# Oppgavesamling :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 Skriv så enkelt som mulig. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ \dfrac{a^2 \cdot (2a^{-1} b^2)^2}{2^{-1} a^{-1} b^2} $$ ::::{answer} $$ 8ab^2 $$ :::: ::::{solution} \begin{align*} \dfrac{a^2 \cdot (2a^{-1} b^2)^2}{2^{-1} a^{-1} b^2} &= \dfrac{a^2 \cdot 2^2 \cdot a^{-2} \cdot b^4}{2^{-1} \cdot a^{-1} \cdot b^2} \\ \\ &= 2^{2 - (-1)} \cdot a^{2 - 2 - (-1)} \cdot b^{4 - 2} \\ \\ &= 2^3 \cdot a^1 \cdot b^2 \\ \\ &= 8ab^2 \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} $$ ::::{answer} $$ 8 $$ :::: ::::{solution} \begin{align*} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} &= 2^{1/2} \cdot 2^{3/2} \cdot 2^{2/3} \cdot 2^{1/3} \\ \\ &= 2^{1/2 + 3/2 + 2/3 + 1/3} \\ \\ &= 2^{4/2 + 3/3} \\ \\ &= 2^{2 + 1} \\ \\ &= 2^3 \\ \\ &= 8 \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ \dfrac{a^2 \cdot (a^2)^3}{(a^{-2} \cdot a^{-1})^3} $$ ::::{answer} $$ a^{17} $$ :::: ::::{solution} \begin{align*} \dfrac{a^2 \cdot (a^2)^3}{(a^{-2} \cdot a^{-1})^3} &= \dfrac{a^2 \cdot a^6}{a^{-6} \cdot a^{-3}} \\ \\ &= a^{2 + 6 - (-6) - (-3)} \\ \\ &= a^{2 + 6 + 6 + 3} \\ \\ &= a^{17} \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ \dfrac{3b^2 \cdot 36a^3 \cdot 9(ab)^3}{12 (a^2b)^2} $$ ::::{answer} $$ 81a^2b^3 $$ :::: ::::{solution} \begin{align*} \dfrac{3b^2 \cdot 36a^3 \cdot 9(ab)^3}{12 (a^2b)^2} &= \dfrac{3 \cdot 36 \cdot 9}{12} \cdot \dfrac{b^2 \cdot a^3 \cdot (ab)^3}{(a^2b)^2} \\ \\ &= \dfrac{3 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 9}{12} \cdot \dfrac{b^2 \cdot a^3 \cdot a^3 \cdot b^3}{a^4 \cdot b^2} \\ \\ &= 3 \cdot 3 \cdot 9 \cdot a^{3 + 3 - 4} \cdot b^{2 + 3 - 2} \\ \\ &= 81a^2b^3 \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e $$ \dfrac{\sqrt[3]{a^2 b} \cdot \sqrt{ab^3} \cdot \sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a}} $$ ::::{answer} $$ ab^2 $$ :::: ::::{solution} \begin{align*} \dfrac{\sqrt[3]{a^2 b} \cdot \sqrt{ab^3} \cdot \sqrt[6]{b}}{\sqrt[6]{a}} &= \dfrac{a^{2/3} \cdot b^{1/3} \cdot a^{1/2} \cdot b^{3/2} \cdot b^{1/6}}{a^{1/6}} \\ \\ &= a^{2/3 + 1/2 - 1/6} \cdot b^{1/3 + 3/2 + 1/6} \\ \\ &= a^{4/6 + 3/6 - 1/6} \cdot b^{2/6 + 9/6 + 1/6} \\ \\ &= a^{6/6} \cdot b^{12/6} \\ \\ &= ab^2 \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Sorter i stigende rekkefølge. $$ \lg 100 \qquad \lg 10 \qquad \lg \dfrac{1}{100} \qquad \lg 0.1 \qquad \lg \sqrt{10} \qquad \lg \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}} $$ ::::{answer} 1. $\lg \dfrac{1}{100}$ 2. $\lg 0.1$ 3. $\lg \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}}$ 4. $\lg \sqrt{10}$ 5. $\lg 10$ 6. $\lg 100$ :::: ::::{solution} Vi regner ut verdien til alle logaritmene: \begin{align*} \lg 100 &= \lg 10^2 = 2 \\ \\ \lg 10 &= 1 \\ \\ \lg \dfrac{1}{100} &= \lg \dfrac{1}{10^2} = \lg 10^{-2} = -2 \\ \\ \lg 0.1 &= \lg 10^{-1} = -1 \\ \\ \lg \sqrt{10} &= \lg 10^{1/2} = \dfrac{1}{2} \\ \\ \lg \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}} &= \lg \left( 10^{-1} \right)^{1/3} = \lg 10^{-1/3} = -\dfrac{1}{3} \end{align*} Dermed vil de stå i stigende rekkefølge som følger: 1. $\lg \dfrac{1}{100}$ 2. $\lg 0.1$ 3. $\lg \sqrt[3]{\dfrac{1}{10}}$ 4. $\lg \sqrt{10}$ 5. $\lg 10$ 6. $\lg 100$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Sorter i stigende rekkefølge. $$ \ln e^2 \qquad \ln \sqrt{e} \qquad \ln \dfrac{1}{e} \qquad \ln \dfrac{1}{e^2} \qquad \ln \sqrt[4]{e^3} \qquad e^{\ln 5} $$ ::::{answer} 1. $\ln \dfrac{1}{e^2}$ 2. $\ln \dfrac{1}{e}$ 3. $\ln \sqrt{e}$ 4. $\ln \sqrt[4]{e^3}$ 5. $\ln