21. Anvendelser av skalarproduktet

Læringsmål

• Kunne lage en tverrvektor til en gitt vektor.

• Kunne bruke skalarproduktet til å bestemme avstanden fra et punkt til en linje.

• Kunne bruke skalarproduktet til å bestemme arealet av en trekant.

I dette kapittelet vil du finne at det er ganske mange formler, men de er alle logisk utledet med å tenke med vektorer. Det er derfor viktig at du prøver å forstå hvordan formlene er bygget opp så de ikke bare er black-box-formler (✈) du pugger utenat. Vi formulerer dem med formler her så vi har gjort det én gang for alle, men skulle du glemme en formel kan du alltid gå gjennom resonnementet på nytt og finne fram til den igjen!

Tverrvektorer

Når vi jobber med geometriske problemer i vektorregning, vil vi i blant trenge å lage oss en vektor som er vinkelrett på en gitt vektor med samme lengde som før. En slik vektor kaller vi for en tverrvektor. Denne typen vektor blir en gjenganger vi trenger igjen og igjen.

Tverrvektor

La \(\vec{a} = [x, y]\) være en vektor. En tverrvektor \(\vec{a}_\perp\) til \(\vec{a}\) får vi ved å rotere vektoren \(\vec{a}\) med eller mot klokka med \(90^\circ\). Dette gir oss to muligheter:

\[ \vec{a}_\perp = [-y, x] \qeller \vec{a}_\perp = [y, -x] \]

Vi kan merke oss at tverrvektoren vil ha samme lengde som den opprinnelige vektoren:

\[ \abs{\vec{a}_\perp} = \abs{\vec{a}} \]

Vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{a}_\perp\) er da ortogonale slik at

\[ \vec{a} \cdot \vec{a}_\perp = 0 \liff \vec{a} \perp \vec{a}_\perp \]

---

Eksempel 1

La \(\vec{a} = [2, -1]\).

Bestem en tverrvektor til \(\vec{a}\).

Vis løsningsforslag

Vi bytter rekkefølge på komponentene til \(\vec{a}\) og endrer fortegnet på én av dem for å lage en tverrvektor. Da får vi

\[ \vec{a}_\perp = [1, 2] \qeller \vec{a}_\perp = [-1, -2] \]

Vi kan sjekke at \(\vec{a} \perp \vec{a}_\perp\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{a}_\perp = [2, -1] \cdot [1, 2] = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 2 - 2 = 0 \]

Du kan få sjekke den andre. La oss også bekrefte at \(\len{a} = \abs{\vec{a}_\perp}\):

\[ \len{a} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

og

\[ \abs{\vec{a}_\perp} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]

Altså er begge kriteriene for en tverrvektor oppfylt.

---

Underveisoppgave 1

La \(\vec{a} = [3, 1]\).

1. Bestem en tverrvektor til \(\vec{a}\).

2. Sjekk at vektoren du finner tilfredsstiller \(\vec{a} \perp \vec{a}_\perp\) og \(\len{a} = \abs{\vec{a}_\perp}\).

Vis fasit

\[ \vec{a}_\perp = [-1, 3] \qeller \vec{a}_\perp = [1, -3] \]

Arealet av en trekant

Vi kan bruke vektorregning til å bestemme arealet av trekanter der vi kjenner to vektorer som utspenner trekanten.

Setning: Arealet av en trekant

En trekant \(\triangle ABC\) utspent av vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) har et areal \(T\) gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}_\perp} \]

der \(\vec{b}_\perp\) er en tverrvektor til \(\vec{b}\).

Forklaring av formelen

Grunnlinja i trekanten er \(\abs{\vec{a}}\) og høyden er \(h\). Dette betyr at arealet av trekanten kan uttrykkes som

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{\vec{a}} \cdot h \]

Lar vi vinkelen mellom vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) var \(\varphi\), kan vi se at

\[ \sin \varphi = \dfrac{h}{\abs{\vec{b}}} \liff h = \abs{\vec{b}} \cdot \sin \varphi \]

Altså kan vi skrive arealet som

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \sin \varphi \]

Formelen ligner skrekkelig mye på den geometriske formelen for skalarproduktet, bortsett fra at \(\sin \varphi\) inngår i uttrykket og ikke \(\cos \varphi\).

