# Oppgaver: Vektorer :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 Ta quizen nedenfor! ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} I koordinatsystemet nedenfor er en vektor $\vec{a}$ tegnet inn. :::{plot} width: 60% vector: (0, 0), (1, 2), blue fontsize: 25 xmin: -1 ymin: -1 ymax: 4 xmax: 4 ::: Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til $\vec{a}$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \vec{a} = [1, 2] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{a} = [2, 1] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{a} = [-2, 1] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{a} = [2, -1] $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} I koordinatsystemet nedenfor er en vektor $\vec{b}$ er tegnet inn. :::{plot} width: 60% fontsize: 25 vector: (0, 0), (-4, 3), blue ::: Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til $\vec{b}$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \vec{b} = [-4, 3] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{b} = [4, 3] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{b} = [-3, 4] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{b} = [3, -4] $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} I koordinatsystemet nedenfor er en vektor $\vec{c}$ tegnet inn. :::{plot} width: 60% fontsize: 25 vector: (-2, 1), (3, 2), blue ::: Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til $\vec{c}$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \vec{c} = [5, 1] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{c} = [1, 5] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{c} = [3, 2] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{c} = [-2, 1] $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} I koordinatsystemet nedenfor er en vector $\vec{d}$ tegnet inn. :::{plot} width: 60% fontsize: 25 vector: (1, 4), (3, 4), blue ::: Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til $\vec{d}$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \vec{d} = [2, 0] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{d} = [0, 2] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{d} = [3, 4] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{d} = [1, 4] $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} I koordinatsystemet nedenfor er en vektor $\vec{p}$ tegnet inn. :::{plot} width: 60% fontsize: 25 vector: (3, -2), (3, 5), blue ::: Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til $\vec{p}$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \vec{p} = [0, 7] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{p} = [3, 5] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{p} = [3, -2] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \vec{p} = [5, 7] $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} fontsize: 30 align: right width: 100% xmin: -1 ymin: -1 vector: (1, 2), (3, 3), blue text: 0.5 * (1 + 3), 0.5 * (2 + 3), "$\vec{a}$", top-left ::: I koordinatssystemet til høyre vises en vektor $\vec{a}$. Bestem vektorkoordinatene til $\vec{a}$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \vec{a} = [2, 1] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} fontsize: 30 align: right width: 100% xmin: -1 ymin: -1 vector: (1, 4), (3, 1), blue text: 0.5 * (1 + 3), 0.5 * (4 + 1), "$\vec{b}$", top-right ::: I koordinatsystemet til høyre vises en vektor $\vec{b}$. Bestem vektorkoordinatene til $\vec{b}$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \vec{b} = [2, -3] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} fontsize: 30 align: right width: 100% xmin: -1 ymin: -1 vector: (1, 1), (5, 4), blue text: 0.5 * (1 + 5), 0.5 * (1 + 4), "$\vec{c}$", top-left ::: I koordinatsystemet til høyre vises en vektor $\vec{c}$. Bestem vektorkoordinatene til $\vec{c}$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \vec{c} = [4, 3] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{plot} fontsize: 