som betyr at $g$ må ha en omvendt funksjon. Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, er lik verdimengden til $g$. For å finne definisjonsmengden til den omvendte funksjonen holder det å regne ut funksjonsverdiene til $g$ i endepunktene av definisjonsmengden til $g$ (siden $g$ alltid synker!): $$ g(-1) = -(-1)^3 + 1 = 2 $$ Dette punktet er inkludert i verdimengden til $g$ siden $x = -1$ er inkludert i definisjonsmengden til $g$. $$ g(1) = -(1)^3 + 1 = 0 $$ Dette punktet er ikke inkludert i verdimengden til $g$ siden $x = 1$ ikke er inkludert i definisjonsmengden til $g$. Dermed er definisjonsmengden til den omvendte funksjonen gitt ved $$ D_{g^{-1}} = \langle 0, 2]. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En funksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = x^3 + 6x - 21 \qder D_h = \langle -2, 1\rangle. $$ 1. Avgjør om $h$ har en omvendt funksjon. 2. Bestem $D_{h^{-1}}$ hvis den omvendte funksjonen eksisterer. ::::{answer} 1. $h$ har en omvendt funksjon. 2. $D_{h^{-1}} = \langle -41, -14\rangle$. :::: ::::{solution} Vi starter med å undersøke hvor $h$ har eventuelle ekstremalpunkter: $$ h'(x) = (x^3 + 6x - 21)' = 3x^2 + 6 $$ som gir $$ h'(x) = 0 \liff 3x^2 + 6 = 0 \liff x^2 + 2 = 0 $$ Dette er det samme som $$ x^2 = -2 $$ som ikke har noen løsning siden vi ikke kan opphøye et tall i $2$ og få noe negativt. Dermed har ikke grafen til $h$ noen ekstremalpunkter. I såfall må den alltid *enten* stige eller synke. Dermed vet vi at $h$ har en omvendt funksjon. Definisjonsmengden til $h^{-1}$ er lik verdimengden til $h$. For å finne denne regner vi ut funksjonsverdiene til $h$ i endepunktene av definisjonsmengden til $h$ (siden $h$ enten alltid stiger eller alltid synker!): $$ h(-2) = (-2)^3 + 6 \cdot (-2) - 21 = -8 - 12 - 21 = -41 $$ $$ h(1) = (1)^3 + 6 \cdot 1 - 21 = 1 + 6 - 21 = -14 $$ Ingen av punktene er inkludert i verdimengden til $h$ siden ingen av endepunktene er inkludert i definisjonsmengden til $h$. Dermed er definisjonsmengden til den omvendte funksjonen gitt ved $$ D_{h^{-1}} = \langle -41, -14\rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En funksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = e^{-(x - 2)^2} \qder D_p = [2, \to\rangle. $$ 1. Avgjør om $p$ har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen hvis den eksisterer. ::::{answer} 1. $p$ har en omvendt funksjon. 2. $D_{p^{-1}} = \langle 0, 1]$. :::: ::::{solution} Vi starter med å undersøke om grafen til $p$ har noen ekstremalpunkter. Vi deriverer først ved å bruke kjerneregelen med $u = -(x - 2)^2$ som kjerne: $$ \begin{align*} p'(x) &= \left(e^{-(x - 2)^2}\right)'\\ \\ &= e^{-(x - 2)^2} \cdot \left(-(x - 2)^2\right)' \\ \\ &= e^{-(x - 2)^2} \cdot (-2(x - 2)) \\ \\ &= -2(x - 2)e^{-(x - 2)^2} \end{align*} $$ Så løser vi $p'(x) = 0$: $$ p'(x) = 0 \limplies -2(x - 2)e^{-(x - 2)^2} = 0 $$ som betyr at $$ x - 2 = 0 \or e^{-(x - 2)^2} = 0 $$ Bare den første likiningen kan bli null, så da får vi at $$ x = 2 $$ Punktet ligger akkurat på kanten av definisjonsmengden. Siden $p$ ikke kan snu fra å stige til å synke eller omvendt uten å ha et ekstremalpunkt i mellom, så må $p$ være monoton i hele sin definisjonsmengde. Dermed har $p$ en omvendt funksjon. Definisjonsmengden til $p^{-1}$ er lik verdimengden