Oppgaver: Anvendelser av skalarproduktet

Du vil finne hint til mange av oppgavene, men prøv å huske strategien selv først! Dersom du ikke klarer å komme fram til fremgangsmåten etter litt tid, kan du se på hintet. Det er helt okei å se på hintet, men øv på å prøve og tenke deg fram til løsningen uten! Figurer og hint vil gradvis strippes bort når du kommer lenger ut i oppgavesettet slik at du må øve på å jobbe selvstendig.

Oppgave 1

Hvordan fant man en tverrvektor igjen?

La \(\vec{a}\) være en vektor. Da vil \(\vec{a}_\perp\) være en tverrvektor til \(\vec{a}\) hvis

\[ \vec{a} \perp \vec{a}_\perp \qog \len{a} = \abs{\vec{a}_\perp} \]

Hvis \(\vec{a} = [x, y]\), så er en tverrvektor til \(\vec{a}\) gitt ved

\[ \vec{a}_\perp = [-y, x] \qeller \vec{a}_\perp = [y, -x] \]

Bestem en tverrvektor til vektorene.

1. Sjekk at \(\vec{a} \perp \vec{a}_\perp\)

2. Sjekk at \(\len{a} = \abs{\vec{a}_\perp}\)

a

\[ \vec{a} = [3, 1] \]

Vis fasit

\[ \vec{a}_\perp = [-1, 3] \qeller \vec{a}_\perp = [1, -3] \]

Vis løsningsforslag

For å lage en tverrvektor til \(\vec{a}\), bytter vi rekkefølgen på koordinatene og endrer fortegnet på én av dem. For eksempel kan vi velge:

\[ \vec{a}_\perp = [-1, 3] \]

Vi sjekker at vektorene er ortogonale ved å regne ut skalarproduktet:

\[ \vec{a} \cdot \vec{a}_\perp = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -3 + 3 = 0 \]

Så det stemmer. Vektorene må også ha samme lengde:

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

\[ \abs{\vec{a}_\perp} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

Dette stemmer også.

b

\[ \vec{b} = [-2, 4] \]

Vis fasit

\[ \vec{b}_\perp = [-4, -2] \qeller \vec{b}_\perp = [4, 2] \]

c

\[ \vec{c} = [1, -5] \]

Vis fasit

\[ \vec{c}_\perp = [5, 1] \qeller \vec{c}_\perp = [-5, -1] \]

d

\[ \vec{d} = [0, 3] \]

Vis fasit

\[ \vec{d}_\perp = [-3, 0] \qeller \vec{d}_\perp = [3, 0] \]

---

Oppgave 2

Hvordan fant man arealet av en trekant igjen?

En trekant \(\triangle ABC\) utspent av vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) har et areal \(T\) gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}_\perp} \]

der \(\vec{b}_\perp\) er en tverrvektor til \(\vec{b}\).

a

En trekant \(\triangle OAB\) er spent ut av vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) gitt ved

\[ \vec{a} = [2, -1] \qog \vec{b} = [1, 3] \]

Bestem arealet av trekanten.

Vis fasit

\[ T = \dfrac{7}{2} \]

Vis løsningsforslag

Arealet \(T\) av en trekant som er spent ut av to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}_\perp} \]

Vi bestemmer en tverrvektor til \(\vec{b}\) ved å bytte om på rekkefølgen til koordinatene og endre fortegn på én av dem:

\[ \vec{b}_\perp = [-3, 1] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b}_\perp = [2, -1] \cdot [-3, 1] = 2 \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 = -6 - 1 = -7 \]

Dermed blir arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{-7} = \dfrac{7}{2} \]

b

En trekant \(\triangle ABC\) er spent ut av to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) gitt ved

\[ \vec{a} = [4, 2] \qog \vec{b} = [-1, 5] \]

Bestem arealet av trekanten.

Vis fasit

\[ T = 11 \]

Vis løsningsforslag

Arealet er gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}_\perp} \]

En tverrvektor til \(\vec{b}\) er

\[ \vec{b}_\perp = [-5, -1] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b}_\perp = 4 \cdot (-5) + 2 \cdot (-1) = -20 - 2 = -22 \]

Dermed blir arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{-22} = 11 \]

c

En trekant \(\triangle PQR\) er spent ut av vektorene \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) gitt ved

\[ \vec{p} = [3, 4] \qog \vec{q} = [2, -1] \]

Bestem arealet av trekanten.

