# Oppgaver: Vektorer i koordinatsystemet :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 :::{plot} align: right width: 100% point: (-2, 3) text: -2, 3, "$A$", top-left point: (3, 4) text: 3, 4, "$B$", top-right fontsize: 30 xmin: -4 xmax: 5 ymin: -1 vector: (0, 0), (-2, 3), red vector: (0, 0), (3, 4), red vector: (-2, 3), (3, 4), blue text: 0.5 * 3, 0.5 * 4, "$\overrightarrow{OB}$", bottom-right text: 0.5 * -2, 0.5 * 3, "$\overrightarrow{OA}$", bottom-left text: 1, 3.5, "$\overrightarrow{AB}$", top-center ::: I koordinatsystemet til høyre vises to punkter $A$ og $B$. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $\lvec{OA}$ og $\lvec{OB}$. ::::{answer} $$ \lvec{OA} = [-2, 3] \qog \lvec{OB} = [3, 4] $$ :::: ::::{solution} Posisjonsvektorene har de samme koordinatene som punktene har. Vi kan lese av fra figuren at punktene er gitt ved $A(-2, 3)$ og $B(3, 4)$. Med andre ord er $$ \lvec{OA} = [-2, 3] \qog \lvec{OB} = [3, 4] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $\lvec{AB}$ og $\lvec{BA}$. ::::{answer} $$ \lvec{AB} = [5, 1] \qog \lvec{BA} = -\lvec{AB} = [-5, -1] $$ :::: ::::{solution} Vi har at $\lvec{OA} = [-2, 3]$ og $\lvec{OB} = [3, 4]$. Da er $$ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [3 - (-2), 4 - 3] = [5, 1] $$ og $$ \lvec{BA} = \lvec{OA} - \lvec{OB} = [-2 - 3, 3 - 4] = [-5, -1] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem avstanden mellom punktene $A$ og $B$. ::::{answer} $$ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{26} $$ :::: ::::{solution} Vi har at $\lvec{AB} = [5, 1]$. Da er avstanden mellom punktene $A$ og $B$ gitt ved $$ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 :::{plot} width: 100% align: right point: (1, 4) text: 1, 4, "$C$", top-right point: (-4, -3) text: -4, -3, "$A$", bottom-left point: (4, 2) text: 4, 2, "$B$", top-right fontsize: 30 ::: Gitt punktene $A$, $B$ og $C$ i koordinatsystemet til høyre. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem posisjonsvektorene $\lvec{OA}$, $\lvec{OB}$ og $\lvec{OC}$. ::::{answer} $$ \lvec{OA} = [-4, -3] \qog \lvec{OB} = [4, 2] \qog \lvec{OC} = [1, 4] $$ :::: ::::{solution} Punktet $A$ har koordinatene $(-4, -3)$ som betyr at $$ \lvec{OA} = [-4, -3] $$ Punktet $B$ har koordinatene $(4, 2)$ som betyr at $$ \lvec{OB} = [4, 2] $$ Punktet $C$ har koordinatene $(1, 4)$ som betyr at $$ \lvec{OC} = [1, 4] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $\lvec{AB}$, $\lvec{AC}$ og $\lvec{BC}$. ::::{answer} $$ \lvec{AB} = [8, 5] \qog \lvec{AC} = [5, 7] \qog \lvec{BC} = [-3, 2] $$ :::: ::::{solution} Vi kan lese av fra figuren at $A(-4, -3)$ og $B(4, 2)$. Da har vi $$ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [4, 2] - [-4, -3] = [4 - (-4), 2 - (-3)] = [8, 5] $$ Vi kan også lese av fra figuren at $C(1, 4)$. Da har vi $$ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [1, 4] - [-4, -3] = [1 - (-4), 4 - (-3)] = [5, 7] $$ Vi kan finne $\lvec{BC}$ ved å bruke at $$ \lvec{BC} = \lvec{AC} - \lvec{AB} = [5, 7] - [8, 5] = [5 - 8, 7 - 5] = [-3, 2] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem omkretsen til trekanten $\triangle ABC$. ::::{answer} $$ \mathcal{O} = \sqrt{89} + \sqrt{74} + \sqrt{13} $$ :::: ::::{solution} Vi har at $$ \begin{align*} \abs{\lvec{AB}} &= \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \\ \\ \abs{\lvec{AC}} &= \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \\ \\ \abs{\lvec{BC}} &= \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \end{align*} $$ Altså er omkretsen til trekanten gitt ved $$ \mathcal{O} = \abs{\lvec{AB}} + \abs{\lvec{AC}} + \abs{\lvec{BC}} = \sqrt{89} + \sqrt{74} + \sqrt{13} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 Gitt punktene $A(2, 3)$ og $B(-2, 2)$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $\lvec{OA}$ og $\lvec{OB}$. ::::{answer} $$ \lvec{OA} = [2, 3] \qog \lvec{OB} = [-2, 2] $$ :::: ::::{solution} Posisjonsvektorene til punktene vil ha samme vektorkoordinater som koordinatene til punktene i seg selv. Altså er: $$ \lvec{OA} = [2, 3] \qog \lvec{OB} = [-2, 2] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $\lvec{AB}$ og $\lvec{BA}$. ::::{answer} $$ \lvec{AB} = [-4, -1] \qog \lvec{BA} = -\lvec{AB} = [4, 1] $$ :::: ::::{solution} Vi har at $\lvec{OA} = [2, 3]$ og $\lvec{OB} = [-2, 2]$. Da er $$ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [-2 - 2, 2 - 3] = [-4, -1] $$ og $$ \lvec{BA} = -\lvec{AB} = (-1) \cdot [-4, -1] = [4, 1] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem lengden av linjestykket $AB$. ::::{answer} $$ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{17} $$ :::: ::::{solution} Vi har allerede funnet at $\lvec{AB} = [-4, -1]$. Da er lengden av linjestykket $AB$ gitt ved $$ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem koordinatene til midtpunktet $M$ på linjestykket $AB$. ::::{answer} $M\left(0, \dfrac{5}{2}\right)$ :::: ::::{solution} Midtpunktet $M$ ligger midt mellom punktene $A(2, 3)$ og $B(-2, 2)$. Vi kan derfor finne dette punktet ved å først gå veien om $A$, deretter følger vi $\lvec{AB}$ halve veien. Posisjonsvektoren til punktet er derfor $$ \begin{align*} \lvec{OM} &= \lvec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \lvec{AB} \\ \\ &= [2, 3] + \frac{1}{2} \cdot [-4, -1] \\ \\ &= [2, 3] + \left[-2, -\dfrac{1}{2}\right] \\ \\ &= \left[2 - 2, 3 - \dfrac{1}{2}\right] \\ \\ &= \left[0, \dfrac{5}{2}\right] \end{align*} $$ Altså er koordinatene til punktet $M\left(0, \dfrac{5}{2}\right)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 Tre punkter er gitt ved $A(-2, 1)$, $B(1, 5)$ og $C(7, -3)$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $\lvec{OA}$, $\lvec{OB}$ og $\lvec{OC}$. ::::{answer} $$ \begin{align*} \lvec{OA} &= [-2, 1] \\ \\ \lvec{OB} &= [1, 5] \\ \\ \lvec{OC} &= [7, -3] \end{align*} $$ :::: ::::{solution} Posisjonsvektorene til punktene vil ha samme vektorkoordinater som koordinatene til punktene i seg selv. Altså er: $$ \begin{align*} \lvec{OA} &= [-2, 1] \\ \\ \lvec{OB} &= [1, 5] \\ \\ \lvec{OC} &= [7, -3] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $\lvec{AB}$, $\lvec{BC}$ og $\lvec{CA}$. ::::{answer} $$ \begin{align*} \lvec{AB} &= [3, 4] \\ \\ \lvec{BC} &= [6, -8] \\ \\ \lvec{CA} &= [-9, 4] \end{align*} $$ :::: ::::{solution} Vi har at $\lvec{OA} = [-2, 1]$, $\lvec{OB} = [1, 5]$ og $\lvec{OC} = [7, -3]$. Da er $$ \begin{align*} \lvec{AB} &= \lvec{OB} - \lvec{OA} = [1 - (-2), 5 - 1] = [3, 4] \\ \\ \lvec{BC} &= \lvec{OC} - \lvec{OB} = [7 - 1, -3 - 5] = [6, -8] \\ \\ \lvec{CA} &= \lvec{OA} - \lvec{OC} = [-2 - 7, 1 - (-3)] = [-9, 4] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Punktene $A$, $B$ og $C$ utgjør en trekant $\triangle ABC$. Bestem hvilken sidelengde som er lengst i trekanten, og hvilken lengde denne sidelengden har. ::::{answer} $$ |\lvec{BC}| = 10 $$ :::: ::::{solution} Vi regner ut lengden til hver av sidene i trekanten: $$ \begin{align*} \abs{\lvec{AB}} &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \\ \\ \abs{\lvec{BC}} &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \\ \\ \abs{\lvec{CA}} &= \sqrt{(-9)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \end{align*} $$ Altså er $BC$ den lengste siden i trekanten med lengde $10$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 :::{plot} fontsize: 30 width: 100% align: right xmin: -1 xmax: 9 ymin: -1 ymax: 9 ticks: off point: (1, 2) text: 1, 2, "$A(1, 2)$", bottom-right point: (5, 4) text: 5, 4, "$B(5, 4)$", bottom-right point: (7, 8) text: 7, 8, "$C(7, 8)$", top-right point: (3, 6) text: 3, 6, "$D$", top-left line-segment: (1, 2), (5, 4), dashed, gray line-segment: (5, 4), (7, 8), dashed, gray line-segment: (7, 8), (3, 6), dashed, gray line-segment: (3, 6), (1, 2), dashed, gray ::: Et parallellogram $ABCD$ har hjørnene $$ A(1, 2), \, B(5, 4), \, C(7, 8) \qog D(a, b) $$ :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til punktet $D$. ::::{hints} Hint: Hva er egentlig et parallellogram? I et parallellogram så vil to og to sider være parallelle og like lange. :::: ::::{answer} $$ D(3, 6) $$ :::: ::::{solution} Sidene $AD$ og $BC$ er parallelle og like lange som betyr at $$ \begin{align*} \lvec{AD} &= \lvec{BC} \\ \\ &= \lvec{OC} - \lvec{OB} \\ \\&= [7, 8] - [5, 4] \\ \\ &= [2, 4] \end{align*} $$ For å finne koordinatene til punktet $D$, kan vi da gå veien om $A$ først og så følge vektoren $\lvec{AD}$: $$ \begin{align*} \lvec{OD} &= \lvec{OA} + \lvec{AD} \\ \\ &= [1, 2] + [2, 4] \\ \\ &= [3, 6] \end{align*} $$ Dermed er punktet $D$ gitt ved $D(3, 6)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til skjæringspunktet $P$ mellom diagonalene $AC$ og $BD$. ::::{hints} Hint Når du deler opp parallellogrammet med diagonalene $AC$ og $BD$, hvor havner skjæringspunktet i forhold til $A$ og $C$, og $B$ og $D$? :::: ::::{answer} $$ P(4, 5) $$ :::: ::::{solution} :::{plot} fontsize: 30 width: 100% align: right xmin: -1 xmax: 9 ymin: -1 ymax: 9 ticks: off point: (1, 2) text: 1, 2, "$A(1, 2)$", bottom-right point: (5, 4) text: 5, 4, "$B(5, 4)$", bottom-right point: (7, 8) text: 7, 8, "$C(7, 8)$", top-right point: (3, 6) text: 3, 6, "$D$", top-left line-segment: (1, 2), (5, 4), dashed, gray line-segment: (5, 4), (7, 8), dashed, gray line-segment: (7, 8), (3, 6), dashed, gray line-segment: (3, 6), (1, 2), dashed, gray line-segment: (1, 2), (7, 8), solid, blue line-segment: (5, 4), (3, 6), solid, red point: (4, 5) text: 4, 5, "$P$", top-right ::: Vi lager en hjelpefigur som vist til høyre. Fordi linjestykkene $AC$ deler parallellogrammet i to like store trekanter, må skjæringspunktet $P$ ligge midt mellom $B$ og $D$, altså er det midtpunktet på linjestykket $BD$. Vi kan også snu dette rundt og si at $P$ er midtpunktet på linjestykket $AC$ fordi linjestykket $BD$ også deler parallellogrammet i to like store trekanter. Vi kan altså bestemme koordinatene til $P$ ved å først gå veien om punktet $A$, og så følge vektoren $\lvec{AC}$ halve veien. Vi har at $$ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [7, 8] - [1, 2] = [6, 6] $$ Altså er posisjonsvektoren til punktet $P$ gitt ved $$ \begin{align*} \lvec{OP} &= \lvec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \lvec{AC} \\ \\ &= [1, 2] + \frac{1}{2} \cdot [6, 6] \\ \\ &= [1, 2] + [3, 3] \\ \\ &= [4, 5] \end{align*} $$ Altså er skjæringspunktet $P(4, 5)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En linje $\ell$ har et punkt $A(2, 0)$ som ligger på linja og en retningsvektor $\vec{v} = [1, 2]$. Bestem posisjonsvektoren $\vec{r}(t)$ til punktene på linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [2 + t, 2t] $$ :::: ::::{solution} Posisjonsvektorene til punktene på linja $\ell$ er generelt gitt ved $$ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t $$ Vi har at $$ \lvec{OA} = [2, 0] \qog \vec{v} = [1, 2] $$ Da får vi $$ \vec{r}(t) = [2, 0] + [1, 2] \cdot t = [2 + 1 \cdot t, 0 + 2 \cdot t] = [2 + t, 2t] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En linje $m$ har et punkt $B(4, -3)$ som ligger på linja og en retningsvektor $\vec{v} = [-2, 1]$. Bestem posisjonsvektoren $\vec{r}(t)$ til punktene på linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [4 - 2t, -3 + t] $$ :::: ::::{solution} Posisjonsvektorene til punktene på linja $m$ er generelt gitt ved $$ \vec{r}(t) = \lvec{OB} + \vec{v} \cdot t $$ Vi har at $$ \lvec{OB} = [4, -3] \qog \vec{v} = [-2, 1] $$ Da får vi $$ \vec{r}(t) = [4, -3] + [-2, 1] \cdot t = [4 - 2t, -3 + t] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Punktene $A(2, -1)$ og $B(5, 3)$ ligger på en linje $n$. Bestem en parameterframstilling $\vec{r}(t)$ for linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [2 + 3t, -1 + 4t] $$ :::: ::::{solution} Vi har at $$ \lvec{OA} = [2, -1] \qog \lvec{OB} = [5, 3] $$ En retningsvektor for linja er da gitt ved $$ \vec{v} = \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [5 - 2, 3 - (-1)] = [3, 4] $$ Da er en posisjonsvektoren for punktene på linja gitt ved $$ \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [2, -1] + [3, 4] \cdot t \\ \\ &= [2 + 3t, -1 + 4t] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Punktene $C(-1, 4)$ og $D(3, -2)$ ligger på en linje $p$. Bestem en parameterframstilling $\vec{r}(t)$ for linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [-1 + 4t, 4 - 6t] $$ :::: ::::{solution} Vi har at $$ \lvec{OC} = [-1, 4] \qog \lvec{OD} = [3, -2] $$ En retningsvektor for linja er da gitt ved $$ \vec{v} = \lvec{CD} = \lvec{OD} - \lvec{OC} = [3 - (-1), -2 - 4] = [4, -6] $$ Da er en posisjonsvektoren for punktene på linja gitt ved $$ \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OC} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [-1, 