# Derivasjon og omvendte funksjoner ::::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne avgjøre om en funksjon har en omvendt funksjon ved hjelp av derivasjon, og bruke dette til å bestemme egenskaper ved funksjonen og dens omvendte funksjon. * Kunne bestemme den deriverte av en omvendt funksjon. * Kunne bruke digitale hjelpemidler til å bestemme den deriverte av en omvendt funksjon i et punkt. :::: ## Eksistens av omvendte funksjoner og derivasjon Hvis vi ikke har grafen til $f$, kan vi bruke den deriverte $f'(x)$ til å avgjøre om $f$ er en monoton funksjon og dermed om den har en omvendt funksjon. :::::::::::::::{summary} Monotone funksjoner og den deriverte En tilstrekkelig betingelse for at en funksjon $f$ er monoton i sin definisjonsmengde, er at den deriverte $f'(x)$ har samme fortegn for alle $x$ i definisjonsmengden til $f$. * Hvis $f'(x) > 0$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f$, så er $f$ strengt voksende. * Hvis $f'(x) < 0$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f$, så er $f$ strengt avtakende. Vi kan også tillate at $f'(x) = 0$ for enkelte verdier så lenge $f'(x)$ ikke bytter fortegn der. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 fontsize: 30 --- :::{plot} width: 100% function: (x - 1) * (x**2 - x + 1), (-1, 3], blue function-endpoints: true ticks: off ymax: 18 ymin: -10 xmax: 4 xmin: -2 text: 0.5 * (4 + 0), 16, "Strengt voksende", top-center, bbox text: -1, 5, "$f'(x) > 0$", top-center, bbox ::: :::{plot} width: 100% function: -(x - 1) * (x**2 - x + 1), (-1, 3], blue function-endpoints: true ticks: off ymax: 12 ymin: -16 xmax: 4 xmin: -2 text: 0.5 * (4 + 0), 10, "Strengt avtakende", top-center, bbox text: -1, -7, "$f'(x) < 0$", top-center, bbox ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 12x + 2 \qder D_f = \langle -2, 2 \rangle. $$ Avgjør om $f$ har en omvendt funksjon. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi starter med å undersøke om $f$ er en monoton funksjon i definisjonsmengden sin. For å gjøre dette, tegner vi en fortegnslinje for $f'(x)$. Vi starter med å løse $f'(x) = 0$ så vi kan faktorisere uttrykket: $$ f'(x) = 3x^2 - 12 \limplies 3x^2 - 12 = 0 \limplies x^2 = 4 \limplies x = \pm 2 $$ $$ f'(x) = 0\limplies 3x^2 - 12 = 0 $$ $$ 3x^2 = 12 \limplies x^2 = 4 \limplies x = \pm 2 $$ Altså kan vi faktorisere $f'(x)$ slik: $$ f'(x) = 3(x + 2)(x - 2) $$ Så tegner vi et fortegnsskjema for den deriverte: :::{signchart} width: 100% function: 3*x**2 - 12, f'(x) ::: Vi ser at $f'(x) < 0$ for alle $x \in \langle -2, 2 \rangle$. Dermed er $f$ strengt avtakende i definisjonsmengden sin, og vi kan konkludere med at $f$ har en omvendt funksjon. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x + 1 \qder D_f = [1, \to\rangle. $$ Avgjør om $f$ har en omvendt funksjon. ::::{solution} Vi må undersøke om $f$ er strengt voksende eller avtakende i definisjonsmengden sin. For å gjøre dette, tegner vi en fortegnslinje for $f'(x)$. Den deriverte er $$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$ Vi starter med å løse $f'(x) = 0$ så vi kan faktorisere uttrykket: $$ f'(x) = 0 \limplies 3x^2 - 3 = 0 \limplies x^2 = 1 \limplies x = \pm 1 $$ Altså kan vi faktorisere $f'(x)$ slik: $$ f'(x) = 3(x - 1)(x + 1) $$ Så tegner vi et fortegnsskjema for den deriverte: :::{signchart} width: 100% function: 3*x**2 - 3, f'(x) ::: Vi kan se at $f'(x) > 0$ for alle $x \in \langle 1, \to\rangle$ og at $f'(1) = 0$. Dette betyr at $f$ er strengt voksende i definisjonsmengden sin og dermed har $f$ en omvendt funksjon. :::: ::::::::::::::: --- I en del tilfeller, så ønsker vi å bestemme en definisjonsmengde for en funksjon slik at den har en omvendt funksjon. Da bruker vi også den deriverte til å finne en passende definisjonsmengde. :::::::::::::::{example} Eksempel 2 :::{plot} align: right width: 100% fontsize: 30 function: x * exp(-x), f, [0, 10], blue xmin: -1 xmax: 3 ymin: -0.5 ymax: 0.6 vline: 1, 0, f(1), dashed, red text: 1, 0, "$a$", bottom-center ticks: off ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = xe^{-x} \qder D_f = [0, a] $$ for et tall $a > 0$. 