# Løsning med digitale verktøy :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 I gif-en nedenfor vises hvordan vi kan løse en logaritmelikning med CAS i GeoGebra. Vi bruker {ggb-icon}`mode_solve` for å løse likningen **eksakt**. :::{figure} ./videoer/lg_likning.webp --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Løs likningene nedenfor med CAS. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ \lg(x) + \lg(x - 3) = 1 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ \lg(x + 2) - \lg(x - 2) = 2 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c > For å bruke den naturlige logaritmen, skriver vi bare `ln(x)` i stedet for `lg(x)` i CAS.
:::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ \ln(x^2 + 1) - \ln(x + 3) = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ (\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 Mange likninger kan *ikke* løses eksakt fordi det er umulig å få $x$ alene. Bruker vi {ggb-icon}`mode_solve` får vi bare `{?}` som utskrift fordi det går ikke løse den eksakt. Da må i stedet løse likningen **numerisk** – da finner vi bare en tilnærmet tallverdi for løsningen av likningen. Det kan vi gjøre ved å bruke {ggb-icon}`mode_nsolve` i CAS. Se gif-en nedenfor. :::{figure} ./videoer/numerisk_1.webp --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Løs likningene nedenfor numerisk med CAS. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ x \ln x - 2 = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ x^2 \ln x - 3\cdot (\ln x)^2 = 10 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ (\ln x)^2 + \ln(x - 1) = 1 $$ ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 Vi må være litt forsiktige når vi løser likninger numerisk, for det er mulig å miste løsninger dersom vi ikke er oppmerksomme på hvordan vi gjør det. I gif-en nedenfor løser vi likningen ved å først bruke {ggb-icon}`mode_nsolve` direkte uten å "registrere" likningen først. Da får vi bare én løsning. Hvis vi derimot registrerer den først og deretter bruker {ggb-icon}`mode_nsolve`, får vi alle løsningene. :::{figure} ./videoer/numerisk_2.webp --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Løs likningene nedenfor numerisk med CAS. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ x^2 \ln \dfrac{1}{x^2} + x^2 - \dfrac{1}{2x} = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ x^2 \ln x - 2^x = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ (x^2 - 2) \ln x = 4 $$ ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 En annen vanlig skrivemåte for $e^x$ i matematikken er $e^x = \exp (x)$. I CAS, så må vi bruke denne skrivemåten for å bruke $e^x$. Se gif-en nedenfor for et eksempel: :::{figure} ./videoer/exp_1.webp --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Løs likningene nedenfor eksakt. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ e^x - 2 = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ e^{2x} - e^x - 2 = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ e^x + 3e^{-x} = 4 $$ ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 Ifølge Newtons avkjølingslov vil temperaturen $T$ til en gjenstand etter $t$ minutter være gitt ved $$ \ln (T - T_0) = -k\cdot t + r $$ der $k$ og $t$ er konstander og $T_0$ er romtemperaturen. I et rom er temperaturen $22 \, \degree \mathrm{C}$. Vi setter en kopp med kaffe som har temperaturen $82 \, \degree \mathrm{C}$ inn i rommet. Etter $2$ minutter er temperaturen på kaffen $66 \, \degree \mathrm{C}$. Hvor lang tid tar det før kaffen har en temperatur som er mindre enn $40 \, \degree \mathrm{C}$? :::{cas-popup} ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 **Momentmagnitudeskalaen** (ruller ikke av tunga for å si det sånn!) er en skala for å måle størrelsen på jordskjelv. Sammenhengen mellom momentmagnituden $M$ og energien $E$ som frigjøres ved et jordskjelv er gitt ved $$ M = \dfrac{2}{3} \lg E - 3.2 $$ **Energien** $E$ måles med enheten Joule, J. :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem et uttrykk for energien $E$ som løses ut i et jordskjelv. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem hvor mye energi som utløses når et jordskjelv måles til å ha $4.7$ på momentmagnitudeskalaen. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Hvor mange ganger så stor er energien som frigjøres av et jordskjelv dersom $M$ øker med $1$? ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 Sammenhengen mellom lydstyrken $L$ (målt i desibel, dB) og lydintensiteten $I$ (målt i watt per kvadratmeter, $\mathrm{W/m^2}$) er gitt ved $$ L = 120 + 10 \lg I $$ Menneskets øre har en smertegrense for lydstyrke som ligger omkring 130 dB. :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem lydintensiteten når lydstyrken er $130$ dB. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hvor mange prosent øker lydintensiteten når lydstyrken øker med 2 dB? ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Dersom effekten til lyden som sendes ut fra en lydkilde er $E$, vil lydintensiteten $I$ avta med kvadratet av avstanden $r$ fra lydkilden, altså $$ I = \dfrac{E}{4\pi r^2} $$ Lydstyrken fra et fly er 140 dB dersom du er 50 m fra flyet. Bestem den minste avstanden til dette flyet der lydstyrken er lavere enn smertegrensen for mennesker. ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::