4] + [4, -6] \cdot t \\ \\ &= [-1 + 4t, 4 - 6t] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Punktet $A(1, 2)$ ligger på en linje $\ell$ som har stigningstall $-2$. Bestem en parameterframstilling $\vec{r}(t)$ for linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [1 + t, 2 - 2t] $$ :::: ::::{solution} En retningsvektor for en linje med stigningstall $a$ er $\vec{v} = [1, a]$. Dermed er en retningsvektor for linja $\ell$ gitt ved $$ \vec{v} = [1, -2] $$ Posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved $$ \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [1, 2] + [1, -2] \cdot t \\ \\ &= [1 + t, 2 - 2t] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Punktet $B(3, -1)$ ligger på en linje $m$ som har stigningstall $4$. Bestem en parameterframstilling $\vec{r}(t)$ for linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [3 + t, -1 + 4t] $$ :::: ::::{solution} En retningsvektor for en linje med stigningstall $a$ er $\vec{v} = [1, a]$. Dermed er en retningsvektor for linja $m$ gitt ved $$ \vec{v} = [1, 4] $$ Posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved $$ \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OB} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [3, -1] + [1, 4] \cdot t \\ \\ &= [3 + t, -1 + 4t] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En linje har likningen $$ y = 2x - 4 $$ Bestem en parameterframstilling $\vec{r}(t)$ for linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [t, -4 + 2t] $$ :::: ::::{solution} Stigningstallet til linja er $2$ som betyr at en retningsvektor for linja er gitt ved $$ \vec{v} = [1, 2] $$ Et punkt på linja får vi ved å sette $x = 0$ i likningen til linja: $$ y = 2 \cdot 0 - 4 = -4 $$ Dermed er $A(0, -4)$ et punkt på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved $$ \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [0, -4] + [1, 2] \cdot t \\ \\ &= [0 + t, -4 + 2t] \\ \\ &= [t, -4 + 2t] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En linje har likningen $$ y = -x + 3 $$ Bestem en parameterframstilling $\vec{r}(t)$ for linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [t, 3 - t] $$ :::: ::::{solution} Stigningstallet til linja er $-1$ som betyr at en retningsvektor for linja er gitt ved $$ \vec{v} = [1, -1] $$ Et punkt på linja får vi ved å sette $x = 0$ i likningen til linja: $$ y = -0 + 3 = 3 $$ Dermed er $A(0, 3)$ et punkt på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved $$ \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [0, 3] + [1, -1] \cdot t \\ \\ &= [0 + t, 3 - t] \\ \\ &= [t, 3 - t] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 En linje $\ell$ er beskrevet av parameterframstillingen $$ \vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 - t] $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $\ell$ og $x$-aksen. ::::{answer} $$ (7, 0) $$ :::: ::::{solution} For å finne skjæringspunktet mellom linja og $x$-aksen, setter vi $y = 0$ i parameterframstillingen til linja: $$ 3 - t = 0 \liff t = 3 $$ Når vi setter inn $t = 3$ i parameterframstillingen, får vi: $$ \vec{r}(3) = [1 + 2 \cdot 3, 3 - 3] = [7, 0] $$ Altså er skjæringspunktet mellom linja og $x$-aksen i punktet $(7, 0)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $\ell$ og $y$-aksen. ::::{answer} $$ \left(0, \dfrac{7}{2}\right) $$ :::: ::::{solution} For å finne skjæringspunktet mellom linja og $y$-aksen, setter vi $x = 0$ i parameterframstillingen til linja: $$ 1 + 2t = 0 \liff t = -\dfrac{1}{2} $$ Når vi setter inn $t = -\dfrac{1}{2}$ i parameterframstillingen, får vi: $$ \vec{r}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \left[1 + 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right), 3 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right] = \left[0, \dfrac{7}{2}\right] $$ Altså er skjæringspunktet mellom linja og $y$-aksen i punktet $\left(0, \dfrac{7}{2}\right)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Avgjør om punktet $A(5, -2)$ ligger på linja $\ell$. ::::{answer} Punktet ligger **ikke** på linja. :::: ::::{solution} For at punktet $A(5, -2)$ skal ligge på linja, må det finnes en verdi for $t$ slik at $$ \vec{r}(t) = \lvec{OA} $$ som vi kan skrive som $$ [1 + 2t, 3 - t] = [5, -2] $$ Her må $x$-komponentene og $y$-komponentene være like, så vi får to likninger: $$ 1 + 2t = 5 \and 3 - t = -2 $$ Vi løser den første likningen: $$ 1 + 2t = 5 \liff 2t = 4 \liff t = 2 $$ Så løser vi den andre likningen $$ 3 - t = -2 \liff -t = -5 \liff t = 5 $$ Vi får to forskjellige verdier for $t$ som betyr at $A(5, -2)$ **ikke** ligger på linja. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 En linje $\ell$ går gjennom punktet $A(2, -1)$ og har retningsvektoren $\vec{v} = [2, 3]$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem posisjonsvektoren $\vec{r}(t)$ for linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [2 + 2t, -1 + 3t] $$ :::: ::::{solution} Posisjonsvektorene til punktene på linja $\ell$ er generelt gitt ved $$ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t $$ Vi har at $$ \lvec{OA} = [2, -1] \qog \vec{v} = [2, 3] $$ Da får vi $$ \vec{r}(t) = [2, -1] + [2, 3] \cdot t = [2 + 2t, -1 + 3t] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til punktet $B$ på linja gitt ved posisjonsvektoren $\lvec{OB} = \vec{r}(2)$. ::::{answer} $$ \lvec{OB} = \vec{r}(2) = [6, 5] $$ Så punktet $B$ har koordinatene $(6, 5)$. :::: ::::{solution} Vi har at $$ \vec{r}(t) = [2 + 2t, -1 + 3t] $$ Når vi setter inn $t = 2$, får vi posisjonsvektoren til punktet $B$: $$ \begin{align*} \lvec{OB} = \vec{r}(2) &= [2 + 2 \cdot 2, -1 + 3 \cdot 2] \\ \\ &= [2 + 4, -1 + 6] \\ \\ &= [6, 5] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Et annet punkt $C(0, -4)$ ligger på linja $\ell$. Bestem hvilken verdi for $t$ som gir posisjonsvektoren til punktet $C$. ::::{answer} $$ t = -1 $$ :::: ::::{solution} For at punktet $C(0, -4)$ skal ligge på linja, må det finnes en verdi for $t$ slik at $$ \vec{r}(t) = \lvec{OC} $$ som vi kan skrive som $$ [2 + 2t, -1 + 3t] = [0, -4] $$ Her må $x$-komponentene og $y$-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig: $$ 2 + 2t = 0 \and -1 + 3t = -4 $$ Vi løser den første likningen: $$ 2 + 2t = 0 \liff 2t = -2 \liff t = -1 $$ Så løser vi den andre likningen: $$ -1 + 3t = -4 \liff 3t = -3 \liff t = -1 $$ Vi får $t = -1$ for begge likninger, som betyr at posisjonsvektoren til $C(0, -4)$ er $$ \vec{r}(-1) = [0, -4] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En annet punkt er gitt ved $D(3, 2)$. Avgjør om punktet $D$ ligger på linja $\ell$. ::::{answer} Punktet ligger ikke på linja siden vi får at $t = \dfrac{1}{2}$ for at $x$-komponentene skal være like, og $t = 1$ for at $y$-komponentene skal være like. :::: ::::{solution} For at punktet $D(3, 2)$ skal ligge på linja, må det finnes en verdi for $t$ slik at $$ \vec{r}(t) = \lvec{OD} $$ som vi kan skrive som $$ [2 + 2t, -1 + 3t] = [3, 2] $$ Her må $x$-komponentene og $y$-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig: $$ 2 + 2t = 3 \and -1 + 3t = 2 $$ Vi løser den første likningen: $$ 2 + 2t = 3 \liff 2t = 1 \liff t = \dfrac{1}{2} $$ Så løser vi den andre likningen: $$ -1 + 3t = 2 \liff 3t = 3 \liff t = 1 $$ Vi får to forskjellige verdier for $t$ som betyr at $D(3, 2)$ ikke ligger på linja. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 En linje $\ell$ er beskrevet av parameterframstillingen $$ \ell: \begin{cases} x = 3t + 1 \\ \\ y = -2t + 4 \end{cases} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem retningsvektoren til parameterframstillingen. ::::{answer} $$ \vec{v} = [3, -2] $$ :::: ::::{solution} Retningsvektoren til parameterframstillingen er gitt ved koeffisientene til $t$ i likningene for $x$ og $y$. Altså er retningsvektoren $$ \vec{v} = [3, -2] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom $\ell$ og koordinataksene. ::::{answer} * Linja skjærer $x$-aksen i $(7, 0)$ * Linja skjærer $y$-aksen i $\left(0, \dfrac{14}{3}\right)$ :::: ::::{solution} Vi har at $x(t) = 3t + 1$. Når linja $\ell$ skjærer $y$-aksen vil $x(t) = 0$: $$ x(t) = 0 \liff 3t + 1 = 0 \liff t = -\dfrac{1}{3} $$ Vi har at $y(t) = -2t + 4$, så da blir $y$-koordinaten til skjæringspunktet $$ y\left(-\dfrac{1}{3}\right) = -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) + 4 = \dfrac{2}{3} + 4 = \dfrac{14}{3} $$ Altså skjærer linja $y$-aksen i $\left(0, \dfrac{14}{3}\right)$. For