til $p$. Vi bestemmer denne ved å regne ut funksjonsverdiene til $p$ i endepunktene av definisjonsmengden til $p$ (siden $p$ enten alltid stiger eller alltid synker!): $$ p(2) = e^{-(2 - 2)^2} = e^0 = 1 $$ Dette punktet er inkludert i verdimengden til $p$ siden $x = 2$ er inkludert i definisjonsmengden til $p$. Siden vi ikke har et endepunkt på andre siden, men $x \to \infty$, så må vi sjekke hva som skjer med $p(x)$ når $x \to \infty$: $$ \lim_{x \to \infty} p(x) = \lim_{x \to \infty} e^{-(x - 2)^2} = e^{-\infty} = 0 $$ Altså vil verdimengden til $p$, og dermed definisjonsmengden til $p^{-1}$ være $$ D_{p^{-1}} = \langle 0, 1]. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x + 3)^2 - 9 \qder D_f = \langle a, \to\rangle. $$ Bestem det minste tallet $a$ slik at $f$ har en omvendt funksjon. ::::{answer} $$ a = -3 $$ :::: ::::{solution} For å bestemme det minste tallet $a$ slik at $f$ har en omvendt funksjon, må vi sjekke hvor grafen til $f$ har ekstremalpunkter. Dette kan vi gjøre ved å løse $f'(x) = 0$: $$ \begin{align*} f'(x) &= \left((x + 3)^2 - 9\right)' \\ \\ &= 2(x + 3) \end{align*} $$ Så løser vi $f'(x) = 0$: $$ f'(x) = 0 \liff 2(x + 3) = 0 \liff x = -3 $$ Altså har grafen til $f$ muligens et ekstremalpunkt i $x = -3$. Vi sjekker ved å tegne et fortegnsskjema for $f'(x)$: :::{signchart-2} width: 80% function: 2 * (x + 3), f'(x) ::: Her ser vi at grafen til $f$ synker før $x = -3$ og stiger etterpå. Dermed vil $f$ ha en omvendt funksjon dersom $a \geq -3$. Det minste tallet for $a$ vi kan velge er derfor $$ a = -3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En funksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -2x^3 + 3x \qder D_g = \langle \gets, a]. $$ Bestem det største tallet $a$ slik at $g$ har en omvendt funksjon. ::::{answer} $$ a = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ :::: ::::{solution} Vi må avgjøre hvor grafen til $g$ har eventuelle ekstremalpunkter, så da løser vi først $g'(x) = 0$: $$ g'(x) = (-2x^3 + 3x)' = -6x^2 + 3 $$ som betyr at $$ g'(x) = 0 \liff -6x^2 + 3 = 0 \liff 6x^2 = 3 $$ som vi kan skrive om til $$ x^2 = \dfrac{1}{2} \liff x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ Deretter tegner vi et fortegnsskjema for $g'(x)$: :::{signchart-2} width: 80% function: -6 * x**2 + 3, g'(x) ::: Vi ser at begge punktene svarer til ekstremalpunkter siden den deriverte skifter fortegn rundt begge punktene. Det betyr at grafen til $g$ skifter fra å synke til å stige når vi kommer forbi det første punktet. Dermed vil det største tallet for $a$ som gir en omvendt funksjon for $g$ være $$ a = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En funksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = (x - 1)^2 - 4 \qder D_h = [a, \to\rangle. $$ 1. Bestem $a$ slik at $h$ har en omvendt funksjon og $D_h$ er størst mulig. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen. ::::{answer} 1. $a = 1$ 2. $D_{h^{-1}} = [-4, \to \rangle$. :::: ::::{solution} Funksjonen $h$ er en andregradsfunksjon der funksjonsuttrykket til $h$ er skrevet på ekstremalpunktsform som betyr at grafen til $h$ har et ekstremalpunkt i $(1, -4)$. Det betyr at det minste tallet $a$ vi kan velge slik at $h$ har en omvendt funksjon og at $D_h$ er størst mulig blir $$ a = 1 $$ Grafen til $h$ er konveks siden den ledende koeffisienten er positiv, så det betyr at grafen til $h$ har et bunnpunkt i $(1, -4)$. Dermed vil $y = -4$ være den laveste mulige verdien på grafen, så verdimengden til $h$ blir $$ V_h = [-4, \to \rangle $$ Verdimengden til $h$ er lik definisjonsmengden til $h^{-1}$, så da følger det at $$ D_{h^{-1}} = [-4, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En funksjon $k$ er gitt ved $$ k(x) = x^2 e^{-x} \qder D_k = [0, a]. $$ 1. Bestem $a$ slik at $k$ har en omvendt funksjon og $D_k$ er størst mulig. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen. ::::{answer} 1. $a = 2$ 2. $D_{k^{-1}} = \left[0, \dfrac{4}{e^2}\right]$ :::: ::::{solution} Vi må undersøke hvor grafen til $k$ har eventuelle ekstremalpunkter. Vi deriverer først ved å bruke produktregelen: $$ \begin{align*} k'(x) &= \left(x^2 e^{-x}\right)' \\ \\ &= (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})' \\ \\ &= 2x e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) \\ \\ &= e^{-x}(2x - x^2) \end{align*} $$ Så løser vi $k'(x) = 0$: $$ k'(x) = 0 \limplies e^{-x}(2x - x^2) = 0 $$ som gir oss at $$ e^{-x} = 0 \or 2x - x^2 = 0 $$ Den første av de to likningene har ingen løsning. Dermed vil $k'(x) = 0$ hvis og bare hvis $$ 2x - x^2 = 0 \liff x(2 - x) = 0 \liff x = 0 \or x = 2 $$ Vi tegner et fortegnsskjema for $k'(x)$: :::{signchart-2} width: 80% function: exp(-x) * (2 * x - x**2), k'(x) ::: Altså vil grafen til $k$ stige mellom $x = 0$ og $x = 2$, men synke etter at $x = 2$. Dermed vil det største tallet for $a$ som gir en omvendt funksjon for $k$ være $$ a = 2. $$ For å finne definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, må vi finne verdimengden til $k$. Vi regner ut funksjonsverdiene til $k$ i endepunktene av definisjonsmengden til $k$ (siden $k$ stiger helt fra $x = 0$ til $x = 2$): $$ k(0) = 0^2 e^{-0} = 0 $$ $$ k(2) = 2^2 e^{-2} = \dfrac{4}{e^2} $$ Dette er endepunktene til verdimengden til $k$, og dermed endepunktene til definisjonsmengden til $k^{-1}$. Dermed har vi at $$ D_{k^{-1}} = \left[0, \dfrac{4}{e^2}\right] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 6x. $$ Bestem det største intervallet $I = [a, b]$ slik at * $1 \in I$ * $f$ har en omvendt funksjon når $I$ er definisjonsmengden til $f$. ::::{answer} $$ I = \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right] $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer ekstremalpunktene til $f$ først slik at vi vet hvor grafen til $f$ stiger og synker: :::{figure} ./figurer/oppgave_3/a/ekstremalpunkter.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: altså er $x = \pm \sqrt{2}$ mulige ekstremalpunkter. Vi kan faktorisere $f'(x)$ som $$ f'(x) = 3\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right) $$ Så tegner vi et fortegnsskjema for $f'(x)$: :::{signchart-2} width: 80% function: 3 * x**2 - 6, f'(x) ::: Vi ser at grafen til $f$ har ekstremalpunkter i $x = \pm\sqrt{2}$. Siden $f$ synker mellom disse punktene og $1 \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, så må vi velge $$ a = -\sqrt{2} \and b = \sqrt{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = x^4 - 6x^2 + 2 \qder D_g = [a, b]. $$ Bestem $a$ og $b$ slik at 1. $g$ har en omvendt funksjon når $D_g = [a, b]$. 2. Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen blir så stor som mulig. 3. $-1 \in D_g$. ::::{answer} $$ a = -\sqrt{3} \and b = 0 $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer eventuelle ekstremalpunkter på grafen til $g$: $$ g'(x) = (x^4 - 6x^2 + 2)' = 4x^3 - 12x = 0 $$ som gir $$ 4x(x^2 - 3) = 0 \liff x = 0 \or x = \pm \sqrt{3}. $$ Vi tegner et fortegnsskjema for $g'(x)$: :::{signchart-2} width: 80% function: 4 * x**3 - 12*x, g'(x) ::: Fra fortegnsskjema ser vi at alle punktene der $g'(x) = 0$ svarer til ekstremalpunkter, så vi må avgrense grafen til $g$ til et intervall som ligger mellom to av de. Siden $-1 \in D_g$, og dette punktet ligger mellom $x = -\sqrt{3}$ og $x = 0$, så må vi velge at $$ a = -\sqrt{3} \and b = 0 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = x^3 e^{-x^2 + 1} \qder D_h = [a, b]. $$ Bestem $a$ og $b$ slik at * $h^{-1}$ eksisterer * $D_{h^{-1}}$ blir så stor som mulig. ::::{answer} $$ a = -\dfrac{\sqrt{6}}{2} \and b = \dfrac{\sqrt{6}}{2} $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å undersøke om $h$ har noen ekstremalpunkter: $$ \begin{align*} h'(x) &= \left(x^3 e^{-x^2 + 1}\right)' \\ \\ &= 3x^2 e^{-x^2 + 1} + x^3 e^{-x^2 + 1} \cdot (-x^2 + 1)' \\ \\ &= 3x^2 e^{-x^2 + 1} + x^3 e^{-x^2 + 1} \cdot (-2x) \\ \\ &= 3x^2 e^{-x^2 + 1} - 2x^4 e^{-x^2 + 1} \\ \\ &= (3 - 2x^2)x^2 e^{-x^2 + 1} \end{align*} $$ Så løser vi $h'(x) = 0$: $$ h'(x) = 0 \limplies (3 - 2x^2)x^2 e^{-x^2 + 1} = 0 $$ som gir at $$ (3 - 2x^2) = 0 \or x^2 = 0 \or e^{-x^2 + 1} = 0 $$ Den siste likningen har ingen løsning. For den første likningen får vi at $$ 3 - 2x^2 = 0 \liff 2x^2 = 3 \liff x^2 = \dfrac{3}{2} \liff x = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{2} $$ Den andre likningen gir oss at $$ x^2 = 0 \liff x = 0. $$ Dermed kan vi faktorisere $h'(x)$ som $$ h'(x) = -2x^2 \left(x + \dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(x - \dfrac{\sqrt{6}}{2}\right) e^{-x^2 + 1} $$ :::{signchart-2} width: 80% function: (3 - 2*x**2) * x**2 * exp(-x**2 + 1), h'(x) ::: Altså ser vi at $x = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ er ekstremalpunkter, mens $x = 0$ bare er et terrassepunkt. Det betyr at $x = 0$ kan være med i $D_h$ uten at $h$ mister sin omvendte funksjon. Dermed kan vi velge at $$ a = -\dfrac{\sqrt{6}}{2} \and b = \dfrac{\sqrt{6}}{2} $$ for at $h^{-1}$ skal eksistere og at $D_{h^{-1}}$ blir så stor som mulig. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $k$ er gitt ved $$ k(x) = (\log_2 x)^2 - \log_2 x + 1 \qder D_k = \langle a, \to\rangle. $$ 1. Bestem det minste tallet $a$ slik at $k$ har en omvendt funksjon. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen for dette tallet $a$. ::::{answer} 1. $a = \sqrt{2}$. 2. $D_{k^{-1}} = \left\langle\dfrac{3}{4}, \to\right\rangle$ :::: ::::{solution} Vi deriverer først $k$ slik at vi kan bestemme eventuelle ekstremalpunkter. Vi husker på at $$ \log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2} \limplies (\log_2 x)' = \dfrac{1}{x \ln 2} $$ Da får vi: $$ \begin{align*} k'(x) &= \left((\log_2 x)^2 - \log_2 x + 1\right)' \\ \\ &= 2 \log_2 x \cdot (\log_2 x)' - (\log_2 x)' + 0 \\ \\ &= 2 \log_2 x \cdot \dfrac{1}{x \ln 2} - \dfrac{1}{x \ln 2} \\ \\ &= \dfrac{2 \log_2 x - 1}{x \ln 2} \end{align*} $$ Så løser