Vi skulle liksom ønske oss at det i stedet stod

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi \]

Men la oss ta en liten omvei via trigonometrien. Vi tegner oss en rettvinklet trekant \(\triangle ABC\) der den ene vinkelen er \(\varphi\). Da må den andre spisse vinkelen i trekanten være \(90^\circ - \varphi\). Vi kan da bruke definisjonen av sinus og cosinus på de to vinklene i trekanten, og se at

\[ \cos (90\degree - \varphi) = \dfrac{BC}{AC} \and \sin \varphi = \dfrac{BC}{AC} \]

Det betyr derfor at

\[ \sin \varphi = \cos(90\degree - \varphi) \]

Altså kan vi også skrive arealet av trekanten som

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \cos(90\degree - \varphi) \]

Men vinkelen mellom vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er jo \(\varphi\) og ikke \(90^\circ - \varphi\). Men dersom vi roterer én av vektorene \(90 \degree\), så blir vinkelen mellom vektorene \(90^\circ - \varphi\). Men å rotere en vektor med \(90 \degree\) er jo det samme som å lage en tverrvektor.

Vi lager en tverrvektor \(\vec{b}_\perp\) til vektoren \(\vec{b}\). Da vil vinkelen mellom vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}_\perp\) være \(90^\circ - \varphi\). Samtidig så er jo lengden av \(\vec{b}_\perp\) den samme som lengden av \(\vec{b}\), altså \(\abs{\vec{b}_\perp} = \abs{\vec{b}}\). Det betyr at

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}_\perp} \cdot \cos (90\degree - \varphi) \\ \end{align*} \end{split}\]

Nå er uttrykket for arealet det samme som skalarproduktet mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}_\perp\). Derfor har vi at

\[ T = \dfrac{1}{2} \vec{a} \cdot \vec{b}_\perp \]

Men vi kan jo lage to forskjellige tverrvektorer av \(\vec{b}\). Den ene får vi ved å rotere \(90\degree\) med klokka, og den andre ved å rotere \(90\degree\) mot klokka. Det betyr at vi vil kunne få samme absoluttverdi, men motsatt fortegn, så vi risikerer at arealet blir negativt. For å slippe unna dette problemet, tar vi bare absoluttverdien av skalarproduktet slik at det alltid blir et positivt svar. Ergo er formelen for arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}_\perp} \]

Vi tar et eksempel.

Eksempel 2

En trekant \(\triangle ABC\) har hjørnene \(A(-2, -1)\), \(B(3, 2)\) og \(C(-1, 3)\).

Bestem arealet av trekanten.

Vis løsningsforslag

Vi trenger to vektorer som spenner ut trekanten. Vi velger å bruke \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}\). Da får vi

\[ \lvec{AB} = [3, 2] - [-2, -1] = [5, 3] \qog \lvec{AC} = [-1, 3] - [-2, -1] = [1, 4] \]

Så må vi lage en tverrvektor til én av de to. Vi velger å lage en tverrvektor til \(\vec{AC}\). Da bytter vi om rekkefølgen på koordinatene og endrer fortegnet på én av dem:

\[ \lvec{AC}_\perp = [-4, 1] \]

Så regner vi ut skalarproduktet mellom \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}_\perp\):

\[ \lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp = [5, 3] \cdot [-4, 1] = 5 \cdot (-4) + 3 \cdot 1 = -20 + 3 = -17 \]

Så bruker vi formelen for arealet av trekanten:

\[ T = \dfrac{1}{2} |\lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp| = \dfrac{1}{2} \cdot |-17| = \dfrac{17}{2} \]

---

Underveisoppgave 2

En trekant \(\triangle ABC\) har hjørnene \(A(-3, 1)\), \(B(2, -1)\) og \(C(1, 3)\).

Bestem arealet av trekanten.

Vis fasit

\[ T = 9 \]

Vis løsningsforslag

Vi lager oss to vektorer som spenner ut trekanten. Vi velger \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}\). Da får vi

\[ \lvec{AB} = [2, -1] - [-3, 1] = [5, -2] \qog \lvec{AC} = [1, 3] - [-3, 1] = [4, 2] \]

Så lager vi en tverrvektor til \(\lvec{AC}\). Da bytter vi om rekkefølgen på koordinatene og endrer fortegnet på én av dem:

\[ \lvec{AC}_\perp = [-2, 4] \]

Så regner vi ut skalarproduktet mellom \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}_\perp\):

\[ \lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp = [5, -2] \cdot [-2, 4] = 5 \cdot (-2) + (-2) \cdot 4 = -10 - 8 = -18 \]