1. Bestem hvilken verdi av $a$ som gjør at $f$ har en omvendt funksjon i en så stor definisjonsmengde som mulig. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi bestemmer først den deriverte (med produktregelen): $$ f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x} $$ Deretter skal vi undersøke fortegnet til $f'(x)$. Vi trenger nullpunktene til $f'$ så vi kan tegne et fortegnsskjema: $$ f'(x) = 0 \limplies (1 - x)e^{-x} = 0 \limplies x = 1 $$ Så tegner vi et fortegnsskjema: :::{signchart} width: 100% function: (1 - x)*exp(-x), f'(x) ::: Fra fortegnsskjema ser vi at $f'$ er strengt voksende når $x \leq 1$. Deretter endrer $f'(x)$ fortegn. Siden definisjonsmengden skal være på formen $D_f = [0, a]$, så vil den verdien av $a$ som både sikrer at $f$ har en omvendt funksjon, og som gir størst mulig definisjonsmengde, være $a = 1$. Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen vil være lik verdimengden til $f$ på $D_f = [0, 1]$. Siden funksjonen er strengt voksende, så holder å regne ut $f(0)$ og $f(1)$ for å finne verdimengden: $$ f(0) = 0 \qog f(1) = \dfrac{1}{e} $$ Dermed er verdimengden til $f$ gitt ved $V_f = \left[0, \dfrac{1}{e}\right]$. Dette er det samme som definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, altså $$ D_{f^{-1}} = \left[0, \dfrac{1}{e}\right] $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2 :::{plot} align: right width: 100% fontsize: 30 function: x * log(x), f, (0, 2), blue xmin: -0.5 xmax: 2.5 ymin: -0.6 ymax: 0.6 ticks: off vline: 1/exp(1), 0, f(1/exp(1)), dashed, red text: 1/exp(1), 0, "$a$", top-center ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x \ln x \qder D_f = [a, \to\rangle $$ der $a > 0$. Bestem $a$ slik at 1. $f$ har en omvendt funksjon og har en så stor definisjonsmengde som mulig. 2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen. ::::{solution} Vi bestemmer først den deriverte (med produktregelen): $$ f'(x) = (x \ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 $$ Deretter skal vi undersøke fortegnet til $f'(x)$. Vi trenger nullpunktene til $f'$ så vi kan tegne et fortegnsskjema: $$ f'(x) = 0 \limplies \ln x + 1 = 0 \limplies \ln x = -1 \limplies x = \dfrac{1}{e} $$ Vi kan merke oss at $$ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (\ln x + 1) = -\infty $$ og at $$ \lim_{x \to \infty} f'(x) = \lim_{x \to \infty} (\ln x + 1) = \infty $$ Dermed så vil $f'(x) < 0$ før $x = \dfrac{1}{e}$ og $f'(x) > 0$ etter $x = \dfrac{1}{e}$. Siden definisjonsmengden skal være på formen $D_f = [a, \to\rangle$, så vil den verdien av $a$ som både sikrer at $f$ har en omvendt funksjon, og som gir størst mulig definisjonsmengde, være $$ a = \dfrac{1}{e}. $$ Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen vil være lik verdimengden til $f$ på $D_f = \left[\dfrac{1}{e}, \to\right\rangle$. Siden funksjonen er strengt voksende der, så holder å regne ut $f\left(\dfrac{1}{e}\right)$ for å finne verdimengden: $$ f\left(\dfrac{1}{e}\right) = \dfrac{1}{e} \ln\left(\dfrac{1}{e}\right) = \dfrac{1}{e} \cdot (-1) = -\dfrac{1}{e} $$ Når $x \to \infty$, så vil også $f(x) \to \infty$. Dermed er verdimengden til $f$ gitt ved $$ V_f = \left[-\dfrac{1}{e}, \to\right\rangle. $$ Dette er det samme som definisjonsmengden til den omvendte funksjonen, altså $$ D_{f^{-1}} = \left[-\dfrac{1}{e}, \to\right\rangle. $$ :::: ::::::::::::::: ## Den deriverte av den omvendte funksjonen Selv om en funksjon $f$ har en omvendt funksjon $f^{-1}$ er det ikke alltid vi kan bestemme $f^{-1}(x)$ som en formel. I en del sammenhenger ønsker vi likevel å kunne bestemme den deriverte av den omvendte funksjonen, $\left(f^{-1}\right)'(x)$, og her skal vi se at dette er mulig å gjøre uten å kjenne formelen til den omvendte funksjonen. La $g = f^{-1}$ være den omvendte funksjonen til $f$. Fra definisjonen av omvendte funksjoner vet vi at $$ g(f(x)) = x $$ Vi deriverer likningen på hver side. Fra kjerneregelen for derivasjon får vi da $$ (g(f(x)))' = x' \limplies g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1 $$ som betyr at $$ g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} $$ Altså kan vi bestemme den deriverte til en omvendt funksjon dersom vi kjenner til $f(x)$ og $f'(x)$. Formelen forutsetter at $f'(x) \neq 0$ slik at vi ikke deler på null. :::::::::::::::{summary} Den deriverte av en omvendt funksjon La $f$ være en funksjon og $g = f^{-1}$ være den omvendte funksjonen til $f$. Da er den deriverte til den omvendte funksjonen i $y = f(x)$ gitt ved $$ g'(y) = \frac{1}{f'(x)} $$ der $y = f(x)$ og $f'(x) \neq 0$. Dersom vi ønsker å bruke $f^{-1}$ i formelen, så kan vi skrive den slik: $$ \left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)} $$ For et punkt $(a, b)$ på grafen til $f$ vil en tangent til grafen til $f$ i punktet $(a, b)$ ha stigningstall $f'(a)$. Den tilsvarende tangenten til grafen til $f^{-1}$ i punktet $(b, a)$ vil da ha stigningstall $\dfrac{1}{f'(a)}$. Se figuren nedenfor. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 xmin: -1 xmax: 5 ymin: -1 ymax: 5 fontsize: 25 --- :::{plot} function: x**2, f, (0, 2), blue function-endpoints: true ticks: off tangent: sqrt(2), f, dashed, red point: (sqrt(2), f(sqrt(2))) text: sqrt(2), f(sqrt(2)), "$(a, b)$", bottom-right xmin: -1 xmax: 5 ymin: -1 ymax: 5 annotate: (2.5, 1), (2, 3.66), "Stigningstall: $f'(a)$" ::: :::{plot} function: sqrt(x), g, (0, 4), blue function-endpoints: true ticks: off tangent: 2, g, dashed, red point: (2, g(2)) text: 2, g(2), "$(b, a)$", top-left xmin: -1 xmax: 5 ymin: -1 ymax: 5 annotate: (2, 4), (3.66, 2), "Stigningstall: $\\displaystyle \\frac{1}{f'(a)}$" ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 3 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 - 4x + 3 \qder D_f = [2, \to\rangle. $$ La $g$ være den omvendte funksjonen til $f$. Bestem $g'(3)$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Først må vi løse likningen $f(x) = 3$ for å finne $x$-verdien som tilsvarer $y = 3$. $$ f(x) = 3 \liff x^2 - 4x + 3 = 3 $$ $$ x^2 - 4x = 0 \liff x(x - 4) = 0 $$ som gir $$ x = 0 \or x = 4 $$ Det er bare $x = 4 \in D_f$, så vi har at $f(4) = 3$. Da har vi at $$ g'(y) = \dfrac{1}{f'(x)} \limplies g'(3) = \frac{1}{f'(4)} $$ Vi bestemmer $f'(4)$: $$ f'(x) = 2x - 4 \limplies f'(4) = 4 $$ Altså er $$ g'(3) = \frac{1}{4} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 3 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 2x + 8 \qder D_f = [2, \to\rangle. $$ La $g = f^{-1}$ være den omvendte funksjonen til $f$. Bestem $g'(0)$. ::::{answer} $$ g'(0) = -\frac{1}{6} $$ :::: ::::{solution} Siden vi skal regne ut $g'(0)$, så må vi vite $x$-verdien som tilsvarer $y = 0$. Vi løser derfor likningen $$ f(x) = 0 \liff -x^2 + 2x + 8 = 0 $$ $$ x = -\dfrac{2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 8}}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2 \pm 6}{-2} $$ $$ x = 4 \or x = -2 $$ Det er bare $x = 4 \in D_f$, så vi har at $f(4) = 0$. Da har vi at $$ g'(y) = \dfrac{1}{f'(x)} \limplies g'(0) = \frac{1}{f'(4)} $$ Vi bestemmer $f'(4)$: $$ f'(x) = -2x + 2 \limplies f'(4) = -6 $$ Altså er $$ g'(0) = -\frac{1}{6} $$ :::: ::::::::::::::: --- Vi tar et eksempel til. :::::::::::::::{example} Eksempel 4 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x\ln x \qder D_f = \langle 1, \to\rangle. $$ La $g = f^{-1}$. Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(1, e)$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Punkter $(b, a)$ på grafen til $g$ vil tilsvare punkter $(a, b)$ på grafen til $f$. Det betyr at punktet $(1, e)$ på grafen til $g$ tilsvarer punktet $(e, 1)$ på grafen til $f$. Vi skal altså bestemme $g'(1)$, og det kan vi gjøre ved å finne $f'(e)$ først og så bruke $$ g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \limplies g'(1) = \frac{1}{f'(e)} $$ Vi bestemmer $f'(e)$: $$ f'(x) = \ln x + 1 \limplies f'(e) = 2 $$ Altså er $$ g'(1) = \frac{1}{2} $$ Dermed er stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(1, e)$ lik $\dfrac{1}{2}$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 4 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + x + 1 \qder D_f = \real. $$ Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $f^{-1}$ i punktet $(3, 1)$. ::::{answer} Stigningstallet er $\dfrac{1}{4}$ :::: ::::{solution} Vi skal bestemme stigningstallet til tangenten til grafen til $f^{-1}$ i punktet $(3, 1)$. Dette tilsvarer å bestemme $\left(f^{-1}\right)'(3)$. Siden punktet $(3, 1)$ ligger på grafen til $f^{-1}$ så ligger det tilsvarende punktet $(3, 1)$ på grafen til $f$. Det betyr at $$ \left(f^{-1}\right)'(3) = \frac{1}{f'(1)} $$ Vi bestemmer $f'(1)$: $$ f'(x) = 3x^2 + 1 \limplies f'(1) = 4 $$ Altså er $$ \left(f^{-1}\right)'(3) = \frac{1}{4} $$ Dette er stigningstallet til tangenten til grafen til $f^{-1}$ i punktet $(3, 1)$. :::: ::::::::::::::: --- ## Løsning med digitale verktøy Når vi skal bestemme den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt, er vi avhengig av å løse likningen $f(x) = y$, slik at vi vet hvilket punkt $(y, x)$ på grafen til $f^{-1}$ vi skal regne ut den deriverte i med formelen $$ \left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)} $$ For en del funksjoner er det vanskelig å løse likningen $f(x) = y$ ved regning. I slike tilfeller kan vi bruke digitale hjelpemidler for å finne den tilhørende $x$-verdien slik at vi kan bestemme $\left(f^{-1}\right)'(y)$. :::::::::::::::{example} Eksempel 5 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 e^{-x} \qder D_f = [0, 2\rangle. $$ Bestem $\left(f^{-1}\right)'(1)$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- > Bruk CAS-vinduet til å følge regningen i eksempelet. :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Vi må først løse likningen $f(x) = 1$ slik at vi vet hvilken $x$-verdi som tilsvarer $y = 1$ på grafen til $f$ slik at vi kan bruke $$ g'(y) = \frac{1}{f'(x)} $$ I gif-en nedenfor viser vi hvordan vi kan gå frem for å gjøre dette med CAS. :::{figure} ./gifer/derivasjon_omvendte_funksjoner.webp --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Vi får at $x \approx -0.7$ ved å løse likningen $f(x) = 1$ numerisk ved å bruke {ggb-icon}`mode_nsolve` i CAS. Så regner vi ut den deriverte til den omvendte funksjonen og får: $$ g'(1) = \frac{1}{f'(-0.7)} \approx -0.26 $$ :::: :::::::::::::::