# Logaritmelikninger og eksponentiallikninger > Merk at i alle typene likninger nedenfor, så vil hvilken som helst logaritme funke. Vi bruker ofte den naturlige logaritmen $\ln(x)$ eller den 10-logaritmen $\lg(x)$ i eksemplene, men de samme strategiene funker uansett hvilken logaritme vi bruker. ## Logaritmelikninger ### Type 1: $\ln a = \ln b$ eller $\ln a = b$. :::::::::::::::{example} Eksempel 1 Løs likningen $\ln(2x) = \ln(3x - 5)$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- $$ \ln (2x) = \ln (3x - 5) $$ $$ 2x = 3x - 5 $$ $$ -x = -5 $$ $$ x = 5. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Løs likningen $$ \lg (4x + 36) = 2 $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- $$ \lg (4x + 36) = 2 $$ $$ 4x + 36 = 10^2 $$ $$ 4x = 100 - 36 $$ $$ 4x = 64 $$ $$ x = 16. $$ :::: ::::::::::::::: ### Type 2: $\lg f(x) \pm \lg g(x) = k$ :::::::::::::::{summary} Strategi for likninger på formen $\lg f(x) \pm \lg g(x) = k$ 1. Bruk logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til **én logaritme** $\lg p(x)$. 2. Bruk at $\lg p(x) = k \iff p(x) = 10^{k}$ til å skrive om likningen til en **eksponentiallikning** ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 3 Løs likningen $$ \lg x^2 + 2 \lg x^3 + \lg \dfrac{1}{x^4} = 8 $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme: $$ \lg x^2 + 2 \lg x^3 + \lg \dfrac{1}{x^4} = 8 $$ $$ 2 \lg x + 2 \cdot 3 \lg x + \lg x^{-4} = 8 $$ $$ 2 \lg x + 6 \lg x - 4\lg x = 8 $$ $$ 4 \lg x = 8 $$ $$ \lg x = 2 $$ $$ x = 10^2 = 100 $$ Siden opprinnelige likningen inneholder en logaritme der vi bruker en potens av $x$ som er opphøyd i et oddetall, så vil ikke noen negative løsninger være gyldige. Dermed vil den eneste mulige løsningen være $$ x = 100 $$ > Hvis derimot en likning bare inneholdt logaritmen til potenser av $x^2$, $x^4$, $x^6$, så er en negativ løsning også gyldig. Hvis løsningen da var $x = 100$, så ville $x = -100$ og $x = 100$ være gyldige løsninger siden både $(-100)^2$, $(-100)^4$, $(-100)^6$ og så videre er positive tall. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 4 Løs likningen $$ \lg x + \lg (x - 3) = 1 $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi samler venstresiden som én logaritme: $$ \lg x + \lg (x - 3) = 1 $$ $$ \lg (x(x - 3)) = 1 $$ Så bruker vi at $\lg p(x) = k \iff p(x) = 10^{k}$: $$ x(x - 3) = 10^1 $$ $$ x^2 - 3x - 10 = 0 $$ $$ x = \dfrac{3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 10}}{2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{3 \pm 7}{2} $$ $$ x = 5 \or x = -2 $$ Vi må sjekke at løsningene er gyldige. Vi ser at med $x = -2$, så vil den opprinnelige likningen inneholde $\lg(-2)$, som ikke er definert. Dermed er $x = -2$ ikke en gyldig løsning. Med $x = 5$ er begge logaritmene i den opprinnelige likningen definert, så dette er en gyldig løsning. Dermed er den eneste løsningen: $$ x = 5. $$ :::: ::::::::::::::: ### Type 3: $a(\log_m x)^2 + b \log_m x + c = 0$ :::::::::::::::{summary} Strategi for likninger på formen $a(\log_m x)^2 + b \log_m x + c = 0$ 1. Gjør et variabelskifte $u = \log_m x$. 2. Skriv om likningen til en andregradslikning på formen $au^2 + bu + c = 0$. 3. Løs andregradslikningen for $u$. 4. Bruk at $u = \log_m x \iff x = m^u$ til å finne $x$. ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 5 Løs likningen $$ (\ln x)^2 - 5 \ln x + 6 = 0 $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi setter $u = \ln x$. Da kan vi skrive om likningen slik: $$ (\ln x)^2 - 5 \ln x + 6 = 0 $$ $$ u^2 - 5u + 6 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen til å løse andregradslikningen for $u$: $$ u = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2} $$ $$ u = 3 \or u = 2 $$ Nå bruker vi at $u = \ln x \iff x = e^u$ til å finne $x$: $$ \ln x = 3 \or \ln x = 2 $$ $$ x = e^3 \or x = e^2 $$ :::: ::::::::::::::: ## Eksponentiallikninger ### Type 1: $a^{f(x)} = k$ :::::::::::::::{summary} Strategi for likninger på formen $a^{f(x)} = k$ 1. Bruk en valgfri logaritme på hver side av likningen – velg gjerne den naturlige logaritmen $\ln (x)$ 2. Løs likningen for $x$. ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 6 Løs likningen $$ 2^x = 7 $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi bruker den naturlige logaritmen på hver side av likningen: $$ \ln(2^x) = \ln(7) $$ $$ x \cdot \ln(2) = \ln(7) $$ $$ x = \dfrac{\ln(7)}{\ln(2)} $$ :::: ::::::::::::::: ### Type 2: $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ :::::::::::::::{summary} Strategi for likninger på formen $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ 1. Bruk en valgfri logaritme på hver side av likningen – velg gjerne den naturlige logaritmen $\ln (x)$ 2. Løs likningen for $x$. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 7 Løs likningen $$ 3 \cdot 5^x = 7 \cdot 2^x $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi bruker den naturlige logaritmen på hver side av likningen: $$ \ln (3 \cdot 5^x) = \ln (7 \cdot 2^x) $$ $$ \ln 3 + \ln (5^x) = \ln 7 + \ln (2^x) $$ $$ \ln 3 + x \ln 5 = \ln 7 + x \ln 2 $$ $$ x \ln 5 - x \ln 2 = \ln 7 - \ln 3 $$ $$ x (\ln 5 - \ln 2) = \ln 7 - \ln 3 $$ $$ x \cdot \ln \left(\dfrac{5}{2}\right) = \ln \left(\dfrac{7}{3}\right) $$ $$ x = \dfrac{\ln \left(\dfrac{7}{3}\right)}{\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)} $$ Eventuelt kan vi skrive svaret som $$ x = \dfrac{\ln 7 - \ln 3}{\ln 5 - \ln 2} $$ Spiller ingen rolle hvilket av de to svarene vi velger. :::: ::::::::::::::: ### Type 3: $a \cdot (k^x)^2 + b \cdot k^x + c = 0$ :::::::::::::::{summary} Strategi for likninger på formen $a \cdot (k^x)^2 + b \cdot k^x + c = 0$ 1. Sett $u = k^x$. 2. Skriv om likningen til en andregradslikning på formen $au^2 + bu + c = 0$. 3. Løs andregradslikningen for $u$. 4. Bruk at $u = k^x \iff x = \log_k u$ til å finne $x$. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 8 Løs likningen $$ 10^{2x} - 5 \cdot 10^x + 6 = 0 $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi setter $u = 10^x$. Da kan vi skrive om likningen slik: $$ u^2 - 5u + 6 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen til å løse andregradslikningen for $u$: $$ u = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2} $$ $$ u = 3 \or u = 2 $$ Nå bruker vi at $u = 10^x \iff x = \lg u$ til å finne $x$: $$ 10^x = 3 \or 10^x = 2 $$ $$ x = \lg 3 \or x = \lg 2 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 9 Løs likningen $$ e^x - 2 = 8e^{-x} $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi må skrive om likningen slik at det blir en andregradslikning i $e^x$. Vi ganger begge sider av likningen med $e^x$: $$ e^x \cdot e^x - 2 \cdot e^x = 8e^{-x} \cdot e^x $$ $$ e^{2x} - 2e^x = 8 $$ $$ e^{2x} - 2e^x - 8 = 0 $$ Så gjør vi et variabelskifte $u = e^x$ som gir likningen $$ u^2 - 2u - 8 = 0 $$ Nå bruker vi $abc$-formelen til å løse andregradslikningen for $u$: $$ u = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} $$ $$ u = \dfrac{2 \pm 6}{2} $$ $$ u = 4 \or u = -2 $$ Så setter vi tilbake definisjonen av $u$: $$ e^x = 4 \or e^x = -2 $$ Likningen $e^x = -2$ har ingen løsningen siden vi ikke kan opphøye $e$ med noe som gir oss et negativt tall. Dermed er det bare $e^x = 4$ som gir en løsning: $$ e^x = 4 $$ $$ \ln e^x = \ln 4 $$ $$ x \cdot \ln e = \ln 4 $$ $$ x = \ln 4 $$ der vi har brukt at $\ln e = 1$. :::: ::::::::::::::: ## Generell strategi: Produktregelen :::::::::::::::{summary} Strategi: $f(x) \cdot g(x) = 0$ Bruk produktregelen for likninger. Hvis $a \cdot b = 0$, så er enten $a = 0$ eller $b = 0$. Dermed er $$ f(x) \cdot g(x) = 0 \liff f(x) = 0 \or g(x) = 0. $$ Løs hver av de to likningene for seg. ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 10 Løs likningen $$ \lg (x - 2) \cdot (\lg x - 2) = 0 $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi bruker produktregelen for likninger: $$ \lg (x - 2) \cdot (\lg x - 2) = 0 $$ $$ \lg (x - 2) = 0 \or \lg (x) - 2 = 0 $$ $$ \lg (x - 2) = 0 \or \lg (x) = 2 $$ $$ x - 2 = 10^0 \or x = 10^2 $$ $$ x - 2 = 1 \or x = 100 $$ $$ x = 3 \or x = 100 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 11 Løs likningen $$ (e^x - 3)(e^x + 4) = 0 $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi bruker produktregelen for likninger: $$ (e^x - 3)(e^x + 4) = 0 $$ $$ e^x - 3 = 0 \or e^x + 4 = 0 $$ $$ e^x = 3 \or e^x = -4 $$ Likningen $e^x = -4$ har ingen løsning siden vi ikke kan opphøye $e$ med noe som gir oss et negativt tall. Dermed er det bare $e^x = 3$ som gir en løsning: $$ e^x = 3 $$ $$ \ln e^x = \ln 3 $$ $$ x \cdot \ln e = \ln 3 $$ $$ x = \ln 3 $$ der vi har brukt at $\ln e = 1$. :::: :::::::::::::::