Så bruker vi formelen for arealet av trekanten:

\[ T = \dfrac{1}{2} |\lvec{AB} \cdot \lvec{AC}_\perp| = \dfrac{1}{2} \cdot |-18| = 9 \]

---

Arealet av et parallellogram

Et parallellogram kan vi få ved å ta en trekant, og speile den om én av sidene. Da får vi en firkant som parvis har to parallelle sider. Siden denne består av to like store trekanter, blir arealet dobbelt så stort som arealet av en trekant som utgjør halvparten. Det betyr at vi kan gjenbruke formelen vi fant for arealet av en trekant for å bestemme arealet av et parallellogram.

Setning: Arealet av et parallellogram

Et parallellogram \(ABCD\) utspent av vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) har et areal \(T\) gitt ved

\[ T = |\vec{a} \cdot \vec{b}_\perp| \]

der \(\vec{b}_\perp\) er en tverrvektor til \(\vec{b}\).

---

Eksempel 3

Et parallellogram har hjørnene \(A(-2, -1)\), \(B(3, 2)\), \(C(-1, 3)\) og \(D(4, 6)\).

Bestem arealet av parallellogrammet.

Vis løsningsforslag

Vi trenger to vektorer som spenner ut parallellogrammet. Vi velger å bruke \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AD}\). Da får vi

\[ \lvec{AB} = [3, 2] - [-2, -1] = [5, 3] \qog \lvec{AD} = [4, 6] - [-2, -1] = [6, 7] \]

Så må vi lage en tverrvektor til én av de to. Vi velger å lage en tverrvektor til \(\lvec{AD}\). Da bytter vi om rekkefølgen på koordinatene og endrer fortegnet på én av dem:

\[ \lvec{AD}_\perp = [-7, 6] \]

Så regner vi ut skalarproduktet mellom \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AD}_\perp\):

\[ \lvec{AB} \cdot \lvec{AD}_\perp = [5, 3] \cdot [-7, 6] = 5 \cdot (-7) + 3 \cdot 6 = -35 + 18 = -17 \]

Så bruker vi formelen for arealet av parallellogrammet:

\[ T = |\lvec{AB} \cdot \lvec{AD}_\perp| = |-17| = 17 \]

Altså er arealet av parallellogrammet lik \(17\).

---

Underveisoppgave 3

Et parallellogram har hjørner i punktene \(A(-3, 1)\), \(B(2, -1)\), \(C(1, 3)\) og \(D(6, 1)\).

Bestem arealet av parallellogrammet.

Vis fasit

Arealet er \(18\).

Vis løsningsforslag

Vi trenger to vektorer som spenner ut parallellogrammet. Vi velger å bruke \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AD}\). Da får vi

\[ \lvec{AB} = [2, -1] - [-3, 1] = [5, -2] \qog \lvec{AD} = [6, 1] - [-3, 1] = [9, 0] \]

Så må vi lage en tverrvektor til én av de to. Vi velger å lage en tverrvektor til \(\lvec{AD}\). Da bytter vi om rekkefølgen på koordinatene og endrer fortegnet på én av dem:

\[ \lvec{AD}_\perp = [-0, 9] = [0, 9] \]

Så regner vi ut skalarproduktet mellom \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AD}_\perp\):

\[ \lvec{AB} \cdot \lvec{AD}_\perp = [5, -2] \cdot [0, 9] = 5 \cdot 0 + (-2) \cdot 9 = 0 - 18 = -18 \]

Så bruker vi formelen for arealet av parallellogrammet:

\[ T = |\lvec{AB} \cdot \lvec{AD}_\perp| = |-18| = 18 \]

Altså er arealet av parallellogrammet lik \(18\).

Avstanden fra et punkt til en linje

Arealformelen for en trekant gir oss en måte å bestemme avstanden fra et punkt \(R\) til en linje \(\ell\) ved hjelp av skalarproduktet.

Når vi snakker om avstanden fra et punkt til en linje, så mener vi den korteste avstanden fra punktet til linjen som vil være et linjestykke som står vinkelrett på linja. Dette kan vi tolke som høyden i en trekant som har grunnlinje langs linjen \(\ell\).

Avstand fra et punkt til en linje

La en linje \(\ell\) ha retningsvektor \(\vec{v}\) og et punkt \(Q\) som ligger på linja. La \(R\) være et punkt utenfor linja.