e^2$ 6. $e^{\ln 5}$ :::: ::::{solution} Vi regner ut verdien til alle logaritmene: \begin{align*} \ln e^2 &= 2 \\ \\ \ln \sqrt{e} &= \ln e^{1/2} = \dfrac{1}{2} \\ \\ \ln \dfrac{1}{e} &= \ln e^{-1} = -1 \\ \\ \ln \dfrac{1}{e^2} &= \ln e^{-2} = -2 \\ \\ \ln \sqrt[4]{e^3} &= \ln (e^3)^{1/4} = \ln e^{3/4} = \dfrac{3}{4} \\ \\ e^{\ln 5} &= 5 \end{align*} Dermed vil de stå i stigende rekkefølge som følger: 1. $\ln \dfrac{1}{e^2}$ 2. $\ln \dfrac{1}{e}$ 3. $\ln \sqrt{e}$ 4. $\ln \sqrt[4]{e^3}$ 5. $\ln e^2$ 6. $e^{\ln 5}$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Hvilke av tallene nedenfor er mindre enn $10$? $$ 3 \sqrt{11} \qquad 10 \lg 9 \qquad 5 \ln 9 $$ ::::{answer} $3 \sqrt{11}$ og $10 \lg 9$ er mindre enn $10$. $5 \ln 9$ er ikke mindre enn $10$. :::: ::::{solution} Vi sjekker hver av tallene: $$ 3 \sqrt{11} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{99} < \sqrt{100} = 10 $$ $$ 10 \lg 9 < 10 \lg 10 = 10 \cdot 1 = 10 $$ $$ 5 \ln 9 > 5 \ln e^2 = 5 \cdot 2 = 10 $$ Dermed er $3 \sqrt{11}$ og $10 \lg 9$ mindre enn $10$, mens $5 \ln 9$ ikke er det. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 Løs likningene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ 2 \cdot 6^x = 8 \cdot 3^x $$ ::::{answer} $$ x = 2 $$ :::: ::::{solution} $$ 2 \cdot 6^x = 8 \cdot 3^x $$ $$ \ln (2 \cdot 6^x) = \ln (8 \cdot 3^x) $$ $$ \ln 2 + \ln 6^x = \ln 8 + \ln 3^x $$ $$ \ln 2 + x \ln 6 = \ln 8 + x \ln 3 $$ $$ x \ln 6 - x \ln 3 = \ln 8 - \ln 2 $$ $$ x (\ln 6 - \ln 3) = \ln \dfrac{8}{2} $$ $$ x \ln \dfrac{6}{3} = \ln 4 $$ $$ x \ln 2 = \ln 4 $$ $$ x = \dfrac{\ln 4}{\ln 2} = \dfrac{\ln 2^2}{\ln 2} = \dfrac{2 \ln 2}{\ln 2} = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ 2^{4x - 1} = 1 $$ ::::{answer} $$ x = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::{solution} $$ 2^{4x - 1} = 1 $$ $$ \log_2 (2^{4x - 1}) = \log_2 (1) $$ $$ (4x - 1) \log_2 (2) = \log_2 (1) $$ $$ (4x - 1) \cdot 1 = 0 $$ $$ 4x - 1 = 0 $$ $$ 4x = 1 $$ $$ x = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ 3\cdot 5^x = 4 \cdot 3^x $$ ::::{answer} $$ x = \dfrac{\ln \frac{3}{4}}{\ln \frac{3}{5}} = \dfrac{\ln 3 - \ln 4}{\ln 3 - \ln 5} $$ :::: ::::{solution} $$ 3\cdot 5^x = 4 \cdot 3^x $$ $$ \ln (3 \cdot 5^x) = \ln (4 \cdot 3^x) $$ $$ \ln 3 + \ln 5^x = \ln 4 + \ln 3^x $$ $$ \ln 3 + x \ln 5 = \ln 4 + x \ln 3 $$ $$ \ln 3 - \ln 4 = x \ln 3 - x \ln 5 $$ $$ \ln 3 - \ln 4 = x (\ln 3 - \ln 5) $$ $$ \ln \dfrac{3}{4} = x \ln \dfrac{3}{5} $$ $$ x = \dfrac{\ln \frac{3}{4}}{\ln \frac{3}{5}} = \dfrac{\ln 3 - \ln 4}{\ln 3 - \ln 5} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ e^{2x} - 4e^x + 3 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = 0 \or x = \ln 3 $$ :::: ::::{solution} Vi gjør variabelskifte $u = e^x$. Da kan likningen skrives om til andregradslikningen $$ u^2 - 4u + 3 = 0 $$ Vi bruker $abc$-formelen: $$ u = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \dfrac{4 \pm 2}{2} $$ Altså er $$ u = 2 \pm 1 = \begin{cases} 3 \\ 1 \end{cases} $$ Det betyr at $$ u = 1 \or u = 3 $$ $$ e^x = 1 \or e^x = 3 $$ $$ x = \ln 1 \or x = \ln 3 $$ $$ x = 0 \or x = \ln 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 Løs likningene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ 10 \cdot 3^x = 5 \cdot 2^x $$ ::::{answer} $$ x = -\dfrac{\lg 2}{\lg 3 - \lg 2} $$ :::: ::::{solution} $$ 10 \cdot 3^x = 5 \cdot 2^x $$ $$ \lg (10 \cdot 3^x) = \lg (5 \cdot 2^x) $$ $$ \lg 10 + \lg 3^x = \lg 5 + \lg 2^x $$ $$ x \lg 3 - x \lg 2 = \lg 5 - \lg 10 $$ $$ x (\lg 3 - \lg 2) = \lg \dfrac{5}{10} $$ $$ x \lg \dfrac{3}{2} = \lg \dfrac{1}{2} $$ $$ x = \dfrac{\lg \frac{1}{2}}{\lg \frac{3}{2}} = \dfrac{\lg 1 - \lg 2}{\lg 3 - \lg 2} = -\dfrac{\lg 2}{\lg 3 - \lg 2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ \lg x^2 = 3 \lg x + 4 $$ ::::{answer} $$ x = 10^{-4} $$ :::: ::::{solution} $$ \lg x^2 = 3 \lg x + 4 $$ $$ 2 \lg x = 3 \lg x + 4 $$ $$ - \lg x = 4 $$ $$ \lg x = -4 $$ $$ x = 10^{-4} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ (\lg x)^2 = 3 \lg x + 4 $$ ::::{answer} $$ x = 10^4 \or x = 10^{-1} $$ :::: ::::{solution} Vi gjør variabelskifte $u = \lg x$. Da kan likningen skrives om til andregradslikningen $$ u^2 = 3u + 4 $$ $$ u^2 - 3u - 4 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen: $$ u = \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2} $$ Det gir $$ u = 4 \or u = -1 $$ som betyr at $$ \lg x = 4 \or \lg x = -1 $$ som betyr at $$ x = 10^4 \or x = 10^{-1} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ 2 \cdot 6^x = 18 \cdot 2^x $$ ::::{answer} $$ x = 2 $$ :::: ::::{solution} $$ 2 \cdot 6^x = 18 \cdot 2^x $$ $$ \ln (2 \cdot 6^x) = \ln (18 \cdot 2^x) $$ $$ \ln 2 + \ln 6^x = \ln 18 + \ln 2^x $$ $$ \ln 2 + x \ln 6 = \ln 18 + x \ln 2 $$ $$ x \ln 6 - x \ln 2 = \ln 18 - \ln 2 $$ $$ x (\ln 6 - \ln 2) = \ln \dfrac{18}{2} $$ $$ x \ln \dfrac{6}{2} = \ln 9 $$ $$ x \ln 3 = \ln 9 $$ $$ x = \dfrac{\ln 9}{\ln 3} = \dfrac{\ln 3^2}{\ln 3} = \dfrac{2 \ln 3}{\ln 3} = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 Løs likningene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ \lg (x^2 - 3) = \lg (2x) $$ ::::{answer} $$ x = 3 $$ :::: ::::{solution} $$ \lg (x^2 - 3) = \lg (2x) $$ $$ x^2 - 3 = 2x $$ $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ $$ (x - 3)(x + 1) = 0 $$ $$ x = 3 \or x = -1 $$ Vi må sjekke om begge løsningene er gyldige. For $x = -1$, så vil vi prøve å ta logaritmen av et negativt tall på høyre side av likningen som betyr at denne løsningen ikke er gyldig. Vi får ikke samme problem med $x = 3$ siden $x^2 - 3 > 0$ og $2x > 0$ når $x = 3$. Dermed er den eneste gyldige løsningen $$ x = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ (\lg x)^2 = 4 - 3 \lg x $$ ::::{answer} $$ x = 10 \or x = 10^{-4} $$ :::: ::::{solution} Vi gjør variabelskifte $u = \lg x$. Da kan likningen skrives om til andregradslikningen $$ u^2 = 4 - 3u $$ $$ u^2 + 3u - 4 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen: $$ u = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2} $$ Det gir $$ u = 1 \or u = -4 $$ som betyr at $$ \lg x = 1 \or \lg x = -4 $$ som betyr at $$ x = 10 \or x = 10^{-4} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ \lg (2x - 3) - \lg x = 0 $$ ::::{answer} $$ x = 3 $$ :::: ::::{solution} $$ \lg (2x - 3) - \lg x = 0 $$ $$ \lg (2x - 3) = \lg x $$ $$ 2x - 3 = x $$ $$ x = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ 10^{\lg 6 + 3x} - 4 = 56 $$ ::::{answer} $$ x = \dfrac{1}{3} $$ :::: ::::{solution} $$ 10^{\lg 6 + 3x} - 4 = 56 $$ $$ 10^{\lg 6 + 3x} = 60 $$ $$ \lg 6 + 3x = \lg 60 $$ $$ 3x = \lg 60 - \lg 6 $$ $$ 3x = \lg \dfrac{60}{6} $$ $$ 3x = \lg 10 $$ $$ 3x = 1 $$ $$ x = \dfrac{1}{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 Løs likningene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ \ln (x^2 + 2) - \ln x = \ln 3 $$ ::::{answer} $$ x = 2 \or x = 1 $$ :::: ::::{solution} $$ \ln (x^2 + 2) - \ln x = \ln 3 $$ $$ \ln (x^2 + 2) = \ln 3 + \ln x $$ $$ \ln (x^2 + 2) = \ln (3x) $$ $$ x^2 + 2 = 3x $$ $$ x^2 - 3x + 2 = 0 $$ $$ x = \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \dfrac{3 \pm 1}{2} $$ $$ x = 2 \or x = 1 $$ Begge løsningene oppfyller