å finne skjæringspunktet mellom linja og $x$-aksen, setter vi $y(t) = 0$: $$ y(t) = 0 \liff -2t + 4 = 0 \liff -2t = -4 \liff t = 2 $$ Når vi setter inn $t = 2$ i $x(t)$, får vi: $$ x(2) = 3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7 $$ Altså skjærer linja $x$-aksen i punktet $(7, 0)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 En linje $\ell$ har likningen $y = x - 4$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en retningsvektor for $\ell$. ::::{answer} $$ \vec{v} = [1, 1] $$ :::: ::::{solution} En retningsvektor for en linje med stigningstall $a$ er $\vec{v} = [1, a]$. Siden stigningstallet til linja er $1$, er en retningsvektor for linja gitt ved $$ \vec{v} = [1, 1] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en posisjonsvektor $\vec{r}(t)$ for linja. ::::{answer} $$ \vec{r}(t) = [t, -4 + t] $$ :::: ::::{solution} En posisjonsvektor for punktene på linja er gitt ved $$ \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [0, -4] + [1, 1] \cdot t \\ \\ &= [t, -4 + t] \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En annen linje $m$ er gitt ved $$ m: \begin{cases} x = 2s + 1 \\ \\ y = -s + 3 \end{cases} $$ Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene $\ell$ og $m$. ::::{answer} $$ (5, 1) $$ :::: ::::{solution} Vi kaller posisjonsvektoren til $\ell$ for $\vec{r}_\ell(t)$ og posisjonsvektoren til $m$ for $\vec{r}_m(s)$. For å bestemme koordinagtene til skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi finne verdier for $t$ og $s$ slik at $$ \vec{r}_\ell(t) = \vec{r}_m(s) $$ som vi kan skrive som $$ [t, -4 + t] = [2s + 1, -s + 3] $$ Her må $x$-komponentene og $y$-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig: $$ t = 2s + 1 \and -4 + t = -s + 3 $$ Den første likningen er allerede løst for $t$, så vi setter inn dette i den andre likningen: $$ -4 + (2s + 1) = -s + 3 $$ $$ -3 + 2s = -s + 3 $$ $$ 3s = 6 \liff s = 2 $$ Når vi setter inn $s = 2$ i den første likningen, får vi: $$ t = 2 \cdot 2 + 1 = 5 $$ Når vi setter inn $t = 5$ i posisjonsvektoren til linja $\ell$, får vi skjæringspunktet mellom de to linjene: $$ \vec{r}_\ell(5) = [5, -4 + 5] = [5, 1] $$ Altså er koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene $\ell$ og $m$ gitt ved $(5, 1)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(-6, 1)$ og $B(3, -2)$. En annen linje $m$ er gitt ved parameterframstillingen $$ m: \begin{cases} x = 2s + 1 \\ \\ y = 3s - 5 \end{cases} $$ Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $\ell$ og $m$. ::::{answer} $$ (3, -2) $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å finne en retningsvektor $\vec{v}_\ell$ for linja $\ell$. En retningsvektor for linja er gitt ved $$ \vec{v}_\ell = \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [3 - (-6), -2 - 1] = [9, -3] $$ Et punkt på linja kan vi velge å være $A(-6, 1)$, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved $$ \vec{r}_\ell(t) = \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t = [-6, 1] + [9, -3] \cdot t = [-6 + 9t, 1 - 3t] $$ For å finne skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi finne verdier for $t$ og $s$ slik at $$ \vec{r}_\ell(t) = \vec{r}_m(s) $$ som vi kan skrive som $$ [-6 + 9t, 1 - 3t] = [2s + 1, 3s - 5] $$ Her må $x$-komponentene og $y$-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig: $$ -6 + 9t = 2s + 1 \and 1 - 3t = 3s - 5 $$ Den første likningen kan vi skrive om til $$ 9t - 2s = 7 \liff 9t = 2s + 7 \liff t = \dfrac{2s + 7}{9} $$ Deretter setter vi dette inn i den andre likningen: $$ 1 - 3\left(\dfrac{2s + 7}{9}\right) = 3s - 5 $$ $$ 1 - \dfrac{2s + 7}{3} = 3s - 5 $$ Så ganger vi med $3$ på begge sider for å kvitte oss med brøken: $$ 3 - (2s + 7) = 9s - 15 $$ Så forenkler vi slik at vi får $s$ alene: $$ -2s - 4 = 9s - 15 $$ $$ -4 + 15 = 9s + 2s $$ $$ 11 = 11s \liff s = 1 $$ Setter vi inn $s = 1$ i $\vec{r}_m(s)$ for å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene: $$ \vec{r}_m(1) = [2 \cdot 1 + 1, 3 \cdot 1 - 5] = [3, -2] $$ Altså skjærer linjene hverandre i punktet $(3, -2)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En linje $\ell$ har likningen $y = -2x + 4$. Posisjonsvektoren til punktene på en annen linje $m$ er gitt ved $$ \vec{r}_m(s) = [1 + s, 1 - s] $$ Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $\ell$ og $m$. ::::{answer} $$ (2, 0) $$ :::: ::::{solution} Vi har at likningen til linja $\ell$ er $$ y = -2x + 4 $$ Siden linja har stigningstall $-2$, kan vi skrive en retningsvektor for linja som $$ \vec{v}_\ell = [1, -2] $$ Vi kan finne et punkt $A$ på linja $\ell$ ved å sette $x = 0$ i likningen til linja: $$ y = -2 \cdot 0 + 4 = 4 $$ Altså er $A(0, 4)$ et punkt på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved $$ \vec{r}_\ell(t) = \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t = [0, 4] + [1, -2] \cdot t = [t, 4 - 2t] $$ For å finne skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi finne verdier for $t$ og $s$ slik at $$ \vec{r}_\ell(t) = \vec{r}_m(s) $$ som vi kan skrive som $$ [t, 4 - 2t] = [1 + s, 1 - s] $$ Her må $x$-komponentene og $y$-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig: $$ t = 1 + s \and 4 - 2t = 1 - s $$ Den første likningen er allerede løst for $t$, så vi setter inn dette i den andre likningen: $$ 4 - 2(1 + s) = 1 - s $$ $$ 4 - 2 - 2s = 1 - s $$ $$ 2 - 2s = 1 - s $$ $$ -s = -1 \liff s = 1 $$ Vi setter inn $s = 1$ i $\vec{r}_m(s)$ for å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene: $$ \vec{r}_m(1) = [1 + 1, 1 - 1] = [2, 0] $$ Altså skjærer linjene hverandre i punktet $(2, 0)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En linje $\ell$ har stigningstall $2$ og har et punkt $A(0, 2)$ som ligger på linja. En annen linje $m$ har stigningstall $-1$ og har et punkt $B(-1, 6)$ som ligger på linja. Besten koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene $\ell$ og $m$. ::::{answer} $$ (1, 4) $$ :::: ::::{solution} Linja $\ell$ har stigningstall $2$ som betyr at en retningsvektor for linja er $$ \vec{v}_\ell = [1, 2] $$ Punktet $A(0, 2)$ ligger på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved $$ \vec{r}_\ell(t) = \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t = [0, 2] + [1, 2] \cdot t = [t, 2 + 2t] $$ Linja $m$ har stigningstall $-1$ som betyr at en retningsvektor for linja er $$ \vec{v}_m = [1, -1] $$ Punktet $B(-1, 6)$ ligger på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved $$ \vec{r}_m(s) = \lvec{OB} + \vec{v}_m \cdot s = [-1, 6] + [1, -1] \cdot s = [-1 + s, 6 - s] $$ For å finne skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi finne verdier for $t$ og $s$ slik at $$ \vec{r}_\ell(t) = \vec{r}_m(s) $$ som vi kan skrive som $$ [t, 2 + 2t] = [-1 + s, 6 - s] $$ Her må $x$-komponentene og $y$-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig: $$ t = -1 + s \and 2 + 2t = 6 - s $$ Den første likningen er allerede løst for $t$, så vi setter inn dette i den andre likningen: $$ 2 + 2(-1 + s) = 6 - s $$ $$ 2 - 2 + 2s = 6 - s $$ $$ 3s = 6 \liff s = 2 $$ Vi setter inn $s = 2$ i $\vec{r}_m(s)$ for å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene: $$ \vec{r}_m(2) = [-1 + 2, 6 - 2] = [1, 4] $$ Altså er koordinatene til skjæringspunktet mellom $\ell$ og $m$ gitt ved $(1, 4)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 Et punkt er gitt ved $A(3, 2)$. To vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er gitt ved $$ \vec{u} = [4, 3] \qog \vec{v} = [2t, 5t] $$ Et parallellogram $ABCD$ er bestemt ved at $\lvec{AB} = \vec{u}$ og $\lvec{AD} = \vec{v}$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til $B$. Bestem koordinatene til $C$ og $D$ uttrykt ved $t$. ::::{answer} * $B(7, 5)$ * $C(7 + 2t, 5 + 5t)$ * $D(3 + 2t, 2 + 5t)$ :::: ::::{solution} :::{plot} fontsize: 25 width: 100% align: right xmin: -1 xmax: 12 ymin: -1 ymax: 12 ticks: off point: (3, 2) text: 3, 2, "$A(3, 2)$", bottom-right point: (7, 5) text: 7, 5, "$B$", bottom-right point: (7 + 2, 5 + 5) text: 7 + 2, 5 + 5, "$C$", top-right point: (3 + 2, 2 + 5) text: 3 + 2, 2 + 5, "$D$", top-left line-segment: (3, 2), (7, 5), dashed, gray line-segment: (7, 5), (7 + 2, 5 + 5), dashed, gray line-segment: (7 + 2, 5 + 5), (3 + 2, 2 + 5), dashed, gray line-segment: (3 + 2, 2 + 5), (3, 2), dashed, gray vector: (0, 0), (3, 2), blue text: 0.5 * 3, 0.5 * 2, "$\overrightarrow{OA}$", top-left vector: (3, 2), (7, 5), red text: 0.5 * (3 + 7), 0.5 * (2 + 