Avstanden \(h\) fra \(R\) til linja \(\ell\) er gitt ved

\[ h = \dfrac{|\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp|}{\abs{\vec{v}}} \]

der \(\vec{v}_\perp\) er en tverrvektor til retningsvektoren \(\vec{v}\), og \(\lvec{QR}\) er vektoren fra punktet \(Q\) til punktet \(R\).

Forklaring av formelen

La \(\vec{v}\) være en retningsvektor på en linje \(\ell\) og \(Q\) være et vilkårlig punkt på linja. Da spenner \(\vec{v}\) og \(\lvec{QR}\) ut en trekant som vist i figuren til høyre.

Da kan vi skrive arealet på to måter. Først ved hjelp av høyden \(h\) og grunnlinja \(\len{v}\):

\[ T = \dfrac{1}{2} \len{v} \cdot h \]

Deretter ved å bruke skalarproduktet mellom vektorene \(\vec{v}_\perp\) (tverrvektoren til \(\vec{v}\)) og \(\lvec{QR}\):

\[ T = \dfrac{1}{2} |\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp| \]

Disse to uttrykkene for arealet må være like, som betyr at vi kan si at

\[ \dfrac{1}{2} \len{v} \cdot h = \dfrac{1}{2} |\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp| \]

Så løser vi denne likningen for \(h\) for å finne hvor langt unna punktet \(R\) er fra linja \(\ell\):

\[ h = \dfrac{|\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp|}{\len{v}} \]

som var det vi skulle vise.

Vi ser på et eksempel.

Eksempel 4

En linje \(\ell\) er gitt ved likningen \(y = x - 2\).

Bestem avstanden fra punktet \(R(1, 3)\) til linja.

Vis løsningsforslag

Vi trenger ett punkt på linja \(\ell\) og en retningsvektor \(\vec{v}\) slik at vi kan definere vektorene som skal spenne ut en trekant. Setter vi inn \(x = 0\) i likningen for linja, får vi \(y = -2\) slik at punktet \(Q(0, -2)\) ligger på linja. Da får vi vektoren

\[ \lvec{QR} = \lvec{OR} - \lvec{OQ} = [1, 3] - [0, -2] = [1, 5] \]

En retningsvektor for linja kan vi finne ved å observere at stigningstallet til linja er \(1\). Når vi beveger oss langs linja vil vi derfor øke \(y\) med \(1\) hver gang vi øker \(x\) med \(1\). En retningsvektor for linja er derfor

\[ \vec{v} = [1, 1] \]

En tverrvektor til \(\vec{v}\) får vi ved å bytte om rekkefølgen på koordinatene og endre fortegnet på én av dem:

\[ \vec{v}_\perp = [1, -1] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet mellom \(\lvec{QR}\) og \(\vec{v}_\perp\):

\[ \lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp = [1, 5] \cdot [1, -1] = 1 \cdot 1 + 5 \cdot (-1) = 1 - 5 = -4 \]

Så kan vi bruke formelen for avstanden fra punktet til linja:

\[ h = \dfrac{|\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp|}{|\vec{v}|} = \dfrac{|-4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]

Altså er avstanden fra punktet \(R\) til linja \(\ell\) lik \(2\sqrt{2}\).

---

Underveisoppgave 4

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A(2, 1)\) og \(B(4, 5)\).

Bestem avstanden fra punktet \(R(-2, 3)\) til linja \(\ell\).

Vis fasit

\[ 2\sqrt{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi kjenner til to punkter på linja, så vi kan regne ut en retningsvektor

\[ \vec{v} = \lvec{AB} = [4, 5] - [2, 1] = [2, 4] \]

En tverrvektor til \(\vec{v}\) får vi ved å bytte om rekkefølgen på koordinatene og endre fortegnet på én av dem:

\[ \vec{v}_\perp = [4, -2] \]

Vi trenger også vektoren fra ett punkt på linja til punktet utenfor linja. Vi velger \(\lvec{AR}\):

\[ \lvec{AR} = [-2, 3] - [2, 1] = [-4, 2] \]

Nå kan vi regne ut skalarproduktet mellom \(\lvec{AR}\) og \(\vec{v}_\perp\):

\[ \lvec{AR} \cdot \vec{v}_\perp = [-4, 2] \cdot [4, -2] = (-4) \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = -16 - 4 = -20 \]

Så kan vi bruke formelen for avstanden fra punktet til linja:

\[ h = \dfrac{|\lvec{AR} \cdot \vec{v}_\perp|}{|\vec{v}|} = \dfrac{|-20|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} = \dfrac{20}{\sqrt{4 + 16}} = \dfrac{20}{\sqrt{20}} = 2\sqrt{5} \]

Altså er avstanden fra punktet \(R\) til linja \(\ell\) lik \(2\sqrt{5}\).