den opprinnelige likningen siden $x^2 + 2 > 0$ og $x > 0$ når $x = 1$ eller $x = 2$. Dermed er begge løsningene gyldige :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ \ln (x + 1) + \ln (x - 2) = \ln (x - 3) $$ ::::{answer} $$ x \in \emptyset $$ :::: ::::{solution} $$ \ln (x + 1) + \ln (x - 2) = \ln (x - 3) $$ $$ \ln ((x + 1)(x - 2)) = \ln (x - 3) $$ $$ (x + 1)(x - 2) = x - 3 $$ $$ x^2 - x - 2 = x - 3 $$ $$ x^2 - 2x + 1 = 0 $$ $$ (x - 1)^2 = 0 $$ $$ x = 1 $$ Vi må sjekke om løsningen er gyldig. For $x = 1$, vil vi prøve å ta logaritmen av et negativt tall i to av leddene som opptrer i den opprinnelige likningen. Dermed har ikke likningen noen løsning. Altså er $$ x \in \emptyset $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ 100^x + 4 \cdot 10^x = 5 $$ ::::{answer} $$ x = 0 $$ :::: ::::{solution} $$ 100^x + 4 \cdot 10^x = 5 $$ $$ (10^x)^2 + 4 \cdot 10^x - 5 = 0 $$ Vi gjør variabelskifte $u = 10^x$. Da kan likningen skrives om til andregradslikningen $$ u^2 + 4u - 5 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen: $$ u = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} $$ $$ u = \dfrac{-4 \pm 6}{2} $$ $$ u = 1 \or u = -5 $$ $$ 10^x = 1 \or 10^x = -5 $$ Det vil ikke være mulig å tilfredsstille $10^x = -5$ siden $10^x > 0$ for alle $x$. Dermed er den eneste gyldige løsningen $$ 10^x = 1 \liff x = 0 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ 4^x + 4\cdot 2^x = 12 $$ ::::{answer} $$ x = 1 $$ :::: ::::{solution} $$ 4^x + 4\cdot 2^x = 12 $$ $$ (2^x)^2 + 4 \cdot 2^x - 12 = 0 $$ Vi gjør variabelskifte $u = 2^x$. Da kan likningen skrives om til andregradslikningen $$ u^2 + 4u - 12 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen: $$ u = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} $$ $$ u = \dfrac{-4 \pm 8}{2} $$ $$ u = 2 \or u = -6 $$ $$ 2^x = 2 \or 2^x = -6 $$ Det vil ikke være mulig å tilfredsstille $2^x = -6$ siden $2^x > 0$ for alle $x$. Dermed er den eneste gyldige løsningen $$ 2^x = 2 \liff x = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 Grafen til funksjonen $f(x) = 10^x$ er vist i figuren nedenfor. :::{plot} width: 80% function: 10^x xmin: -0.1 xmax: 1.1 xstep: 0.1 ymin: -1 ymax: 11 ystep: 1 fontsize: 16 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for $\lg 3$. ::::{answer} $$ \lg 3 \approx 0.5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for $\lg 8$. ::::{answer} $$ \lg 8 \approx 0.9 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for $\lg 5$. ::::{answer} $$ \lg 5 \approx 0.7 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for $\lg 40$. ::::{answer} $$ \lg 40 \approx 1.6 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 I figuren nedenfor vises grafen til $f(x) = e^x$. :::{plot} width: 80% function: exp(x) xmin: -0.1 xmax: 1.3 xstep: 0.1 ymin: -0.5 ymax: 4 ystep: 0.5 fontsize: 16 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for $\ln 2$. ::::{answer} $$ \ln 2 \approx 0.7 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for $\ln 3$ ::::{answer} $$ \ln 3 \approx 1.1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen $e^x = 6$. ::::{answer} $$ x \approx 1.8 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen $e^x = 24$. ::::{answer} $$ x \approx 3.2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I figuren nedenfor vises grafen til en funksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = \log_a(x) $$ Bestem $a$. :::{plot} width: 80% function: log(x)/log(5) xmin: -1 xmax: 13 xstep: 1 ymin: -2 ymax: 6 ystep: 1 fontsize: 16 ::: ::::{answer} $$ a = 5 