Vis fasit

\[ T = \dfrac{11}{2} \]

Vis løsningsforslag

Arealet av trekanten er gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\vec{p} \cdot \vec{q}_\perp} \]

En tverrvektor til \(\vec{q}\) er

\[ \vec{q}_\perp = [1, 2] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet:

\[ \vec{p} \cdot \vec{q}_\perp = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11 \]

Dermed blir arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{11} = \dfrac{11}{2} \]

---

Oppgave 3

Hvordan finner jeg vektorer som spenner ut trekanten?

Velg deg ett hjørne i trekanten og lag to vektorer fra dette hjørnet til de to andre hjørnene. Da har du to vektorer som spenner ut trekanten! Deretter kan du bruke formelen for arealet av trekanten som i oppgave 2.

a

En trekant \(\triangle ABC\) har hjørnene \(A(1, 2)\), \(B(4, 5)\) og \(C(2, 6)\).

Bestem arealet av trekanten.

Vis fasit

Arealet er \(\dfrac{9}{2}\)

Vis løsningsforslag

Vi trenger to vektorer som spenner ut trekanten. Vi velger oss et hjørne og lager to vektorer fra dette hjørnet til de to andre hjørnene. La oss velge hjørnet \(A\). Da får vi:

\[ \lvec{AB} = [4 - 1, 5 - 2] = [3, 3] \]

og

\[ \lvec{AC} = [2 - 1, 6 - 2] = [1, 4] \]

Så lager vi en tverrvektor til én av de to. Vi velger å lage en tverrvektor til \(\lvec{AC}\):

\[ \lvec{AC}_\perp = [-4, 1] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet:

\[ \lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp = 3 \cdot (-4) + 3 \cdot 1 = -12 + 3 = -9 \]

Dermed blir arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{1}{2} |\lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp| = \dfrac{1}{2} \abs{-9} = \dfrac{9}{2} \]

b

En trekant \(\triangle PQR\) har hjørnene \(P(-2, 1)\), \(Q(3, 0)\) og \(R(1, 4)\).

Bestem arealet av trekanten.

Vis fasit

Arealet er \(9\).

Vis løsningsforslag

Vi velger oss et hjørne i trekanten og lager to vektorer som spenner ut trekanten:

\[ \lvec{PQ} = [3 - (-2), 0 - 1] = [5, -1] \]

\[ \lvec{PR} = [1 - (-2), 4 - 1] = [3, 3] \]

En tverrvektor til \(\lvec{PR}\) er

\[ \lvec{PR}_\perp = [-3, 3] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet:

\[ \lvec{PQ} \cdot \lvec{PR}_\perp = 5 \cdot (-3) + (-1) \cdot 3 = -15 - 3 = -18 \]

Dermed blir arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{1}{2} |\lvec{PQ} \cdot \lvec{PR}_\perp| = \dfrac{1}{2} \abs{-18} = 9 \]

c

En trekant \(\triangle SRT\) har hjørnene \(S(0, 0)\), \(R(5, 2)\) og \(T(3, 5)\).

Bestem arealet av trekanten.

Vis fasit

Arealet er \(\dfrac{19}{2}\).

Vis løsningsforslag

Vi lager to vektorer som spenner ut trekanten:

\[ \lvec{SR} = [5 - 0, 2 - 0] = [5, 2] \]

\[ \lvec{ST} = [3 - 0, 5 - 0] = [3, 5] \]

En tverrvektor til \(\lvec{ST}\) er

\[ \lvec{ST}_\perp = [-5, 3] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet:

\[ \lvec{SR} \cdot \lvec{ST}_\perp = 5 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 = -25 + 6 = -19 \]

Dermed blir arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{1}{2} |\lvec{SR} \cdot \lvec{ST}_\perp| = \dfrac{1}{2} \abs{-19} = \dfrac{19}{2} \]

---

Oppgave 4

Hvordan finner jeg avstanden fra et punkt til en linje?