---

Dekomponering relativ til en linje

Når vi arbeidet med vektorer i planet, så er det nyttig å kunne dele opp en vektor i to komponenter: Én som peker langs en linje og én som står ortogonalt på linja. Dette kalles å dekomponere en vektor langs en linje. Vi skal se at dette er naturlige utvidelser av det vi allerede har jobbet med.

Hvis vi lar et punkt \(Q\) ligge på en linje \(\ell\) med retningsvektor \(\vec{v}\), og et punkt \(R\) ligger utenfor linja, så kan vi dele opp vektoren \(\lvec{QR}\) i to komponenter: Én som peker langs linja og én som står vinkelrett på linja.

\[\begin{split} \lvec{QR} = \underbrace{\vec{p}}_{\mstack{\text{langs} \\ \text{linja}}} + \underbrace{\vec{h}}_{\mstack{\text{vinkelrett} \\ \text{på} \\ \text{linja}}} \end{split}\]

Vi vet allerede hvordan vi finner \(\abs{\vec{h}}\) fra da vi så på hvordan vi fant avstanden fra et punkt til en linje. Nå skal vi se hvordan vi kan si noe om vektorene \(\vec{p}\) og \(\vec{h}\) hver for seg.

Parallellkomponenten (komponenten langs linja)

Den delen av en vektor som er parallell med en linje, kalles gjerne for projeksjonen av vektoren ned på linja.

Vi har allerede gjort mesteparten av forarbeidet for å finne projeksjonen. Formelen for projeksjonen er skremmende lik formelen for avstanden fra et punkt til en linje. Dette vil være en gjenganger – som vi snart skal se.

Parallellkomponenten langs en linje (projeksjonen)

Parallellkomponenten (projeksjonen) \(\vec{p}\) av en vektor \(\lvec{QR}\) ned på en linje \(\ell\) med retningsvektor \(\vec{v}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}^2} \vec{v} \]

Forklaring av formelen

Projeksjonen \(\vec{p}\) (vektoren som ligger langs linja) må være parallell med retningsvektoren \(\vec{v}\) til linja. Derfor kan vi skrive projeksjonen som et skalarmultiplum av retningsvektoren:

\[ \vec{p} = t\vec{v} \]

Vi vet at vektoren \(\vec{h}\) (den vinkelrette komponenten) må stå ortogonalt på linja. Da er skalarproduktet mellom \(\vec{h}\) og retningsvektoren \(\vec{v}\) lik null:

\[ \vec{h} \cdot \vec{v} = 0 \]

Videre kan vi se at

\[ \lvec{QR} = \vec{p} + \vec{h} \liff \vec{h} = \lvec{QR} - \vec{p} \]

Så erstatter vi med at \(\vec{p} = t \vec{v}\) i uttrykket ovenfor:

\[ \vec{h} = \lvec{QR} - t \vec{v} \]

Så tar vi skalarproduktet som vi vet må bli null:

\[ \vec{h} \cdot \vec{v} = 0 \]

\[ (\lvec{QR} - t \vec{v}) \cdot \vec{v} = 0 \]

\[ \lvec{QR} \cdot \vec{v} - t (\vec{v} \cdot \vec{v}) = 0 \]

\[ \lvec{QR} \cdot \vec{v} - t \abs{\vec{v}}^2 = 0 \]

Løser vi denne likningen for \(t\), får vi

\[ t = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}^2} \]

Altså må projeksjonen være

\[ \vec{p} = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}^2} \vec{v} \]

Denne vektoren har en ganske naturlig tolkning som vi kan se hvis vi skriver den om litt:

\[ \vec{p} = \left(\dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}}\right) \cdot \left(\dfrac{\vec{v}}{\abs{\vec{v}}}\right) \]