vi likningen $k'(x) = 0$ for å finne eventuelle ekstremalpunkter: $$ k'(x) = 0 \limplies \dfrac{2 \log_2 x - 1}{x \ln 2} = 0 $$ For at brøken skal bli null, må telleren være null, så da får vi at $$ 2 \log_2 x - 1 = 0 \liff 2 \log_2 x = 1 \liff \log_2 x = \dfrac{1}{2} $$ som betyr at $$ x = 2^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{2} $$ Det er ikke så rett fram å tegne et fortegnsskjema ved å faktorisere $k'(x)$ siden det ikke er et polynom, men vi kan regne ut $k'(x)$ for én verdi på hver side av $x = \sqrt{2}$ for å avgjøre fortegnet til den deriverte: For $x = 1$ får vi: $$ k'(1) = \dfrac{2 \log_2 1 - 1}{1 \cdot \ln 2} = \dfrac{0 - 1}{\ln 2} = \dfrac{-1}{\ln 2} < 0 $$ og for $x = 2$ får vi: $$ k'(2) = \dfrac{2 \log_2 2 - 1}{2 \cdot \ln 2} = \dfrac{2 \cdot 1 - 1}{2 \cdot \ln 2} = \dfrac{1}{2 \cdot \ln 2} > 0 $$ Dermed må fortegnslinja til $k'(x)$ se slik ut: :::{signchart-2} width: 80% function: (2 * log(x) / log(2) - 1) / (x * log(2)), k'(x) factors: false ::: Siden $x = \sqrt{2}$ svarer til et ekstremalpunkt, så må vi plassere $a$ slik at dette punktet ligger på kanten av definisjonsmengden til $k$. Dermed vil det minste tallet $a$ som gjør at $k$ har en omvendt funksjon være $$ a = \sqrt{2} $$ Definisjonsmengden til $k^{-1}$ er lik verdimengden til $k$. For å finne denne regner vi ut funksjonsverdiene til $k$ i endepunktene av definisjonsmengden til $k$ (siden $k$ stiger helt fra $x = \sqrt{2}$ og utover): $$ k(\sqrt{2}) = (\log_2 \sqrt{2})^2 - \log_2 \sqrt{2} + 1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{4} $$ Når $x \to \infty$, så vil $k(x) \to \infty$ siden $$ \begin{align*} \lim_{x \to \infty} k(x) &= \lim_{x \to \infty} \left((\log_2 x)^2 - \log_2 x + 1\right) \\ \\ &= \lim_{x \to \infty} (\log_2 x)^2 \left(1 - \dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{(\log_2 x)^2}\right) \\ \\ &= \lim_{x \to \infty}(\log_2 x)^2 \cdot \lim_{x \to \infty}\left(1 - \dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{(\log_2 x)^2}\right) \\ \\ &= \lim_{x \to \infty}(\log_2 x)^2 \cdot (1 - 0 + 0) \\ \\ &= \lim_{x \to \infty}(\log_2 x)^2 \\ \\ &= \infty \end{align*} $$ Dermed vil verdimengden til $k$, og dermed definisjonsmengden til $k^{-1}$ være $$ D_{k^{-1}} = \left\langle\dfrac{3}{4}, \to\right\rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 > Notasjonen for den deriverte til den omvendte funksjonen er litt knotete, men vi bør prøve å bli vant til skrivemåten. Å skrive $(f^{-1})'(y)$ er det samme som å skrive $g'(y)$ dersom $g = f^{-1}$. Men ved å bruke denne notasjonen slipper vi å gi et nytt navn til den omvendte funksjonen. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2x^2 + 3 \qder D_f = \langle 0, \to\rangle. $$ Bestem $(f^{-1})'(5)$. ::::{answer} $$ (f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::{solution} Vi vet at $$ (f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(x)} $$ Vi vet at $y = 5$, så vi må finne den tilhørende $x$-verdien. Da løser vi likningen $f(x) = 5$: $$ f(x) = 5 \limplies 2x^2 + 3 = 5 $$ som gir $$ 2x^2 = 2 \liff x = \pm 1 \limplies x = 1 $$ Dermed vil $$ (f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{f'(1)} $$ Da får vi $$ f'(x) = (2x^2 + 3)' = 4x \limplies f'(1) = 4 $$ som betyr at $$ (f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En funksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = x^3 + 2x + 1 \qder D_g = \langle -1, 2\rangle. $$ Bestem $(g^{-1})'(1)$. ::::{answer} $$ \left(g^{-1}\right)'(1) = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::{solution} Vi vet at $$ (g^{-1})'(y) = \dfrac{1}{g'(x)} $$ Vi vet også at $y = 1$, så vi må finne den tilhørende $x$-verdien. Da løser vi likningen $g(x) = 1$: $$ g(x) = 1 \limplies x^3 + 2x + 1 = 1 $$ som gir $$ x^3 + 2x = 0 \limplies x(x^2 + 2) = 0 \liff x = 0 $$ som betyr at $$ (g^{-1})'(1) = \dfrac{1}{g'(0)} $$ Vi har at $$ g'(x) = 3x^2 + 2 \limplies g'(0) = 2. $$ Altså er $$ \left(g^{-1}\right)'(1) = \dfrac{1}{g'(0)} = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En funksjon $f$ er gitt ved $$ h(x) = \sqrt{x^2 + 3} \qder D_h = \langle 0, \to\rangle. $$ Bestem $(h^{-1})'(2)$. ::::{answer} $$ (h^{-1})'(2) = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi vet at $$ (h^{-1})'(y) = \dfrac{1}{h'(x)} $$ Vi vet også at $y = 2$, så vi må finne den tilhørende $x$-verdien. Da løser vi likningen $h(x) = 2$: $$ h(x) = 2 \limplies \sqrt{x^2 + 3} = 2 $$ Vi kvadrerer begge sider og får $$ (\sqrt{x^2 + 3})^2 = 2^2 \limplies x^2 + 3 = 4 \liff x^2 = 1 \limplies x = 1 $$ som betyr at $$ (h^{-1})'(2) = \dfrac{1}{h'(1)} $$ Vi deriverer $h(x)$ med kjerneregelen: $$ h'(x) = \left(\sqrt{x^2 + 3}\right)' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} $$ Da får vi $$ h'(1) = \dfrac{1}{\sqrt{1^2 + 3}} = \dfrac{1}{2} $$ Altså er $$ (h^{-1})'(2) = \dfrac{1}{h'(1)} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En funksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = \dfrac{\ln x}{x} \qder D_p = \langle 0, 2\rangle. $$ Bestem $(p^{-1})'(0)$. ::::{answer} $$ (p^{-1})'(0) = 1 $$ :::: ::::{solution} Vi vet at $$ (p^{-1})'(y) = \dfrac{1}{p'(x)} $$ Vi vet også at $y = 0$, så vi må finne den tilhørende $x$-verdien. Da løser vi likningen $p(x) = 0$: $$ p(x) = 0 \limplies \dfrac{\ln x}{x} = 0 \limplies \ln x = 0 \liff x = 1 $$ som betyr at $$ (p^{-1})'(0) = \dfrac{1}{p'(1)} $$ Vi deriverer $p(x)$ med brøkregelen: $$ p'(x) = \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2} $$ Da får vi $$ p'(1) = \dfrac{1 - \ln 1}{1^2} = 1 $$ Altså er $$ (p^{-1})'(0) = \dfrac{1}{p'(1)} = \dfrac{1}{1} = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En funksjon $f$ har en tangent i punktet $(1, 2)$ med stigningstall $4$. Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $f^{-1}$ i $(2, 1)$. ::::{answer} $$ \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::{solution} Vi har at tangenten til grafen til $f$ i punkt $(1, 2)$ har stigningstall $4$ slik at $f'(1) = 4$. Da vil en tangent i punktet $(2, 1)$ på grafen til $f^{-1}$ ha stigningstallet: $$ \left(f^{-1}\right)'(2) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En funksjon $g$ har nøyaktig én tangent med stigningstall $2$ som går gjennom punktet $(2, 5)$. Bestem koordinatene til punktet på grafen til $g^{-1}$ der $(g^{-1})'(y) = \dfrac{1}{2}$. ::::{answer} $$ (5, 2) $$ :::: ::::{solution} Siden punktet $(2, 5)$ ligger på grafen til $g$, vil punktet $(5, 2)$ ligge på grafen til $g^{-1}$. Siden tangenten til grafen til $g$ har stigningstall $2$ i dette punktet, vil tangenten til grafen til $g^{-1}$ i