La en linje \(\ell\) ha retningsvektor \(\vec{v}\) og et punkt \(Q\) som ligger på linja. La \(R\) være et punkt utenfor linja.

Avstanden \(h\) fra \(R\) til linja \(\ell\) er gitt ved

\[ h = \dfrac{|\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp|}{\abs{\vec{v}}} \]

der \(\vec{v}_\perp\) er en tverrvektor til retningsvektoren \(\vec{v}\), og \(\lvec{QR}\) er vektoren fra punktet \(Q\) til punktet \(R\).

a

En linje \(\ell\) har et punkt \(Q(1, 2)\) på linja og en retningsvektor \(\vec{v} = [3, 1]\).

Et punkt \(R(5, 1)\) ligger utenfor linja.

Bestem avstanden fra \(R\) til \(\ell\).

Vis fasit

Avstanden er \(\dfrac{7}{\sqrt{10}}\).

b

En linje \(m\) går gjennom punktene \(A(-1, 0)\) og \(B(2, 4)\).

Et punkt \(C(3, 1)\) ligger utenfor linja.

Bestem avstanden fra \(C\) til \(m\).

Vis fasit

Avstanden er \(\dfrac{13}{5}\).

c

En linje \(n\) går gjennom punktene \(P(-2, 3)\) og \(Q(1, 1)\).

Et punkt \(R(0, 5)\) ligger utenfor linja.

Bestem avstanden fra \(R\) til \(n\).

Vis fasit

Avstanden er \(\dfrac{10}{\sqrt{13}}\).

---

Oppgave 5

En trekant har hjørnene \(P(0, t)\), \(Q(t, 0)\) og \(M(4, 2)\) der \(t \in \langle 0, 4 \rangle\).

a

Bruk vektorregning til å finne en uttrykk for arealet av \(\triangle PQM\) uttrykt ved \(t\).

Vis fasit

\[ T(t) = -\dfrac{1}{2}t^2 + 3t \]

b

Bestem det største mulige arealet en slik trekant kan ha.

Vis fasit

\[ \dfrac{9}{2} \]

---

Oppgave 6

a

En firkant \(ABCD\) har hjørnene \(A(1, 1)\), \(B(4, 2)\), \(C(3, 5)\) og \(D(0, 7)\).

Bestem arealet av firkanten.

Vis fasit

Arealet er \(13\).

b

En firkant har hjørnene \(A(2, -1)\), \(B(5, -2)\), \(C(7, 6)\) og \(D(1, t)\) der \(t > 0\).

Bestem \(t\) slik at arealet av firkanten er \(20\).

Vis fasit

\[ t = \dfrac{2}{5} \]

c

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A(2, 1)\) og \(B(8, 4)\).

Et annen punkt \(C(3, 9)\) ligger utenfor linja. Dersom vi speiler \(C\) om linja \(\ell\), får vi punktet \(D\).

Bestem arealet av firkanten \(ADBC\).

Vis fasit

Arealet er \(45\).

---

Oppgave 7

Dekomponering relativ til en linje

\[ \vec{p} = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}^2} \vec{v} \qog \vec{h} = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp}{\abs{\vec{v}}^2} \vec{v}_\perp \]

a

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A(2, 3)\) og \(B(5, 7)\).

Et punkt \(C(1, 10)\) ligger utenfor linja.

Bestem koordinatene til punktet \(P\) på linja \(\ell\) som ligger nærmest punktet \(C\).

Vis fasit

\[ P(5, 7) \]

b

En linje \(m\) går gjennom punktene \(D(-2, 4)\) og \(E(1, -2)\).

Et punkt \(F(4, 3)\) ligger utenfor linja.

Bestem koordinatene til punktet \(Q\) på linja \(m\) som ligger nærmest punktet \(F\).

Vis fasit

\[ Q\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{4}{5}\right) \]

c

En linje \(n\) går gjennom punktene \(Q(-1, 5)\) og \(R(1, 7)\).

Et punkt \(S(3, 2)\) ligger utenfor linja.

Bestem koordinatene til punktet \(T\) på linja \(n\) som ligger nærmest punktet \(S\).