30 align: right width: 100% xmin: -1 ymin: -1 vector: (4, 5), (2, 1), blue text: 0.5 * (4 + 2), 0.5 * (5 + 1), "$\vec{d}$", top-left ::: I koordinatsystemet til høyre vises en vektor $\vec{d}$. Bestem vektorkoordinatene til $\vec{d}$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \vec{d} = [-2, -4] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} fontsize: 30 align: right width: 100% vector: (-5, -5), 4, 1, blue vector: (1, 3), 4, 1, red text: 0.5 * (-4 + -1), 0.5 * (-5 + -4), "$\vec{a}$", top-left text: 0.5 * (1 + 5), 0.5 * (3 + 4), "$\vec{b}$", top-left ::: I koordinatsystemet til høyre vises to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$. Avgjør om vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er like. :::{clear} ::: ::::{answer} Vektorene er like. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 30 vector: (2, 1), (4, 2), blue vector: (-3, 4), (-1, 2), red text: 0.5 * (2 + 4), 0.5 * (1 + 2), "$\vec{c}$", top-left text: 0.5 * (-3 + -1), 0.5 * (4 + 2), "$\vec{d}$", top-right ::: I koordinatsystemet til høyre er to vektorer $\vec{c}$ og $\vec{d}$ tegnet inn. Avgjør om vektorene $\vec{c}$ og $\vec{d}$ er like. :::{clear} ::: ::::{answer} Vektorene er **ikke** like. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 30 vector: (1, 2), (4, 2), blue vector: (-4, -3), (-1, -3), red vector: (0, -2), (4, -2), purple text: 0.5 * (1 + 4), 0.5 * (2 + 2), "$\vec{a}$", top-center text: 0.5 * (-4 + -1), 0.5 * (-3 + -3) - 0.1, "$\vec{b}$", bottom-center text: 0.5 * (0 + 4), 0.5 * (-2 + -2), "$\vec{c}$", bottom-center ::: I koordinatsystemet til høyre er tre vektorer $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$ tegnet inn. Avgjør om noen av vektorene er like. :::{clear} ::: ::::{answer} Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er like. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 30 vector: (1, 2), (5, 3), blue text: 0.5 * (1 + 5), 0.5 * (2 + 3), "$\vec{a}$", top-left xmin: -1 ymin: -1 ::: I koordinatsystemet til høyre er en vektor $\vec{a}$ tegnet inn. Bestem $\abs{\vec{a}}$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{17} $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{(5-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 30 vector: (3, 4), (1, 1), blue text: 0.5 * (3 + 1), 0.5 * (4 + 1), "$\vec{b}$", top-left xmin: -1 ymin: -1 ::: I koordinatsystemet til høyre er en vektor $\vec{b}$ tegnet inn. Bestem $\abs{\vec{b}}$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{13} $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{(1-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 30 vector: (-2, 1), (2, 5), blue text: 0.5 * (-2 + 2), 0.5 * (1 + 5), "$\vec{c}$", bottom-right xmin: -3 ymin: -1 ::: I koordinatsystemet til høyre er en vektor $\vec{c}$ tegnet inn. Bestem $\abs{\vec{c}}$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \abs{\vec{c}} = 4\sqrt{2} $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{2\cdot 16} = 4\sqrt{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En vektor $\vec{a}$ er gitt ved $$ \vec{a} = [2, 5] $$ Bestem $\abs{\vec{a}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{29} $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En vektor $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{b} = [-3, 1] $$ Bestem $\abs{\vec{b}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{10} $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En vektor $\vec{c}$ er gitt ved $$ \vec{c} = [4, -4] $$ Bestem $\abs{\vec{c}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{c}} = 4\sqrt{2} $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{2\cdot 16} = 4\sqrt{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En vektor $\vec{d}$ er gitt ved $$ \vec{d} = [-1, -7] $$ Bestem $\abs{\vec{d}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{d}} = 5\sqrt{2} $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{d}} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 > Noen ganger er det lurt å faktorisere ut en skalar fra vektoren og bruke at $\abs{k\cdot \vec{a}} = \abs{k} \cdot \abs{\vec{a}}$ for å kunne skrive lengden av vektoren så enkelt som mulig. Prøv dette i denne oppgaven. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En vektor $\vec{a}$ er gitt ved $$ \vec{a} = [6, -8] $$ Bestem $\abs{\vec{a}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{a}} = 10 $$ :::: ::::{solution} Vi kan skrive vektoren som $$ \vec{a} = [6, -8] = 2 \cdot [3, -4] $$ Dermed blir lengden: $$ \abs{\vec{a}} = \abs{2} \cdot \abs{[3, -4]} = 2 \cdot \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 2 \cdot \sqrt{9 + 16} = 2 \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En vektor $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{b} = [-2, 14] $$ Bestem $\abs{\vec{b}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{b}} = 10\sqrt{2} $$ :::: ::::{solution} Vi kan skrive vektoren som $$ \vec{b} = [-2, 14] = 2\cdot [-1, 7] $$ Da blir lengden $$ \begin{align*} \abs{\vec{b}} &= \abs{2} \cdot \abs{[-1, 7]} = 2 \cdot \sqrt{(-1)^2 + 7^2} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{1 + 49} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{50} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 25} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{25} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \\ \\ &= 10 \sqrt{2} \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En vektor $\vec{c}$ er gitt ved $$ \vec{c} = [9, 12] $$ Bestem $\abs{\vec{c}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{c}} = 15. $$ :::: ::::{solution} Vi kan skrive vektoren som $$ \vec{c} = [9, 12] = 3 \cdot [3, 4] $$ Da blir lengden $$ \begin{align*} \abs{\vec{c}} &= \abs{3} \cdot \abs{[3, 4]} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{9 + 16} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{25} \\ \\ &= 3 \cdot 5 \\ \\ &= 15 \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En vektor $\vec{d}$ er gitt ved $$ \vec{d} = [21, -3] $$ Bestem $\abs{\vec{d}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{d}} = 15\sqrt{2} $$ :::: ::::{solution} Vi kan skrive vektoren som $$ \vec{d} = [21, -3] = 3 \cdot [7, -1] $$ Da blir lengden $$ \begin{align*} \abs{\vec{d}} &= \abs{3} \cdot \abs{[7, -1]} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{7^2 + (-1)^2} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{49 + 1} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{50} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 25} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{25} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \\ \\ &= 15 \sqrt{2} \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Tre vektorer $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$ er gitt ved $$ \vec{a} = [3, -4] \qog \vec{b} = [8, -1] \qog \vec{c} = [6, 2] $$ Sorter vektorene i stigende rekkefølge etter lengde. ::::{answer} $$ \abs{\vec{a}} < \abs{\vec{c}} < \abs{\vec{b}} $$ :::: ::::{solution} Vi regner ut lengden til hver vektor: $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{8^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} $$ $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $$ Dermed har vi at vektorene sortert i stigende rekkefølge etter lengde er $$ \abs{\vec{a}} < \abs{\vec{c}} < \abs{\vec{b}} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Tre vektorer $\vec{p}$, $\vec{q}$ og $\vec{r}$ er gitt ved $$ \vec{p} = [2, 7] \qog \vec{q} = [-1, 9] \qog \vec{r} = [3, -6] $$ Sorter vektorene i stigende rekkefølge etter lengde. ::::{answer} $$ \abs{\vec{r}} \lt \abs{\vec{p}} \lt \abs{\vec{q}} $$ :::: ::::{solution} Vi regner ut lengden til hver vektor: $$ \abs{\vec{p}} = \sqrt{2^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} $$ $$ \abs{\vec{q}} = \sqrt{(-1)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} $$ $$ \abs{\vec{r}} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} $$ Dermed har vi at vektorene sortert i stigende rekkefølge etter lengde er $$ \abs{\vec{r}} \lt \abs{\vec{p}} \lt \abs{\vec{q}} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Tre vektorer $\vec{u}$, $\vec{v}$ og $\vec{w}$ er gitt ved $$ \vec{u} = [12, -5] \qog \vec{v} = [-11, 7] \qog \vec{w} = [10, 3] $$ Sorter vektorene i stigende rekkefølge etter lengde. ::::{answer} $$ \abs{\vec{w}} \lt \abs{\vec{u}} \lt \abs{\vec{v}} $$ :::: ::::{solution} Vi regner ut lengden til hver vektor: $$ \abs{\vec{u}} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 $$ $$ \abs{\vec{v}} = \sqrt{(-11)^2 + 7^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170} $$ $$ \abs{\vec{w}} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109} $$ Dermed har vi at vektorene sortert i stigende rekkefølge etter lengde er $$ \abs{\vec{w}} \lt \abs{\vec{u}} \lt \abs{\vec{v}} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a To vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{a} = [1, 2] \qog \vec{b} = [3, 1] $$ Bestem $\vec{a} + \vec{b}$. ::::{answer} $$ \vec{a} + \vec{b} = [4, 3] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{a} + \vec{b} = [1 + 3, 2 + 1] = [4, 3] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b To vektorer $\vec{c}$ og $\vec{d}$ er gitt ved $$ \vec{c} = [-2, 4] \qog \vec{d} = [1, -3] $$ Bestem $\vec{c} + \vec{d}$. ::::{answer} $$ \vec{c} + \vec{d} = [-1, 1] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{c} + \vec{d} = [-2 + 1, 4 + (-3)] = [-1, 1] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c To vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ er gitt ved $$ \vec{p} = [0, 5] \qog \vec{q} = [4, -2] $$ Bestem $\vec{p} + \vec{q}$. ::::{answer} $$ \vec{p} + \vec{q} = [4, 3] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{p} + \vec{q} = [0 + 4, 5 + (-2)] = [4, 3] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d To vektorer $\vec{r}$ og $\vec{s}$ er gitt ved $$ \vec{r} = [-3, -1] \qog \vec{s} = [2, 4] $$ Bestem $\vec{r} + \vec{s}$. ::::{answer} $$ \vec{r} + \vec{s} = [-1, 3] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{r} + \vec{s} = [-3 + 2, -1 + 4] = [-1, 3] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a To vektor $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{a} = [5, 3] \qog \vec{b} = [2, 4] $$ Bestem $\vec{b} - \vec{a}$ og $\vec{a} - \vec{b}$. ::::{answer} $$ \vec{b} - \vec{a} = [-3, 1] \qog \vec{a} - \vec{b} = [3, -1] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{b} - \vec{a} = [2 - 5, 4 - 3] = [-3, 1] $$ $$ \vec{a} - \vec{b} = [5 - 2, 3 - 4] = [3, -1] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b To vektorer $\vec{c}$ og $\vec{d}$ er gitt ved $$ \vec{c} = [1, 6] \qog \vec{d} = [4, 2] $$ Bestem $\vec{d} - \vec{c}$ og $\vec{c} - \vec{d}$. ::::{answer} $$ \vec{d} - \vec{c} = [3, -4] \qog \vec{c} - \vec{d} = [-3, 4] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{d} - \vec{c} = [4 - 1, 2 - 6] = [3, -4] $$ $$ \vec{c} - \vec{d} = [1 - 4, 6 - 2] = [-3, 4] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c To vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ er gitt ved $$ \vec{p} = [3, 5] \qog \vec{q} = [1, 7] $$ Bestem $\vec{q} - \vec{p}$ og $\vec{p} - \vec{q}$. ::::{answer} $$ \vec{q} - \vec{p} = [-2, 2] \qog \vec{p} - \vec{q} = [2, -2] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{q} - \vec{p} = [1 - 3, 7 - 5] = [-2, 2] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d To vektorer $\vec{r}$ og $\vec{s}$ er gitt ved $$ \vec{r} = [0, 4] \qog \vec{s} = [5, 1] $$ Bestem $\vec{s} - \vec{r}$ og $\vec{r} - \vec{s}$. ::::{answer} $$ \vec{s} - \vec{r} = [5, -3] \qog \vec{r} - \vec{s} = [-5, 3] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{s} - \vec{r} = [5 - 0, 1 - 4] = [5, -3] $$ $$ \vec{r} - \vec{s} = [0 - 5, 4 - 1] = [-5, 3] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 En vektor $\vec{a}$ har lengden $\abs{\vec{a}} = 5$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En vektor $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{b} = 2 \vec{a}. $$ Bestem $\abs{\vec{b}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{b}} = 10 $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{b}} = \abs{2 \vec{a}} = 2 \abs{\vec{a}} = 2 \cdot 5 = 10 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En annen vektor $\vec{c}$ er gitt ved $$ \vec{c} = -3 \vec{a}. $$ Bestem $\abs{\vec{c}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{c}} = 15 $$ :::: ::::{solution} $$ \abs{\vec{c}} = \abs{-3 \vec{a}} = \abs{-3} \abs{\vec{a}} = 3 \cdot 5 = 15 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En vektor $\vec{d}$ er gitt ved $$ \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}. $$ Bestem $\abs{\vec{d}}$. ::::{answer} $$ \abs{\vec{d}} = 5 $$ :::: ::::{solution} Vektoren $\vec{d}$ er gitt ved: $$ \vec{d} = \vec{b} + \vec{c} = 2\vec{a} + (-3\vec{a}) = -\vec{a} $$ Da blir lengden av vektoren $\vec{d}$: $$ \abs{\vec{d}} = \abs{-\vec{a}} = \abs{-1} \abs{\vec{a}} = 1 \cdot 5 = 5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En vektor $\vec{a}$ er gitt ved $$ \vec{a} = [1, 2] $$ En annen vektor $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{b} = 3\vec{a} $$ Bestem vektorkoordinatene til $\vec{b}$. ::::{answer} $$ \vec{b} = [3, 6] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{b} = 3 \vec{a} = 3 \cdot [1, 2] = [3 \cdot 1, 3 \cdot 2] = [3, 6] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En vektor $\vec{c}$ er gitt ved $$ \vec{c} = [-2, 4] $$ En annen vektor $\vec{d}$ er gitt ved $$ \vec{d} = -2\vec{c} $$ Bestem vektorkoordinatene til $\vec{d}$. ::::{answer} $$ \vec{d} = [4, -8] $$ :::: ::::{solution} $$ \vec{d} = -2 \vec{c} = -2 \cdot [-2, 4] = [(-2) \cdot (-2), (-2) \cdot 4] = [4, -8] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c To vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ er gitt ved $$ \vec{p} = [3, -1] \qog \vec{q} = [9, -3] $$ En annen vektor $\vec{r}$ er gitt ved $$ \vec{r} = 2\vec{p} - 3\vec{q} $$ Bestem vektorkoordinatene til $\vec{r}$. ::::{answer} $$ \vec{r} = [-21, 7] $$ :::: ::::{solution} $$ \begin{align*} \vec{r} &= 2 \vec{p} - 3 \vec{q} \\ \\ &= 2 \cdot [3, -1] - 3 \cdot [9, -3] \\ \\ & = [6, -2] + [-27, 9] \\ \\ &= [6 - 27, -2 + 9] \\ \\ &= [-21, 7] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d To vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er gitt ved $$ \vec{u} = [4, 2] \qog \vec{v} = [8, 4] $$ En annen vektor $\vec{w}$ er gitt ved $$ \vec{w} = -\dfrac{1}{2}\vec{u} + 3\vec{v} $$ Bestem vektorkoordinatene til $\vec{w}$. ::::{answer} $$ \vec{w} = [22, 11] $$ :::: ::::{solution} $$ \begin{align*} \vec{w} &= -\dfrac{1}{2} \vec{u} + 3 \vec{v} \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot [4, 2] + 3 \cdot [8, 4] \\ \\ &= [-2, -1] + [24, 12] \\ \\ &= [-2 + 24, -1 + 12] \\ \\ &= [22, 11] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 30 vector: (1, 1), (2, 2), blue vector: (1, 2), (4, 5), red text: 0.5 * (1 + 2), 0.5 * (1 + 2), "$\vec{a}$", bottom-right text: 0.5 * (1 + 4), 0.5 * (2 + 5), "$\vec{b}$", top-left xmin: -1 ymin: -1 ::: I koordinatsystemet til høyre er to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ tegnet inn. 1. Avgjør om $\vec{a} \parallel \vec{b}$. 2. Hvis ja, bestem $k$ slik at $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$. :::{clear} ::: ::::{answer} 1. Vektorene er parallelle. 