punktet $(5, 2)$ ha stigningstall: $$ \left(g^{-1}\right)'(5) = \dfrac{1}{g'(2)} = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En funksjon $h$ har en tangent i punktet $(2, h(2))$ som har likningen $$ y = -3x + 7. $$ Bestem koordinatene til et punkt på grafen til $h^{-1}$ der en tangent har stigningstall $-\dfrac{1}{3}$. ::::{answer} $$ \left(1, 2\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En tangent til grafen til $p^{-1}$ i punktet $(4, 1)$ har stigningstall $5$. Bestem $p'(1)$ ::::{answer} $$ p'(1) = \dfrac{1}{5} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x \ln x \qder x \in \langle 0, \to\rangle. $$ La $g$ være den omvendte funksjonen til $f$. Bestem $g'(4)$. ::::{answer} $$ g'(4) \approx 0.45 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 3x - 2 \qder D_f = \real. $$ La $g$ være den omvendte funksjonen til $f$. Bestem $g'(12)$. ::::{answer} $$ g'(12) = \dfrac{1}{15} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 1 $$ og har definisjonsmengden $I = [a, b]$ der $a, b \in \real$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem det største intervallet $I$ slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$. ::::{answer} $$ I = [0, 4] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$. ::::{answer} $$ -\dfrac{1}{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til $g$ har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i punktet $(-10, 3)$. Bestem koordinatene til tangeringspunktet. ::::{answer} $$ \left(-\dfrac{2}{3}, 1\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x e^{-ax} \qder D_f = \langle 0, 3\rangle. $$ der $a > 0$. For hvilke verdier av $a$ har $f$ en omvendt funksjon? ::::{answer} $$ a \in \left\langle 0, \dfrac{1}{3}\right] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + bx^2 - 6 \qder D_g = \langle 2, \to\rangle. $$ For hvilke verdier av $b$ har $g$ en omvendt funksjon? ::::{answer} $$ b \in [-1, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Om en andregradsfunksjon $f$ får du vite at * Den største definisjonsmengden som $f$ har en omvendt funksjon på er $D_f = [2, \to\rangle$. * Punktet $(3, -8)$ ligger på grafen til $f$. * $(f^{-1})'(-8) = \dfrac{1}{2}$ Bestem $f(x)$. ::::{answer} $$ f(x) = x^2 - 4x - 5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Om en tredjegradsfunksjon $g$ får du vite at * Det største lukkede intervallet $g$ har en omvendt funksjon på er $I = [-1, 3]$. * Punktet $(2, 5)$ ligger på grafen til $g$. * $(g^{-1})'(5) = \dfrac{1}{9}$ Bestem $g(x)$. ::::{answer} $$ g(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 17 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^4 - bx^3 + 2 \qder D_f = [-3, \to \rangle. $$ For hvilke verdier av $b$ har $f$ en omvendt funksjon? ::::{hints} Hvordan kommer jeg i gang? Tegn to fortegnslinjer for $f'(x)$ – én der du antar at $b > 0$ og én der du antar at $b < 0$. :::: ::::{answer} $$ b \in \langle \gets, -4] $$ :::: ::::{solution} Vi må passe på at $f$ er monoton i hele sin definisjonsmengde for at det skal eksistere en omvendt funksjon $f^{-1}$. Vi deriverer $f$ og finner ut hvordan $f'(x)$ har eventuelle ekstremalpunkter: $$ f'(x) = (x^4 - bx^3 + 2)' = 4x^3 - 3bx^2 = x^2(4x - 3b) $$ Så løser vi $f'(x) = 0$ for å finne eventuelle ekstremalpunkter: $$ f'(x) = 