Vis fasit

\[ T\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{2}\right) \]

---

Oppgave 8

a

En linje \(\ell\) går gjennom et punkt \(Q(2, 1)\) og har retningsvektor \(\vec{v} = [-2, 1]\).

Et punkt \(R(4, 5)\) ligger utenfor linja.

Bestem koordinatene til punktet \(R'\) som fås ved å speile \(R\) om linja \(\ell\).

Vis fasit

\[ R'(0, -3) \]

b

En linje \(m\) går gjennom to punkter \(A(1, 4)\) og \(B(4, 1)\).

Et punkt \(C(1, 8)\) ligger utenfor linja.

Bestem koordinatene til punktet \(C'\) som fås ved å speile \(C\) om linja \(m\).

Vis fasit

\[ C'(-3, 4) \]

c

En linje \(n\) går gjennom to punkter \(P(-2, 3)\) og \(Q(4, -3)\).

Et punkt \(R(0, 5)\) ligger utenfor linja.

Bestem koordinatene til punktet \(R'\) som fås ved å speile \(R\) om linja \(n\).

Vis fasit

\[ R'(-4, 1) \]

---

Oppgave 9

En sirkel har sentrum i \(S(4, -2)\). En linje \(\ell\) tangerer sirkelen i punktet \(T(8, 2)\).

a

Bestem sirkelens radius.

Vis fasit

\[ r = 4\sqrt{2} \]

b

En annen linje \(m\) er parallell med \(\ell\) og tangerer også sirkelen.

Bestem koordinatene til punktet \(m\) tangerer sirkelen.

Vis fasit

\[ (0, -6) \]

c

En tredje linje \(n\) står ortogonalt på \(\ell\) og \(m\).

Bestem koordinatene til de to punktene der linja \(n\) kan tangere sirkelen.

Vis fasit

\[ (0, 2) \qog (8, -6) \]

---

Oppgave 10

a

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A(-2, 1)\) og \(B(4, 3)\).

En sirkel har sentrum i \(S(1, 0)\) og tangerer \(\ell\).

Bestem radiusen til sirkelen.

Vis fasit

\[ r = \dfrac{3 \sqrt{10}}{5} \]

b

En linje \(\ell\) går gjennom punktet \(A(3, 2)\) og tangerer to sirkler i \(B(7, 5)\) med radius \(10\).

Bestem koordinatene til sentrum i de to sirklene.

Vis fasit

\[ S_1(1, 13) \qog S_2(13, -3) \]

c

En sirkel har sentrum i \(S(1, -1)\).

En linje \(\ell\) skjærer sirkelen i punktene \(A(-2, 1)\) og \(B(4, 1)\).

To andre linjer er parallelle med \(\ell\) og tangerer sirkelen.

Bestem koordinatene til punktene der linjene tangerer sirkelen.

Vis fasit

\[ (1, \sqrt{13} - 1) \qog (1, -\sqrt{13} - 1) \]

---

Oppgave 11

Åpne CAS‑vindu

Tre punkter er gitt ved \(A(0, 0)\), \(B(9, 1)\) og \(C(24, 10)\). En stråle \(\ell\) er gitt ved

\[\begin{split} \ell: \begin{cases} x = 12t \\ \\ y = 5t \end{cases} \qfor t > 0. \end{split}\]

a

Vis at \(C\) ligger på \(\ell\).

b

Bestem \(\angle BAC\)

Vis fasit

\[ \angle BAC = 155.38\degree \]

c

Et annet punkt \(D\) ligger på \(\ell\) slik at \(\angle ADB = 120\degree\).

Bestem koordinatene til \(D\).

Vis fasit

\[ D\left(\dfrac{-132 \sqrt{3} + 1356}{169}, \dfrac{-55 \sqrt{3} + 565}{169}\right) \approx D(6.67, 2.78) \]

d

Et punkt \(E\) ligger på \(\ell\) slik at arealet av \(\triangle ABE\) er \(11\).

Bestem de eksakte koordinatene til \(E\).

Vis fasit

\[ E\left(8, \dfrac{10}{3}\right). \]

---

Oppgave 12

Grafen til en funksjonen \(f\) gitt ved \(f(x) = \ln x\) er vist i figuren nedenfor.

