# Logaritmer :::{goals} Læringsmål * Kunne beskrive sammenhengen mellom eksponentialfunksjoner og logaritmer * Kunne bruke grafiske framstillinger av eksponentialfunksjoner til å bestemme verdien til logaritmer * Kunne bruke potensregning til å bestemme verdien til logaritmer ::: ## Definisjon :::::::::::::::{summary} Logaritmer Logaritmen med grunntall $a$ definerer vi som det tallet $x$ som vi må opphøye $a$ med for å få $y$. Altså, hvilken verdi for $x$ som løser likningen $$ a^x = y $$ Vi skriver logaritmen med grunntall $a$ som: $$ x = \log_{\displaystyle a}(y) $$ Verdien til logaritmen er $x$-koordinaten til et punkt $(x, y)$ på grafen til $y = a^x$. ::::::::::::::: --- Det er sjeldent vi kan lese av den *eksakte* verdien til en logaritme fra grafen til en eksponentialfunksjon, men vi kan likevel lese av *tilnærmede* verdier. :::::::::::::::{example} Eksempel 1 Nedenfor vises grafen til $f(x) = 10^x$. Bestem $\log_{10}(2)$. :::{plot} width: 80% function: 10^x, f(x) = 10^x xmin: -0.1 xmax: 1.1 xstep: 0.1 ymin: -1 ymax: 11 ystep: 1 fontsize: 16 ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi tegner en horisontal linje $y = 2$ og sjekker når den treffer grafen. Deretter tegner vi en vertikal linje ned til $x$-aksen for å lese av $x$-koordinaten til skjæringspunktet: :::{plot} width: 80% function: 10^x, f(x) = 10^x xmin: -0.1 xmax: 1.1 xstep: 0.1 ymin: -1 ymax: 11 ystep: 1 hline: 2, 0, 0.3, dashed vline: 0.3, 0, 2, dashed point: (0.3, 2) fontsize: 16 ::: Vi ser at når $y \approx 2$ på grafen til $f$, så er $x \approx 0.3$. Det betyr at $$ \log_{10}(2) \approx 0.3 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Bestem $\log_5(125)$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- :::{factor-tree} n: 125 width: 60% align: right figsize: (3, 3) ::: For å bestemme $\log_5(125)$, må vi finne hvilket tall vi må opphøye $5$ med for å få $125$. Vi kan lage et faktortre som vist til høyre. Da ser vi at $$ 125 = 5^3 $$ Det betyr at $$ \log_5(125) = 3 $$ :::: ::::::::::::::: --- ## Logaritmefunksjoner Hvis vi ser på grafen til en eksponentialfunksjon, vil vi oppdage at for hver $y$-verdi, finnes det bare én $x$-verdi: :::{plot} width: 60% function: 10^x, f(x) = a^x xmin: -1 xmax: 2 ymin: -1 ymax: 100 ticks: off hline: 50, 0, 1.7, dashed vline: 1.7, 0, 50, dashed point: (1.7, 50) text: 1.7, 50, "$(x, y)$", center-right ::: Det lar oss definere en **logaritmefunksjon** for hvert grunntall $a$ på formen $g(x) = \log_a(x)$. Tegner vi de to funksjonene i samme koordinatssystem, får vi grafen til $g$ ved å speile grafen til $f(x) = a^x$ om linja $y = x$. Se figuren nedenfor. :::{plot} width: 80% function: 3^x, f(x) = a^x, (-10, 10), blue function: log(x) / log(3), g(x) = \log_a(x), (0.000001, 6), red line: 1, 0, epic ticks: off xmin: -6 xmax: 6 ymin: -6 ymax: 6 point: (0, 1) point: (1, 0) text: 0, 1, "$(0, 1)$", center-left text: 1, 0, "$(1, 0)$", bottom-right point: (3, 1) point: (1, 3) text: 3, 1, "$(a, 1)$", top-center text: 1, 3, "$(1, a)$", center-right ::: La oss legge merke til noen ting med figuren ovenfor. Vi ser at eksponentialfunksjonen skjærer $y$-aksen i $(0, 1)$, mens logaritmefunksjonen skjærer på sin side $x$-aksen i $(1, 0)$. Vi ser også at eksponentialfunksjonen går gjennom punktet $(1, a)$ som betyr at $f(1) = a$. Logaritmefunksjonen på sin side går gjennom punktet $(a, 1)$ som betyr at $g(a) = 1$. Vi kan derfor trekke følgende generelle konklusjoner: :::::::::::::::{summary} Spesielle