Den første faktoren forteller hvor lang delen av vektoren \(\lvec{QR}\) som peker langs linja er, mens den andre faktoren er en enhetsvektor som peker langs linja. Hvordan kan vi se det? Vel, vi tenker oss at det er en vinkel \(\varphi\) mellom vektorene \(\lvec{QR}\) og \(\vec{v}\). Da gir den geometriske formelen for skalarproduktet oss at

\[ \lvec{QR} \cdot \vec{v} = \abs{\lvec{QR}} \cdot \abs{\vec{v}} \cdot \cos \varphi \]

Setter vi det inn i uttrykket for \(\vec{p}\) får vi:

\[ \vec{p} = \left(\dfrac{\abs{\lvec{QR}} \cdot \abs{\vec{v}} \cdot \cos \varphi}{\abs{\vec{v}}}\right) \cdot \left(\dfrac{\vec{v}}{\abs{\vec{v}}}\right) = \left(\abs{\lvec{QR}} \cdot \cos \varphi\right) \cdot \left(\dfrac{\vec{v}}{\abs{\vec{v}}}\right) \]

Den første faktoren vil være lengden langs linja (men med fortegn siden \(\cos \varphi\) kan være negativ), mens den andre faktoren er en enhetsvektor som peker langs linja.

---

Eksempel 5

En linje \(\ell\) går gjennom punktet \(Q(0, -2)\) og har en retningsvektor \(\vec{v} = [1, 2]\).

Et punkt \(R(4, 1)\) ligger utenfor linja.

Bestem koordinatene til punktet \(P\) på linja som ligger nærmest punktet \(R\).

Vis løsningsforslag

Som alltid, bør vi starte med å lage oss en hjelpefigur så vi får oversikt over problemstillingen og systematisert opplysningene vi har.

For å bestemme koordinatene til punktet \(P\) på linja som ligger nærmest punktet \(R\), kan vi følge projeksjonsvektoren \(\vec{p}\) fra punktet \(Q\) på linja. Altså vil

\[ \lvec{OP} = \lvec{OQ} + \vec{p} \]

For å finne projeksjonsvektoren \(\vec{p}\), trenger vi først vektoren \(\lvec{QR}\):

\[ \lvec{QR} = \lvec{OR} - \lvec{OQ} = [4, 1] - [0, -2] = [4, 3] \]

Nå kan vi bruke formelen for projeksjonsvektoren:

\[ \vec{p} = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}^2} \vec{v} \]

Først regner vi ut skalarproduktet i telleren:

\[ \lvec{QR} \cdot \vec{v} = [4, 3] \cdot [1, 2] = 4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10 \]

Så regner vi ut nevneren:

\[ \abs{\vec{v}}^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \]

Nå kan vi sette det sammen for å finne projeksjonsvektoren:

\[ \vec{p} = \dfrac{10}{5} \cdot [1, 2] = 2 \cdot [1, 2] = [2, 4] \]

Nå som vi har projeksjonsvektoren, kan vi finne koordinatene til punktet \(P\):

\[ \lvec{OP} = \lvec{OQ} + \vec{p} = [0, -2] + [2, 4] = [2, 2] \]

Altså har punktet \(P\) (som ligger nærmest \(R\)) koordinatene \((2, 2)\).

Normalkomponenten (komponenten vinkelrett på linja)

Nå som vi har funnet projeksjonen av vektoren ned på linja, så er det enkelt å finne den delen av vektoren som står vinkelrett på linja. Dette er bare resten av vektoren når vi har tatt bort projeksjonen. Vi bare gjentar argumentet på nytt, men nå langs tverrvektoren til retningsvektoren.

Normalkomponenten til en vektor på en linje

La et punkt \(Q\) ligge på en linje \(\ell\) med retningsvektor \(\vec{v}\), og la et punkt \(R\) ligge utenfor linja. Da er normalkomponenten \(\vec{h}\) til vektoren \(\lvec{QR}\) gitt ved

\[ \vec{h} = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp}{\abs{\vec{v}_\perp}^2} \vec{v}_\perp \]

der \(\vec{v}_\perp\) er en tverrvektor til retningsvektoren \(\vec{v}\).