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker at grafen til $f$ går gjennom punktet $(5, 1)$ som betyr at $$ f(5) = 1 \liff \log_a(5) = 1 \liff a^1 = 5 \liff a = 5 $$ Dermed er $a = 5$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I figuren nedenfor vises grafen til en funksjon $$ f(x) = \log_a(x) \cdot (\log_a(x) - 1) $$ Bestem $a$. :::{plot} width: 80% function: log(x)/log(3) * (log(x) / log(3) - 1) xmin: -1 xmax: 9 xstep: 1 ymin: -2 ymax: 4 ystep: 1 ::: ::::{answer} $$ a = 3 $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(1, 0)$ og $(3, 0)$. Videre kan vi se at $$ f(x) = 0 \liff \log_a(x) \cdot (\log_a(x) - 1) = 0 $$ Bruker vi produktregelen for likninger får vi at $$ \log_a(x) = 0 \or \log_a(x) - 1 = 0 $$ $$ \log_a(x) = 0 \or \log_a(x) = 1 $$ $$ a^0 = x \or a^1 = x $$ $$ 1 = x \or a = x $$ Siden grafen til $f$ skjærer gjennom $(3, 0)$ så vil en av løsningene måtte være $x = 3$ som betyr at vi kan konkludere at $a = 3$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I figuren nedenfor vises grafen til $$ f(x) = -(\log_a(x) - 2) \cdot (\log_a(x) - 4) $$ Bestem $a$. :::{plot} width: 80% function: -(log(x)/log(2) - 2)*(log(x)/log(2) - 4) xmin: -2 xmax: 20 xstep: 2 ymin: -4 ymax: 4 ystep: 1 ::: ::::{answer} $$ a = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(4, 0)$ og $(16, 0)$. Løser vi likningen $f(x) = 0$, får vi $$ f(x) = 0 \liff -(\log_a(x) - 2) \cdot (\log_a(x) - 4) = 0 $$ Bruker vi produktregelen for likninger får vi at $$ -(\log_a(x) - 2) = 0 \or (\log_a(x) - 4) = 0 $$ $$ \log_a(x) = 2 \or \log_a(x) = 4 $$ $$ a^2 = x \or a^4 = x $$ Siden grafen skjærer gjennom $(4, 0)$ og $(16, 0)$, kan vi først undersøke hva vi får med $x = 4$: $$ a^2 = 4 \or a^4 = 4 $$ $$ a = \pm 2 \or a = 4^{1/4} = \sqrt{2} $$ Vi må forkaste $a = -2$ siden grunntallet til en logaritme må være positivt. Så undersøker vi hva vi får med $x = 16$: $$ a^2 = 16 \or a^4 = 16 $$ $$ a = \pm 4 \or a = 16^{1/4} = 2 $$ Vi må forkaste $a = -4$ siden grunntallet til en logaritme må være positivt. Vi får derfor tre muligheter for $a$: $$ a = 2 \or a = \sqrt{2} \or a = 4 $$ Men fordi grafen til $f$ må skjære $x$-aksen i både $(4, 0)$ og $(16, 0)$, så må vi velge den verdien for $a$ som dukker opp både med $x = 4$ og $x = 16$. Det eneste tallet som oppfyller dette er $a = 2$. Dermed er $a = 2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 Løs likningene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ e^{2x} - e^x = 2 $$ ::::{answer} $$ x = \ln 2 $$ :::: ::::{solution} Vi skriver om likningen til $$ e^{2x} - e^x - 2 = 0 $$ Vi gjør variabelskifte $u = e^x$. Da kan likningen skrives om til andregradslikningen $$ u^2 - u - 2 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen: $$ u = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} $$ $$ u = \dfrac{1 \pm 3}{2} $$ $$ u = 2 \or u = -1 $$ Så setter vi tilbake definisjonen av $u$: $$ e^x = 2 \or e^x = -1 $$ Det vil ikke være mulig å tilfredsstille $e^x = -1$ siden $e^x > 0$ for alle $x$. Dermed er den eneste gyldige løsningen $$ e^x = 2 \liff x = \ln 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ (\ln x)^2 - \ln x = 6 $$ ::::{answer} $$ x = e^3 \or x = e^{-2} $$ :::: ::::{solution} Vi skriver om likningen til $$ (\ln x)^2 - \ln x - 6 = 0 $$ Vi gjør variabelskifte $u = \ln x$. Da kan likningen skrives om til andregradslikningen $$ u^2 - u - 6 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen: $$ u = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} $$ $$ u = \dfrac{1 \pm 5}{2} $$ $$ u = 3 \or u = -2 $$ Så setter vi tilbake definisjonen