0 \limplies x^2(4x - 3b) = 0 \liff x = 0 \or x = \dfrac{3b}{4} $$ Siden $f'(x)$ inneholder faktoren $x^2$, så vil ikke fortegnet til $f'(x)$ endre seg når vi passerer gjennom $x = 0$. Det betyr at det er faktoren $(4x - 3b)$ som avgjør når fortegnet til $f'(x)$ endrer seg. Vi må derfor passe på at $x = \dfrac{3b}{4}$ ligger på kanten eller utenfor definisjonsmengden til $f$. For å sikre dette, så må vi kreve at $$ \dfrac{3b}{4} \leq -3 \liff b \leq -4. $$ Altså vil $f$ har en omvendt funksjon dersom $$ b \in \langle \gets, -4]. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} -x^2 + (2 + k)x, & x < k \\ \\ x^2 + (2 - k)x, & x \geq k \end{cases} $$ der $k \in \real$. For hvilke verdier av $k$ har $f$ en omvendt funksjon? ::::{answer} $$ k \in [-2, 2] $$ :::: :::::{solution} Vi lar $$ g(x) = -x^2 + (2 + k)x \qder x < k $$ og $$ h(x) = x^2 + (2 - k)x \qder x \geq k. $$ Både $g$ og $h$ er andregradsfunksjoner som betyr at de er monotone på hver side av ekstremalpunktene sine. Vi har at $$ g'(x) = (-x^2 + (2 + k)x)' = -2x + 2 + k = 0 \liff x = \dfrac{k + 2}{2} $$ Ekstremalpunktet til $g$ vil derfor ligge midt mellom $x = k$ og $x = 2$ siden ekstremalpunktet er gjennomsnittet av de to punktene. Dersom vi velger $k = 2$, så ligger ekstremalpunktet akkurat på kanten av definisjonsmengden til $g$ i $x = k$. Dersom vi velger $k > 2$, så vil ekstremalpunktet havne en plass der $x < k$ og ligge innenfor definisjonsmengden til $g$. Da vil ikke $g$ være en monoton funksjon på sin definisjonsmengde. Det betyr at vi må minst kreve at $k \leq 2$. Figuren nedenfor viser grafen til $f$ når $k > 2$. :::{interactive-graph} interactive-var: k, 2, 6, 64 interactive-var-start: 2 function: -x**2 + (2 + k) * x, (-10, k), blue function: x**2 + (2 - k) * x, [k, 10), red function-endpoints: true ymin: -17 ymax: 17 xmax: 7 yticks: off grid: off width: 70% ::: På samme måte har vi at $$ h'(x) = (x^2 + (2 - k)x)' = 2x + 2 - k = 0 \liff x = \dfrac{k - 2}{2} $$ Ekstremalpunktet til $h$ vil derfor ligge midt mellom $x = k$ og $x = -2$ siden ekstremalpunktet er gjennomsnittet av de to punktene. Dersom vi velger $k = -2$, så ligger ekstremalpunktet akkurat på kanten av definisjonsmengden til $h$ i $x = k$. Dersom vi velger $k < -2$, så vil ekstremalpunktet havne en plass der $x > k$ og ligge innenfor definisjonsmengden til $h$. Da vil ikke $h$ være en monoton funksjon. Det betyr at vi må minst kreve at $k \geq -2$. Figuren nedenfor viser grafen til $f$ når $k < -2$. :::{interactive-graph} interactive-var: k, -6, -2, 64 interactive-var-start: -2 function: -x**2 + (2 + k) * x, (-10, k), blue function: x**2 + (2 - k) * x, [k, 10), red function-endpoints: true ymin: -17 ymax: 17 xmin: -7 yticks: off grid: off width: 70% ::: Altså må $$ k \geq -2 \and k \leq 2 \liff k \in [-2, 2]. $$ Da vil $f$ være monoton på hele sin definisjonsmengde siden både $g$ og $h$ blir det. Dermed har $f$ en omvendt funksjon dersom $$ k \in [-2, 2]. $$ Nedenfor vises grafen til $f$ for disse verdiene av $k$. :::{interactive-graph} interactive-var: k, -2, 2, 64 interactive-var-start: -2 function: -x**2 + (2 + k) * x, (-10, k), blue function: x**2 + (2 - k) * x, [k, 10), red function-endpoints: true ymin: -16 ymax: 16 yticks: off grid: off width: 70% ::: ::::: :::::::::::::::