Et punkt \(B\) på grafen til \(f\) er plassert slik at tangenten til grafen i punktet \(B\) går gjennom \(A(0, 0)\).

Punktet \(C\) er plassert på linja \(y = x\) slik at \(\angle ACB = 90\degree\).

a

Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet \(B\).

Vis fasit

\[ B(e, 1) \]

Vis løsningsforslag

Punktet \(B\) ligger på en linje som er en tangent til grafen i et punkt \((x, f(x))\). Gitt punktet \(x\), så vil stigningstallet til tangenten være gitt ved den deriverte av \(f\) i punktet \(x\):

\[ f(x) = \ln x \limplies f'(x) = \dfrac{1}{x} \]

Siden punktet \(A(0, 0)\) også ligger på tangenten og er i origo, vil \(\lvec{AB}\) beskrive posisjonsvektoren til punktet \(B\). Dette punktet vil ha koordinatene \((x, f(x)) = (x, \ln x)\). Dermed er

\[ \lvec{AB} = [x, \ln x] \]

Når vi øker \(x\) med én enhet, vil \(y\)-verdien øke med stigningstallet til tangenten, altså \(\frac{1}{x}\). Dermed kan vi uttrykke retningsvektoren til tangenten som

\[ \vec{v} = \left[1, \dfrac{1}{x}\right] \]

Punktene på tangenten kan derfor beskrives som

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t = [0, 0] + \left[1, \dfrac{1}{x}\right] \cdot t = \left[t, \dfrac{t}{x}\right] \]

Vi må bestemme \(t\) og \(x\) slik at \(\vec{r}(t) = \lvec{AB}\). Altså må vi løse likningen

\[ \left[t, \dfrac{t}{x}\right] = [x, \ln x] \]

Dette gir oss to likninger:

\[ t = x \and \dfrac{t}{x} = \ln x \]

Den første likningen forteller oss bare at \(t = x\), så vi kan sette dette inn i den andre likningen som gir:

\[ \dfrac{x}{x} = \ln x \limplies 1 = \ln x \]

Altså må \(x = e\). Dermed er koordinatene til punktet \(B\) gitt ved

\[ B(x, \ln x) = B(e, 1) \]

b

Bestem det eksakte arealet av \(\triangle ABC\).

Vis fasit

\[ T = \dfrac{e^2 - 1}{4} \]

Vis løsningsforslag

For å bestemme arealet av \(\triangle ABC\), må vi kjenne til to vektorer som spenner ut trekanten. Vi vet allerede at \(\lvec{AB} = [e, 1]\). Vi trenger derfor bare én vektor til for én av sidene i trekanten. Vi kan finne \(\lvec{AC}\) ved å regne ut projeksjonen av \(\lvec{AB}\) ned på linja \(y = x\) som har retningsvektor \(\vec{v} = [1, 1]\). Da får vi

\[ \lvec{AC} = \dfrac{\lvec{AB} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}^2} \vec{v} \]

Vi regner ut skalarproduktet i telleren først:

\[ \lvec{AB} \cdot \vec{v} = [e, 1] \cdot [1, 1] = e + 1 \]

Så regner vi ut nevneren:

\[ \abs{\vec{v}}^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \]

Dermed får vi

\[ \lvec{AC} = \dfrac{e + 1}{2} \cdot [1, 1] \]

Arealet av \(\triangle ABC\) er da gitt ved formelen

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp} \]

der \(\lvec{AC}_\perp\) er en tverrvektor til \(\lvec{AC}\). En tverrvektor til \(\lvec{AC}\) får vi vet å bytte plass på koordinatene og endre fortegn på én av dem:

\[ \lvec{AC}_\perp = \dfrac{e + 1}{2} \cdot [-1, 1] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp &= [e, 1] \cdot \left(\dfrac{e + 1}{2} \cdot [-1, 1]\right) \\ \\ &= \dfrac{e + 1}{2} \cdot ( -e + 1) = \dfrac{-(e^2 - 1)}{2} \\ &= \dfrac{1 - e^2}{2} \end{align*} \end{split}\]

Altså er arealet av trekanten gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \abs{\dfrac{1 - e^2}{2}} \\ \\ &= \dfrac{e^2 - 1}{4} \end{align*} \end{split}\]