av $u$: $$ \ln x = 3 \or \ln x = -2 $$ $$ x = e^3 \or x = e^{-2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ 3^{3x + 2} - 5 = 76 $$ ::::{answer} $$ x = \dfrac{2}{3} $$ :::: ::::{solution} Vi forenkler likningen litt først: $$ 3^{3x + 2} = 81 $$ Så bruker vi logaritme på begge sider: $$ \ln (3^{3x + 2}) = \ln 81 $$ $$ (3x + 2) \ln 3 = \ln 81 $$ $$ 3x + 2 = \dfrac{\ln 81}{\ln 3} $$ Vi kan skrive $81 = 3^4$, så $$ 3x + 2 = \dfrac{\ln 3^4}{\ln 3} = \dfrac{4 \ln 3}{\ln 3} = 4 $$ Dermed får vi $$ 3x + 2 = 4 $$ $$ 3x = 2 $$ $$ x = \dfrac{2}{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ 3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg \dfrac{1}{x^9} = 2 $$ ::::{answer} $$ x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} $$ :::: ::::{solution} Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme: $$ 3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg \dfrac{1}{x^9} = 2 $$ $$ 3 \lg x + 2 \cdot 2 \lg x + \lg x^{-9} = 2 $$ $$ 3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$ $$ -2 \lg x = 2 $$ $$ \lg x = -1 $$ $$ x = 10^{-1} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Løs likningen $$ 100^x - 3\cdot 10^x = 4 $$ ::::{solution} Siden $100 = 10^2$, kan vi skrive om likningen til $$ 10^{2x} - 3\cdot 10^x = 4 $$ Vi gjør variabelskifte $u = 10^x$ som gir oss likningen $$ u^2 - 3u = 4 \liff u^2 - 3u - 4 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen til å bestemme $u$ $$ u = \dfrac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3 \pm 5}{2} $$ $$ u = 4 \or u = -2 $$ Så setter vi definisjonen av $u$ tilbake i likningene: $$ 10^x = 4 \or 10^x = -2 $$ Vi kan ikke opphøye $10$ i noe for å få et negativt tall, så $10^x = -2$ har ingen løsning. Det betyr at løsningen av likningen bare kan være $$ 10^x = 4 \liff x = lg(4) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs likningen $$ \log_2(x + 2) + \log_2(x) = 3 $$ ::::{answer} $$ x = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme: $$ \log_2(x + 2) + \log_2(x) = 3 $$ $$ \log_2((x + 2)x) = 3 $$ $$ \log_2(x^2 + 2x) = 3 $$ Så bruker vi at $\log_2 a = b \liff 2^b = a$: $$ x^2 + 2x = 2^3 $$ $$ x^2 + 2x = 8 $$ $$ x^2 + 2x - 8 = 0 $$ Nå bruker vi $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} $$ $$ x = \dfrac{-2 \pm 6}{2} $$ $$ x = 2 \or x = -4 $$ Vi må sjekke om begge løsningene er gyldige. For $x = -4$, så vil vi prøve å ta logaritmen av et negativt tall på høyre side av likningen som betyr at denne løsningen ikke er gyldig. Vi får ikke samme problem med $x = 2$ siden $x + 2 > 0$ og $x > 0$ når $x = 2$. Dermed er den eneste gyldige løsningen $$ x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs likningen $$ (\log_3 x)^2 - 4 \log_3 x - 5 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = 3^5 \or x = \dfrac{1}{3} $$ :::: ::::{solution} Vi gjør variabelskifte $u = \log_3 x$. Da kan likningen skrives om til andregradslikningen $$ u^2 - 4u - 5 = 0 $$ Så bruker vi $abc$-formelen: $$ u = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} $$ $$ u = \dfrac{4 \pm 6}{2} $$ $$ u = 5 \or u = -1 $$ Nå setter vi tilbake definisjonen av $u$: $$ \log_3 x = 5 \or \log_3 x = -1 $$ Så bruker vi at $\log_3 a = b \liff 3^b = a$: $$ x = 3^5 \or x = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs likningen $$ \log_5 (x - 2) + \log_5 (x + 2) = 1 $$ ::::{answer} $$ x = 3 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden til én logaritme: $$ \log_5 (x - 2) + \log_5 (x + 2) = 1 $$ $$ \log_5 ((x - 2)(x + 2)) = 1 $$ $$ \log_5 (x^2 - 4) = 1 $$ $$ x^2 - 4 = 5^1 $$ $$ x^2 = 9 $$ $$ x = 3 \or x = -3 $$ Vi må sjekke om begge løsningene er gyldige. For $x = -3$, så vil vi prøve å ta logaritmen av et negativt tall på høyre side av likningen som betyr at denne løsningen ikke er gyldig. Vi får ikke samme problem med $x = 3$ siden $x - 2 > 0$ og $x + 2 > 0$ når $x = 3$. Dermed er den eneste gyldige løsningen $$ x = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs likningen. $$ \log_x (2x + 8) = 2 $$ ::::{answer} $$ x = 4 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker at $\log_a b = c \liff a^c = b$: $$ \log_x (2x + 8) = 2 $$ $$ x^2 = 2x + 8 $$ $$ x^2 - 2x - 8 = 0 $$ Nå bruker vi $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} $$ $$ x = \dfrac{2 \pm 6}{2} $$ $$ x = 4 \or x = -2 $$ Vi kan ikke bruke $x = -2$ som et grunntall for logaritmen, som betyr at den eneste gyldige løsningen er $$ x = 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 Newtons avkjølingslov sier at for temperaturen $T \, \degree \mathrm{C}$ til en gjenstand som avkjøles i et rom med temperatur $T_0 \, \degree \mathrm{C}$, så vil temperaturen til gjenstanden etter $t$ minutter oppfylle likningen $$ \ln(T - T_0) = -k\cdot t + r $$ der $k$ og $r$ er konstanter som avhenger av gjenstanden og rommet. En kaffekopp fylles opp med kaffe som har en temperatur på $100 \degree \mathrm{C}$, og settes i et rom med temperatur $20 \degree \mathrm{C}$. Etter $10$ minutter er temperaturen til kaffen $60 \degree \mathrm{C}$. Bestem hvor lang tid det tar før temperaturen til kaffen er $40 \, \degree \mathrm{C}$. ::::{hints} Bestem verdiene til $k$ og $r$ først! Husk å regne eksakt! :::: ::::{answer} 20 minutter. :::: ::::{solution} Siden romtemperaturen er $20 \degree \mathrm{C}$, så er $T_0 = 20$. Vi starter med å bestemme konstanten $r$ ved å bruke at når $t = 0$, så er $T = 100$: $$ \ln(100 - 20) = -k \cdot 0 + r = r $$ som gir $$ r = \ln 80 $$ Etter $t = 10$ minutter, så er temperaturen $T = 60$. Vi bruker dette til å bestemme konstanten $k$: $$ \ln(60 - 20) = -k \cdot 10 + \ln 80 $$ $$ \ln 40 = -10k + \ln 80 $$ $$ 10k = \ln 80 - \ln 40 = \ln \dfrac{80}{40} = \ln 2 $$ $$ k = \dfrac{\ln 2}{10} $$ Deretter bruker vi dette til å bestemme hvor lang tid det tar før temperaturen er $T = 40$: $$ \ln(40 - 20) = -\dfrac{\ln 2}{10} \cdot t + \ln 80 $$ $$ \ln 20 = -\dfrac{\ln 2}{10} \cdot t + \ln 80 $$ $$ \dfrac{\ln 2}{10} \cdot t = \ln 80 - \ln 20 = \ln \dfrac{80}{20} = \ln 4 $$ $$ t = \dfrac{10 \ln 4}{\ln 2} = 10 \cdot \dfrac{\ln 2^2}{\ln 2} = 10 \cdot \dfrac{2 \ln 2}{\ln 2} = 20 $$ Altså tar det $20$ minutter før temperaturen til kaffen er $40 \degree \mathrm{C}$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 Avgjør om påstandene er riktig. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Hvis $x > 0$, så er $(\ln x)^4 = 4 \ln x$. ::::{answer} Påstanden er usann. :::: ::::{solution} Generelt sett er $$ (\ln x)^4 \neq \ln x^4 = 4 \ln x $$ Dermed er påstanden usann. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hvis $x > 0$ og $y > 0$, så er $\ln(x + y) = \ln x + \ln y$. ::::{answer} Påstanden er usann. :::: ::::{solution} Generelt er $$ \ln x + \ln y = \ln (xy) $$ Siden vi også vet at $$ \ln a = \ln b \liff a = b $$ så ville $\ln(x + y) = \ln x + \ln y$ også bety at $$ \ln (x + y) = \ln (xy) \liff x + y = xy $$ Men for alle tall $x > 0$ og $y > 0$ så vil ikke $x + y = xy$ være sant. Et konkret moteksempel vil være $x = 1$ og $y = 2$. Da har vi $$ 1 + 2 \neq 1 \cdot 2 $$ Dermed må påstanden være usann. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Hvis $x > 0$, så er $\ln x^3 = 3 \ln x$. ::::{answer} Påstanden er sann. :::: ::::{solution} Generelt, så gjelder $$ \ln x^b = b \ln x $$ så lenge $x > 0$. Her har vi $b = 3$, så påstanden er sann. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Hvis $x > 0$ og $y > 0$, så er $$ \ln\dfrac{x}{y} = -\ln\dfrac{y}{x} $$ ::::{answer} Påstanden er sann. :::: ::::{solution} Vi bruker logaritmesetningene til å skrive om venstresiden: $$ \ln\dfrac{x}{y} = \ln x - \ln y = -(\ln y - \ln x) = -\ln\dfrac{y}{x} $$ Dermed er påstanden sann. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 14 Anna jobber med likningen $$ (\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 3 = 0 $$ Hun har gjort et variabelskifte $u = \log_2 x$ og definert funksjonene $$ f(u) = u^2 - 4u + 3 \qog u(x) = \log_2 x $$ Så har hun tegnet grafene til de to funksjonene i to koordinatssystemer som vist nedenfor. Bruk figurene til å løse likningen til Anna grafisk. :::{plot} width: 70% function: x**2 - 4*x + 3, f(u) xmin: -6 xmax: 6 ymin: -6 ymax: 6 xlabel: $u$ ylabel: $y$ ::: :::{plot} width: 70% function: ln(x)/ln(2), (0.000001, 100), u(x) xmin: -1 xmax: 17 ymin: -3 ymax: 6 xlabel: $x$ ylabel: $y$ ::: ::::{answer} $$ x = 2 \or x = 8 $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ skjærer $u$-aksen når $u = 1$ og $u = 3$. Ser vi grafen til $u(x) = \log_2 x$ ser vi at grafen til $u$ skjærer linja $y = 1$ når $x = 2$ og linja $y = 3$ når $x = 8$. Dermed er løsningene til likningen $$ x = 2 \or x = 8 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 15 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til $f(x) = e^x$ er vist i figuren nedenfor. Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen $$ \ln x = 0.4 $$ :::{plot} width: 80% function: exp(x), (0.0000001, 100) xmin: -0.1 xmax: 1.3 xstep: 0.1 ymin: -0.5 ymax: 4 ystep: 0.5 ::: ::::{answer} $$ x \approx 1.5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til $f(x) = e^x$ er vist i figuren nedenfor. Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen $$ \ln x = \dfrac{11}{10} $$ :::{plot} width: 80% function: exp(x), (0.0000001, 100) xmin: -0.1 xmax: 1.3 xstep: 0.1 ymin: -0.5 ymax: 4 ystep: 0.5 ::: ::::{answer} $$ x \approx 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til $f(x) = 10^x$ er vist i figuren nedenfor. Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen $$ \lg x = 0.7 $$ :::{plot} width: 80% function: 10^x, (0.0000001, 100) xmin: -0.1 xmax: 1 xstep: 0.1 ymin: -0.5 ymax: 11 ystep: 1 ::: ::::{answer} $$ x \approx 5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til $f(x) = 10^x$ er vist i figuren nedenfor. Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet løsning til likningen $$ \lg x = \dfrac{3}{10} $$ :::{plot} width: 80% function: 10^x, (0.0000001, 100) xmin: -0.1 xmax: 1 xstep: 0.1 ymin: -0.5 ymax: 11 ystep: 1 ::: ::::{answer} $$ x \approx 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 16 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (\log_2 x)^3 - 8 (\log_2 x)^2 + 19 \log_2 x - 12 $$ Programmet nedenfor regner ut noe. :::{interactive-code} def f(u): return u**3 - 8 * u**2 + 19*u - 12 for u in range(-5, 6): print(f(u)) ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk programmet ovenfor og bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen nedenfor er en identitet. $$ u^3 - 8u^2 + 19u - 12 = (u - a)(u - b)(u - c) $$ ::::{answer} $$ a = 1 \and b = 3 \and c = 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs likningen $f(x) = 0$. ::::{answer} $$ x = 2 \or x = 8 \or x = 16 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::