logaritmeverdier For alle logaritmer $\log_a(x)$, så gjelder: $$ \log_a(1) = 0 \qog \log_a(a) = 1 $$ ::::::::::::::: Mer generelt kan vi merke oss at $x$-koordinatene og $y$-koordinatene bytter rolle mellom de to grafene! Det betyr at definisjonsmengden til $f$ er verdimengden til $g$. Og verdimengden til $f$ er definisjonsmengden til $g$! Her er $f$ og $g$ et eksempel på det vi kaller **omvendte** funksjoner. Det skal vi ser mer nøye på senere i faget. :::::::::::::::{summary} Logaritmefunksjoner For en eksponentialfunksjon $f(x) = a^x$ er definisjonsmengden og verdimengden gitt ved $$ D_f = \mathbb{R} \qog V_f = \langle 0, \to \rangle $$ Logaritmefunksjonen $g$ for samme grunntall $a$ er da definert som $$ g(x) = \log_a(x) \qder D_g = \langle 0, \to \rangle \qog V_g = \mathbb{R} $$ Grafen til logaritmefunksjonen $g$ får vi ved å speile grafen til eksponentialfunksjon $f$ om linja $y = x$. ::::::::::::::: --- La oss se på hvordan vi kan avgjøre hvilken logaritmefunksjon vi har med å gjøre med et lite triks. :::::::::::::::{example} Eksempel 3 I figuren nedenfor vises grafen til en logaritmefunksjon $g(x) = \log_a(x)$. Bestem grunntallet $a$. :::{plot} width: 80% function: log(x) / log(5), $g$, (0.000001, 10) xmin: -1 xmax: 8 ymin: -6 ymax: 6 fontsize: 16 ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi vet at grafen til en logaritmefunksjon må gå gjennom $(a, 1)$. Det vil si at vi kan lese av hvilke $x$-verdi som gir $y = 1$. Det må være grunntallet til logaritmen. Fra grafen ovenfor, kan vi se at dette er når $x = 5$. Det betyr at grunntallet til logaritmen er $a = 5$, og figuren viser derfor grafen til $$ g(x) = \log_5(x) $$ :::: ::::::::::::::: ## Logaritmesetningene Logaritmer har regneregler som er spesielt nyttig for å skrive om uttrykk med logaritmer – vi kommer til å trenge dem når vi jobber med logaritmelikninger og eksponentiallikninger. Reglene har en én-til-én sammenheng med potensreglene som vi skal se nedenfor. :::::::::::::::{summary} Produktregelen for logaritmer For alle tall $x, y \in \langle 0, \to \rangle$ gjelder: $$ \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) $$ ::::::::::::::{admonition} Bevis --- class: theory, dropdown --- Vi starter med å tenke oss at vi skriver $x$ og $y$ som potenser med grunntall $a$ slik at $$ x = a^p \and y = a^q $$ Siden $\log_a(x)$ er hvilket tall vi må opphøye $a$ i for å få $x$, betyr det at $\log_a(x) = p$. På samme måte har vi at $\log_a(y) = q$. I tillegg gir potensreglene vi har sett på at $$ x \cdot y = a^p \cdot a^q = a^{p+q} $$ Verdien til $\log_a(xy)$ er hva vi må opphøye $a$ med for å få $xy$. Det er $p + q$, som betyr at $$ \log_a(xy) = p + q = \log_a(x) + \log_a(y) $$ :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 4 Grafen til eksponentialfunksjonen $f(x) = 5^x$ er vist i figuren nedenfor. Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet verdi for $\log_5(36)$ :::{plot} width: 80% function: 5^x, f ymin: -1 ymax: 26 ystep: 2 xmin: -0.2 xmax: 2.5 xstep: 0.2 fontsize: 16 ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi kan ikke lese av hva verdien av $x$ må være for at $5^x = 36$ direkte fra grafen. Men vi kan faktorisere $36$ som $$ 36 = 2 \cdot 18 $$ som betyr at vi kan bruke produktregelen for logaritmer: $$ \log_5(36) = \log_5(2 \cdot 18) = \log_5(2) + \log_5(18) $$ Fra grafen til $f$, kan vi se at grafen omtrent går gjennom punktet $(0.4, 2)$ som betyr at $\log_5(2) \approx 0.4$. Vi kan