2. $k = 3$. :::: ::::{solution} Vi har at $$ \vec{a} = [2 - 1, 2 - 1] = [1, 1] \qog \vec{b} = [4 - 1, 5 - 2] = [3, 3]. $$ Vi setter opp likningen $$ [3, 3] = k \cdot [1, 1]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ 3 = k \cdot 1 \and 3 = k \cdot 1. $$ Begge likninger gir oss at $k = 3$, så dermed er vektorene parallelle og $k = 3$ for at $$ \vec{b} = k \cdot \vec{a}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 30 vector: (1, 3), (3, 5), blue vector: (4, -1), (2, -3), red text: 0.5 * (1 + 3), 0.5 * (3 + 5), "$\vec{c}$", top-left text: 0.5 * (4 + 2), 0.5 * (-1 + -3), "$\vec{d}$", bottom-right xmin: -1 ymin: -4 xmax: 5 ::: I koordinatsystemet til høyre er to vektorer $\vec{c}$ og $\vec{d}$ tegnet inn. 1. Avgjør om $\vec{c} \parallel \vec{d}$. 2. Hvis ja, bestem $k$ slik at $\vec{d} = k \cdot \vec{c}$. :::{clear} ::: ::::{answer} 1. Vektorene er parallelle. 2. $k = -1$. :::: ::::{solution} Vi har at $$ \vec{c} = [3 - 1, 5 - 3] = [2, 2] \qog \vec{d} = [2 - 4, -3 - (-1)] = [-2, -2]. $$ Vi setter opp likningen $$ [-2, -2] = k \cdot [2, 2]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ -2 = k \cdot 2 \and -2 = k \cdot 2. $$ Begge likninger gir oss at $k = -1$, så dermed er vektorene parallelle og $k = -1$ for at $$ \vec{d} = k \cdot \vec{c}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} width: 100% align: right vector: (-1, 1), (4, 5), blue vector: (2, -3), (1, -4), red text: 0.5 * (-1 + 4), 0.5 * (1 + 5), "$\vec{p}$", top-left text: 0.5 * (2 + 1), 0.5 * (-3 + -4), "$\vec{q}$", bottom-right fontsize: 30 xmin: -2 ymin: -5 xmax: 5 ymax: 6 ::: I koordinatsystemet til høyre er to vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ tegnet inn. 1. Avgjør om $\vec{p} \parallel \vec{q}$. 2. Hvis ja, bestem $k$ slik at $\vec{q} = k \cdot \vec{p}$. :::{clear} ::: ::::{answer} Vektorene er ikke parallelle. :::: ::::{solution} Vi har at $$ \vec{p} = [4 - (-1), 5 - 1] = [5, 4] \qog \vec{q} = [1 - 2, -4 - (-3)] = [-1, -1]. $$ Vi setter opp likningen $$ [-1, -1] = k \cdot [5, 4]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ -1 = k \cdot 5 \and -1 = k \cdot 4. $$ som gir oss at $$ k = -\dfrac{1}{5} \qog k = -\dfrac{1}{4}. $$ Her får vi to forskjellige verdier for $k$ som betyr at vektorene ikke er parallelle. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 30 vector: (-1, 0), 2, 4, blue vector: (4, 4), -1, -2, red text: 0.5 * (-1 + (-1 + 2)), 0.5 * (0 + (0 + 4)), "$\vec{r}$", bottom-right text: 0.5 * (4 + (4 + -1)), 0.5 * (4 + (4 + -2)), "$\vec{s}$", bottom-right xmin: -2 ymin: -2 ::: I koordinatsystemet til høyre er to vektorer $\vec{r}$ og $\vec{s}$ tegnet inn. 1. Avgjør om $\vec{r} \parallel \vec{s}$. 2. Hvis ja, bestem $k$ slik at $\vec{s} = k \cdot \vec{r}$. :::{clear} ::: ::::{answer} 1. Vektorene er parallelle. 2. $k = -\dfrac{1}{2}$. :::: ::::{solution} Vi har at $$ \vec{r} = [(-1 + 2) - (-1), (0 + 4) - 0] = [2, 4] \qog \vec{s} = [(4 + -1) - 4, (4 + -2) - 4] = [-1, -2]. $$ Vi setter opp likningen $$ [-1, -2] = k \cdot [2, 4]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ -1 = k \cdot 2 \and -2 = k \cdot 4. $$ Begge likninger gir oss at $k = -\dfrac{1}{2}$, så dermed er vektorene parallelle og $k = -\dfrac{1}{2}$ for at $$ \vec{s} = k \cdot \vec{r}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a To vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{a} = [2, 3] \qog \vec{b} = [4, 6] $$ Avgjør om $\vec{a} \parallel \vec{b}$. ::::{answer} Vektorene er parallelle. :::: ::::{solution} Vi setter opp likningen $$ \vec{a} = k \cdot \vec{b} \liff [2, 3] = k \cdot [4, 6]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ 2 = 4k \and 3 = 6k. $$ $$ \dfrac{2}{4} = k \and \dfrac{3}{6} = k. $$ $$ \dfrac{1}{2} = k \and \dfrac{1}{2} = k. $$ Vi får samme verdi for $k$ fra begge likninger som betyr at vektorene er parallelle. Altså er $\vec{a} \parallel \vec{b}$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b To vektorer $\vec{c}$ og $\vec{d}$ er gitt ved $$ \vec{c} = [1, 5] \qog \vec{d} = [-2, -10] $$ Avgjør om $\vec{c} \parallel \vec{d}$. ::::{answer} Vektorene er parallelle. :::: ::::{solution} Vi setter opp likningen $$ \vec{c} = k \cdot \vec{d} \liff [1, 5] = k \cdot [-2, -10]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ 1 = -2k \and 5 = -10k. $$ $$ -\dfrac{1}{2} = k \and -\dfrac{5}{10} = k. $$ $$ -\dfrac{1}{2} = k \and -\dfrac{1}{2} = k. $$ Vi får samme verdi for $k$ fra begge likninger som betyr at vektorene er parallelle. Altså er $\vec{c} \parallel \vec{d}$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c To vektorer $\vec{p}$ og $\vec{q}$ er gitt ved $$ \vec{p} = [3, 2] \qog \vec{q} = [6, k] $$ Bestem $k$ slik at $\vec{p} \parallel \vec{q}$. ::::{answer} $$ k = 4 $$ :::: ::::{solution} For at de to vektorene skal være parallelle, må forholdstallet mellom $x$-komponentene og $y$-komponentene til de to vektorene være like. Altså må vi ha at $$ \dfrac{6}{3} = \dfrac{k}{2}. $$ Da får vi at $$ \dfrac{k}{2} = 2 \liff k = 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d To vektorer $\vec{r}$ og $\vec{s}$ er gitt ved $$ \vec{r} = [k, 4] \qog \vec{s} = [3, 6] $$ Bestem $k$ slik at $\vec{r} \parallel \vec{s}$. ::::{answer} $$ k = 2 $$ :::: ::::{solution} For at de to vektorene skal være parallelle, må forholdstallet mellom $x$-komponentene og $y$-komponentene til de to vektorene være like. Altså må vi ha at $$ \dfrac{k}{3} = \dfrac{4}{6} \liff k = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 14 To vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er gitt ved $$ \vec{u} = [1, 2] \qog \vec{v} = [3, 2] $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En vektor $\vec{a}$ er gitt ved $$ \vec{a} = [1, -2] $$ Bestem $s$ og $t$ slik at $$ \vec{a} = s\vec{u} + t\vec{v} $$ Lag en figur som viser sammenhengen mellom vektorene $\vec{u}$, $\vec{v}$ og $\vec{a}$. ::::{answer} $$ s = -2 \and t = 1 $$ :::: ::::{solution} Vi setter opp likningen $$ \vec{a} = s\vec{u} + t\vec{v} \liff [1, -2] = s \cdot [1, 2] + t \cdot [3, 2]. $$ Som vi kan skrive om til $$ [1, -2] = [s + 3t, 2s + 2t]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ 1 = s + 3t \and -2 = 2s + 2t. $$ Løser vi den første likningen for $s$ får vi at $$ s = 1 - 3t. $$ Setter vi dette inn i den andre likningen får vi at $$ -2 = 2(1 - 3t) + 2t \liff -2 = 2 - 6t + 2t $$ som kan forenkles til $$ -4 = -4t \liff t = 1. $$ Setter vi dette tilbake i likningen for $s$ får vi at $$ s = 1 - 3 \cdot 1 = -2. $$ Altså er $$ s = -2 \and t = 1. $$ I figuren nedenfor viser vi den grafiske sammenhengen mellom $\vec{a}$ og vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$. :::{plot} width: 70% vector: (0, 0), (1, -2), blue text: 0.5 * (0 + 1), 0.5 * (0 + -2), "$\vec{a}$", top-right vector: (0, 0), -1, -2, red text: 0.5 * (0 + -1), 0.5 * (0 + -2), "$-\vec{u}$", top-left vector: (-1, -2), -1, -2, red text: 0.5 * (-1 + (-1 + -1)), 0.5 * (-2 + (-2 + -2)), "$-\vec{u}$", top-left vector: (-2, -4), 3, 2, purple text: 0.5 * (-2 + (-2 + 3)), 0.5 * (-4 + (-4 + 2)), "$\vec{v}$", top-left ymax: 2 xmin: -3 xmax: 2 ymin: -5 ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En vektor $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{b} = [7, 6] $$ Bestem $s$ og $t$ slik at $$ \vec{b} = s\vec{u} + t\vec{v} $$ Lag en figur som viser sammenhengen mellom vektorene $\vec{u}$, $\vec{v}$ og $\vec{b}$. ::::{answer} $$ s = 1 \and t = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi setter opp likningen $$ \vec{b} = s\vec{u} + t\vec{v} \liff [7, 6] = s \cdot [1, 2] + t \cdot [3, 2]. $$ Som vi kan skrive om til $$ [7, 6] = [s + 3t, 2s + 2t]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ 7 = s + 3t \and 6 = 2s + 2t. $$ Løser vi den første likningen for $s$ får vi at $$ s = 7 - 3t. $$ Setter vi dette inn i den andre likningen får vi at $$ 6 = 2(7 - 3t) + 2t \liff 6 = 14 - 6t + 2t $$ som kan forenkles til $$ -8 = -4t \liff t = 2. $$ Setter vi dette tilbake i likningen for $s$ får vi at $$ s = 7 - 3 \cdot 2 = 1. $$ Altså er $$ s = 1 \and t = 2. $$ Figuren nedenfor viser sammenhengen mellom $\vec{b}$ og vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$. :::{plot} width: 70% vector: (0, 0), (7, 