5), "$\overrightarrow{AB}$", bottom-right vector: (7, 5), (7 + 2, 5 + 5), red text: 0.5 * (7 + (7 + 2)), 0.5 * (5 + (5 + 5)), "$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$", bottom-right vector: (3, 2), (3 + 2, 2 + 5), red text: 0.5 * (3 + (3 + 2)), 0.5 * (2 + (2 + 5)), "$\overrightarrow{AD}$", top-left ::: Vi lager oss en hjelpefigur som vist til høyre. For å komme til punktet $B$, går vi via punktet $A$ og så følger vi $\lvec{AB}$ for å ende opp i punktet $B$. Altså: $$ \begin{align*} \lvec{OB} &= \lvec{OA} + \lvec{AB} \\ \\ &= [3, 2] + [4, 3] \\ \\ &= [3 + 4, 2 + 3] \\ \\ &= [7, 5] \end{align*} $$ Altså er koordinatene til punktet $B$ gitt ved $(7, 5)$. For å komme til punktet $D$, kan vi gå via punktet $A$ og så følge $\lvec{AD}$ for å ende opp i punktet $D$. Altså: $$ \begin{align*} \lvec{OD} &= \lvec{OA} + \lvec{AD} \\ \\ &= [3, 2] + [2t, 5t] \\ \\ &= [3 + 2t, 2 + 5t] \\ \end{align*} $$ Altså er koordinatene til punktet $D$ gitt ved $(3 + 2t, 2 + 5t)$. For å komme til punktet $C$, kan vi gå via punktet $B$ og så følge $\lvec{AD} = \lvec{BC}$ for å ende opp i punktet $C$. Altså: $$ \begin{align*} \lvec{OC} &= \lvec{OB} + \lvec{AD} \\ \\ &= [7, 5] + [2t, 5t] \\ \\ &= [7 + 2t, 5 + 5t] \\ \end{align*} $$ Dermed er koordinatene til punktet $C$ gitt ved $(7 + 2t, 5 + 5t)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $t$ slik at skjæringspunktet mellom diagonalene i parallellogrammet er $P(8, 11)$. ::::{answer} $$ t = 3 $$ :::: ::::{solution} :::{plot} fontsize: 25 width: 100% align: right xmin: -1 xmax: 12 ymin: -1 ymax: 12 ticks: off point: (3, 2) text: 3, 2, "$A$", bottom-right point: (7, 5) text: 7, 5, "$B$", center-right point: (7 + 2, 5 + 5) text: 7 + 2, 5 + 5, "$C$", center-right point: (3 + 2, 2 + 5) text: 3 + 2, 2 + 5, "$D$", top-center point: (6, 6) text: 6, 6, "$P$", top-center line-segment: (3, 2), (7, 5), dashed, gray line-segment: (7, 5), (7 + 2, 5 + 5), dashed, gray line-segment: (7 + 2, 5 + 5), (3 + 2, 2 + 5), dashed, gray line-segment: (3 + 2, 2 + 5), (3, 2), dashed, gray line: (3, 2), (7 + 2, 5 + 5), solid, blue line: (7,5), (3 + 2, 2 + 5), solid, red text: 0.5 * 3, 0.5 * 2, "$\ell$", top-center text: 0.5 * 3, 10, "$m$", bottom-center ::: Vi lager oss en hjelpefigur først. Vi kan tenke oss at vi har to linjer $\ell$ (blå) og $m$ (rød), der linja $\ell$ går gjennom punktene $A$ og $C$, og linja $m$ går gjennom punktene $B$ og $D$. Skjæringspunktet til de to linjene er da skjæringspunktet $P$ mellom diagonalene i parallellogrammet. Både linja $\ell$ og linja $m$ deler parallellogrammet i to like store deler som er speilet om linjene, som betyr at skjæringspunktet $P$ må ligge midt mellom $A$ og $C$, og midt mellom $B$ og $D$. Det betyr at vi kan komme oss til punktet $P$, ved å først gå til punktet $A$ og deretter følge vektorer $\lvec{AC}$ halvveis. Vi har at $$ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [7 + 2t, 5 + 5t] - [3, 2] = [4 + 2t, 3 + 5t] $$ Altså er posisjonsvektoren til punktet $P$ gitt ved $$ \begin{align*} \lvec{OP} &= \lvec{OA} + \dfrac{1}{2} \cdot \lvec{AC} \\ \\ &= [3, 2] + \dfrac{1}{2} \cdot [4 + 2t, 3 + 5t] \\ \\ &= [3, 2] + \left[2 + t, \dfrac{3 + 5t}{2}\right] \\ \\ &= \left[5 + t, 2 + \dfrac{3 + 5t}{2}\right] \\ \end{align*} $$ Vi skal kreve at $\lvec{OP} = [8, 11]$, som gir oss likningene $$ 5 + t = 8 \and 2 + \dfrac{3 + 5t}{2} = 11 $$ Vi løser den første likningen: $$ 5 + t = 8 \liff t = 3 $$ Så løser vi den andre likningen for å sjekke at vi får samme verdi for $t$: $$ 2 + \dfrac{3 + 5t}{2} = 11 \liff 4 + (3 + 5t) = 22 $$ $$ 7 + 5t = 22 \liff 5t = 15 \liff t = 3 $$ Altså vil koordinatene til skjæringspunktet $P$ mellom diagonalene være $(8, 11)$ når $$ t = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 14 Om et parallellogram $ABCD$ får du vite at * $A(0, 1)$. * $\lvec{AB} = [4, 2]$. * $\lvec{AD} = [t, 3]$ for et tall $t \in \real$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til $B$, $C$ og $D$. ::::{answer} * $B(4, 3)$ * $C(4 + t, 6)$ * $D(t, 4)$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $t$ slik at skjæringspunktet mellom diagonalene ligger på linja $y = 2x + 1$. ::::{answer} $$ t = -\dfrac{3}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::