Forklaring av formelen

Vi gjør et tilsvarende argument som for projeksjonsvektoren. Normalkomponenten \(\vec{h}\) må være parallell med tverrvektoren \(\vec{v}_\perp\) til retningsvektoren \(\vec{v}\). Derfor kan vi skrive normalkomponenten som et skalarmultiplum av tverrvektoren:

\[ \vec{h} = s\vec{v}_\perp \]

Videre vet vi at vi kan skrive \(\lvec{QR}\) som summen av projeksjonsvektoren og normalkomponenten:

\[ \lvec{QR} = \vec{p} + \vec{h} \liff \vec{p} = \lvec{QR} - \vec{h} \]

Nå, siden projeksjonsvektoren \(\vec{p}\) må ligge langs linja, så må skalarproduktet mellom \(\vec{p}\) og tverrvektoren \(\vec{v}_\perp\) være lik null (siden de står normalt på hverandre):

\[ \vec{p} \cdot \vec{v}_\perp = 0 \]

\[ (\lvec{QR} - \vec{h}) \cdot \vec{v}_\perp = 0 \]

Så erstatter vi \(\vec{h} = s \vec{v}_\perp\) i uttrykket over så vi kan bestemme \(s\):

\[ (\lvec{QR} - s \vec{v}_\perp) \cdot \vec{v}_\perp = 0 \]

\[ \lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp - s (\vec{v}_\perp \cdot \vec{v}_\perp) = 0 \]

\[ \lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp - s \abs{\vec{v}_\perp}^2 = 0 \]

Løser vi denne likningen for \(s\), får vi

\[ s = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp}{\abs{\vec{v}_\perp}^2} \]

Dermed er normalkomponenten til vektoren gitt ved:

\[ \vec{h} = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp}{\abs{\vec{v}_\perp}^2} \vec{v}_\perp \]

som var det vi skulle vise.

Det er altså en ganske fin symmetri her, der projeksjonen ned på linja involverer \(\vec{v}\), mens normalkomponenten har en lik formel som involverer \(\vec{v}_\perp\) som står normalt på \(\vec{v}\). Det er kanskje ikke så overraskende! Men dette gir en helt ny betydning til skalarproduktet. Så lenge vi bruker basisvektorer som står normalt på hverandre, så vil skalarproduktet fungere som en måte å hente ut komponentene langs hver retning – med noen ekstra steg, selvfølgelig.

Eksempel 6

En linje \(\ell\) går gjennom et punkt \(Q(1, -1)\) og har retningsvektor \(\vec{v} = [-1, 2]\).

Et punkt \(R(3, 5)\) ligger utenfor linja.

Bestem koordinatene til punktet \(R'\) som er speilbildet av punktet \(R\) om linja \(\ell\).

Vis løsningsforslag

Vi starter med å lage oss en hjelpefigur for å systematisere opplysningene og få oversikt.

For å bestemme koordinatene til punktet \(R'\) som er speilbildet av punktet \(R\) om linja \(\ell\), kan vi bruke normalkomponenten \(\vec{h}\) til vektoren \(\lvec{QR}\). Hvis vi følger denne vektorer to ganger i motsatt retning fra punktet \(R\), så lander vi på punktet \(R'\):

\[ \lvec{OR'} = \lvec{OR} - 2\vec{h} \]

For å bestemme normalkomponenten \(\vec{h}\), trenger vi først vektoren \(\lvec{QR}\):

\[ \lvec{QR} = \lvec{OR} - \lvec{OQ} = [3, 5] - [1, -1] = [2, 6] \]

Nå trenger vi en tverrvektor til retningsvektoren \(\vec{v} = [-1, 2]\). En tverrvektor får vi ved å bytte om rekkefølgen på koordinatene og endre fortegnet på én av dem:

\[ \vec{v}_\perp = [2, 1] \]

Nå kan vi bruke formelen for normalkomponenten:

\[ \vec{h} = \dfrac{\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp}{\abs{\vec{v}_\perp}^2} \vec{v}_\perp \]

Først regner vi ut skalarproduktet i telleren:

\[ \lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp = [2, 6] \cdot [2, 1] = 2 \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 4 + 6 = 10 \]

Så regner vi ut nevneren:

\[ \abs{\vec{v}_\perp}^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \]

Nå kan vi sette det sammen for å finne normalkomponenten:

\[ \vec{h} = \dfrac{10}{5} \cdot [2, 1] = 2 \cdot [2, 1] = [4, 2] \]

Nå som vi har normalkomponenten, kan vi finne koordinatene til punktet \(R'\):

\[ \lvec{OR'} = \lvec{OR} - 2\vec{h} = [3, 5] - 2 \cdot [4, 2] = [3, 5] - [8, 4] = [-5, 1] \]

Altså har punktet \(R'\) (som er speilbildet av punktet \(R\) om linja \(\ell\)) koordinatene \((-5, 1)\).