også se at grafen går gjennom punktet $(1.8, 18)$ som betyr at $\log_5(18) \approx 1.8$. Dermed får vi at $$ \log_5(36) \approx 0.4 + 1.8 = 2.2 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Kvotientregelen for logaritmer For alle tall $x, y \in \langle 0, \to \rangle$ gjelder: $$ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) $$ ::::::::::::::{admonition} Bevis --- class: theory, dropdown --- Vi starter med å tenke oss at vi skriver $x$ og $y$ som potenser med grunntall $a$ slik at $$ x = a^p \and y = a^q $$ Dette betyr at $$ \log_a(x) = p \and \log_a(y) = q $$ Med potensregelen for brøker får vi: $$ \dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \liff \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = p - q = \log_a(x) - \log_a(y) $$ :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 5 I figuren nedenfor vises grafen til $f(x) = 3^x$. Bruk grafen til å bestemme $\log_3\left(\dfrac{3}{27}\right)$. :::{plot} width: 80% function: 3^x xmin: -1 xmax: 4 ymin: -3 ymax: 30 ystep: 3 fontsize: 18 ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi kan ikke lese av hva løsningen av likningen $3^x = \dfrac{1}{9}$ må være direkte fra grafen. Men vi kan skrive om uttrykket med kvotientregelen som $$ \log_3\left(\dfrac{3}{27}\right) = \log_3(3) - \log_3(27) $$ Deretter kan vi lese av grafen at $\log_3(3) = 1$ siden grafen går gjennom $(1, 3)$ og $\log_3(27) = 3$ siden grafen går gjennom $(3, 27)$. Dermed får vi at $$ \log_3\left(\dfrac{3}{27}\right) = 1 - 3 = -2 $$ Vi ser at logaritmen blir negativ når vi tar logaritmen av et tall $x \in \langle 0, 1 \rangle$. Dette henger sammen med potensregelen $a^{-p} = \dfrac{1}{a^p}$. I dette tilfellet er det fordi $$ \dfrac{3}{27} = \dfrac{3}{3^3} = 3^{1-3} = 3^{-2} $$ Så for å få $\dfrac{3}{27}$, må vi opphøye $3$ med eksponenten $-2$ som forklarer hvorfor $\log_3\left(\dfrac{3}{27}\right) = -2$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Potensregelen for logaritmer For alle tall $x \in \langle 0, \to \rangle$ og $b \in \mathbb{R}$ gjelder: $$ \log_a(x^b) = b \cdot \log_a(x) $$ ::::::::::::::{admonition} Bevis --- class: theory, dropdown --- Vi tenker oss at vi kan skrive $x$ som en potens med grunntall $a$ slik at $$ x = a^p \liff \log_a(x) = p $$ Videre kan vi bruke potensregelen $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$, men tilpasset med variablene vi har med å gjøre: $$ x^b = (a^p)^b = a^{p\cdot b} \liff \log_a(x^b) = p \cdot b = \log_a(x) \cdot b $$ Dermed er $$ \log_a(x^b) = b \cdot \log_a(x) $$ :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 5 Regn ut $$ \log_5(25^3) $$ ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi skriver om $25$ som en potens med grunntall $5$: $$ 25 = 5^2. $$ Deretter kan vi skrive $$ \log_5(25^3) = \log_5((5^2)^3) = \log_5(5^{2 \cdot 3}) = \log_5(5^{6}) = 6 \cdot \log_5(5) = 6 \cdot 1 = 6. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 6 Regn ut $\log_2\left(\dfrac{1}{128}\right)$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- :::{factor-tree} n: 128 width: 100% align: right figsize: 4, 8 nocache: ::: Vi starter med å primtallsfaktorisere $128$ så vi kan skrive den som et produkt av potenser. Fra faktortreet til høyre ser vi at $$ 128 = 2^7 $$ Det betyr at \begin{align*} \log_2\left(\dfrac{1}{128}\right) &= \log_2\left(\dfrac{1}{2^7}\right) \\ \\ &= \log_2\left(2^{-7}\right) \\ \\ &= -7 \cdot \log_2(2) \\ \\ &= -7 \cdot 1 = -7. \end{align*} :::: :::::::::::::::