6), blue text: 0.5 * (0 + 7), 0.5 * (0 + 6), "$\vec{b}$", bottom-right vector: (0, 0), 1, 2, red text: 0.5 * (0 + 1), 0.5 * (0 + 2), "$\vec{u}$", top-left vector: (1, 2), 3, 2, purple text: 0.5 * (1 + (1 + 3)), 0.5 * (2 + (2 + 2)), "$\vec{v}$", top-left vector: (4, 4), 3, 2, purple text: 0.5 * (4 + (4 + 3)), 0.5 * (4 + (4 + 2)), "$\vec{v}$", top-left ymax: 8 xmin: -1 xmax: 8 ymin: -1 ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En vektor $\vec{c}$ er gitt ved $$ \vec{c} = [4, 0] $$ Bestem $s$ og $t$ slik at $$ \vec{c} = s\vec{u} + t\vec{v} $$ Lag en figur som viser sammenhengen mellom vektorene $\vec{u}$, $\vec{v}$ og $\vec{c}$. ::::{answer} $$ s = -2 \and t = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi setter opp likningen $$ \vec{c} = s\vec{u} + t\vec{v} \liff [4, 0] = s \cdot [1, 2] + t \cdot [3, 2]. $$ Som vi kan skrive om til $$ [4, 0] = [s + 3t, 2s + 2t]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ 4 = s + 3t \and 0 = 2s + 2t $$ Den andre likningen gir at $$ 2s + 2t = 0 \liff s + t = 0 \liff s = -t. $$ Setter vi dette inn i den første likningen får vi at $$ 4 = -t + 3t \liff 4 = 2t \liff t = 2. $$ Setter vi dette tilbake i likningen for $s$ får vi at $$ s = -2. $$ Altså er $$ s = -2 \and t = 2. $$ Figuren nedenfor viser sammenhengen mellom $\vec{c}$ og vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$. :::{plot} width: 70% vector: (0, 0), (4, 0), blue text: 0.5 * (0 + 4), 0.5 * (0 + 0), "$\vec{c}$", top-center vector: (0, 0), -1, -2, red text: 0.5 * (0 + -1), 0.5 * (0 + -2), "$-\vec{u}$", top-left vector: (-1, -2), -1, -2, red text: 0.5 * (-1 + (-1 + -1)), 0.5 * (-2 + (-2 + -2)), "$-\vec{u}$", top-left vector: (-2, -4), 3, 2, purple text: 0.5 * (-2 + (-2 + 3)), 0.5 * (-4 + (-4 + 2)), "$\vec{v}$", top-left vector: (1, -2), 3, 2, purple text: 0.5 * (1 + (1 + 3)), 0.5 * (-2 + (-2 + 2)), "$\vec{v}$", bottom--right ymax: 2 xmin: -3 xmax: 5 ymin: -5 :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En vektor $\vec{d}$ er gitt ved $$ \vec{d} = [0, 8] $$ Bestem $s$ og $t$ slik at $$ \vec{d} = s\vec{u} + t\vec{v} $$ Lag en figur som viser sammenhengen mellom vektorene $\vec{u}$, $\vec{v}$ og $\vec{d}$. ::::{answer} $$ s = 6 \and t = -2 $$ :::: ::::{solution} Vi setter opp likningen $$ \vec{d} = s\vec{u} + t\vec{v} \liff [0, 8] = s \cdot [1, 2] + t \cdot [3, 2]. $$ Som vi kan skrive om til $$ [0, 8] = [s + 3t, 2s + 2t]. $$ Dette gir oss to likninger: $$ 0 = s + 3t \and 8 = 2s + 2t. $$ Den første likningen gir oss at $$ s = -3t. $$ Setter vi dette inn i den andre likningen får vi at $$ 8 = 2(-3t) + 2t \liff 8 = -6t + 2t $$ som kan forenkles til $$ 8 = -4t \liff t = -2. $$ Setter vi dette tilbake i likningen for $s$ får vi at $$ s = -3 \cdot (-2) = 6. $$ Altså er $$ s = 6 \and t = -2. $$ Figuren nedenfor viser sammenhengen mellom $\vec{d}$ og vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$. :::{plot} width: 70% vector: (0, 0), (0, 8), blue text: 0.5 * (0 + 0), 0.5 * (0 + 8), "$\vec{d}$", center-right vector: (0, 0), 1, 2, red text: 0.5 * (0 + 1), 0.5 * (0 + 2), "$\vec{u}$", bottom-right vector: (1, 2), 1, 2, red text: 0.5 * (1 + (1 + 1)), 0.5 * (2 + (2 + 2)), "$\vec{u}$", bottom-right vector: (2, 4), 1, 2, red text: 0.5 * (2 + (2 + 1)), 0.5 * (4 + (4 + 2)), "$\vec{u}$", bottom-right vector: (3, 6), 1, 2, red text: 0.5 * (3 + (3 + 1)), 0.5 * (6 + (6 + 2)), "$\vec{u}$", bottom-right vector: (4, 8), 1, 2, red text: 0.5 * (4 + (4 + 1)), 0.5 * (8 + (8 + 2)), "$\vec{u}$", bottom-right vector: (5, 10), 1, 2, red text: 0.5 * (5 + (5 + 1)), 0.5 * (10 + (10 + 2)), "$\vec{u}$", bottom-right vector: (6, 12), -3, -2, purple text: 0.5 * (6 + (6 + -3)), 0.5 * (12 + (12 + -2)), "$-\vec{v}$", top-left vector: (3, 10), -3, -2, purple text: 0.5 * (3 + (3 + -3)), 0.5 * (10 + (10 + -2)), "$-\vec{v}$", top-left ymax: 14 xmin: -1 xmax: 7 ymin: -2 ystep: 2 :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::