# Oppgaver: Aritmetiske rekker :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 :::::::::::::{part} a En aritmetisk følge $\{a_n\}$ har startledd $2$ og differanse $5$. Finn en eksplisitt formel for $a_n$. :::::{answer} $$ a_n = 5n - 3 $$ ::::{solution} Formelen for det $n$-te leddet er $$ a_n = a_1 + d(n - 1) $$ Vi har at $a_1 = 2$ og $d = 5$ som gir $$ a_n = 2 + 5(n - 1) = 2 + 5n - 5 = 5n - 3 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b En aritmetisk følge $\{b_n\}$ har startledd $-3$ og differanse $2$. Finn en eksplisitt formel for $b_n$. :::::{answer} $$ b_n = 2n - 5 $$ ::::{solution} Startleddet er $b_1 = -3$ og differansen er $d = 2$. Da blir $$ b_n = b_1 + d(n - 1) = -3 + 2(n - 1) = -3 + 2n - 2 = 2n - 5 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c En aritmetisk følge $\{c_n\}$ har startledd $20$ og differanse $-3$. Finn en eksplisitt formel for $c_n$. :::::{answer} $$ c_n = -3n + 23 $$ ::::{solution} Startleddet er $c_1 = 20$ og differansen er $d = -3$. Da blir formelen for det $n$-te leddet: $$ c_n = c_1 + d(n - 1) = 20 - 3(n - 1) = 20 - 3n + 3 = -3n + 23 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 :::::::::::::{part} a En artimetisk følge $\{a_n\}$ er gitt ved $$ 3, 8, 13, 18, 23, \ldots $$ Finn en eksplisitt formel $a_n$. :::::{answer} $$ a_n = 5n - 2 $$ ::::{solution} Startleddet er $a_1 = 3$ og differansen er $d = 5$. Dermed blir $$ a_n = a_1 + d(n - 1) = 3 + 5(n - 1) = 3 + 5n - 5 = 5n - 2 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b En aritmetisk følge $\{b_n\}$ er gitt ved $$ 50, 45, 40, 35, 30, \ldots $$ Finn en eksplisitt formel $b_n$. :::::{answer} $$ b_n = -5n + 55 $$ ::::{solution} Startleddet er $b_1 = 50$ og differansen er $d = -5$. Dermed blir $$ b_n = b_1 + d(n - 1) = 50 - 5(n - 1) = 50 - 5n + 5 = -5n + 55 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c En aritmetisk følge $\{c_n\}$ er gitt ved $$ -10, -3, 4, 11, 18, \ldots $$ Finn en eksplisitt formel $c_n$. :::::{answer} $$ c_n = 7n - 17 $$ ::::{solution} Startleddet er $c_1 = -10$ og differansen er $d = 7$. Dermed blir $$ c_n = c_1 + d(n - 1) = -10 + 7(n - 1) = -10 + 7n - 7 = 7n - 17 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 En aritmetisk følge $\{a_n\}$ er gitt ved $$ 1, 3, 5, 7, 9, \ldots, 99 $$ :::::::::::::{part} a Finn en eksplisitt formel for $a_n$. :::::{answer} $$ a_n = 2n - 1 $$ ::::{solution} Differansen i følgen er $d = 2$. Startleddet er $a_1 = 1$. Dermed kan vi skrive opp en formel for følgen som: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1 $$ :::: ::::: ::::::::::::: Rekka $S$ er gitt ved $$ S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + 99 $$ :::::::::::::{part} b Finn summen av rekka. :::::{answer} $$ S = 2500 $$ ::::{solution} Summen av en aritmetisk rekke er $$ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$ Vi har at det $n$-te leddet i rekka er $$ a_n = 2n - 1 $$ Det siste i rekka er $a_n = 99$ som gir $$ 2n - 1 = 99 \implies 2n = 100 \implies n = 50 $$ Altså er det $50$ ledd i rekka. Da blir summen lik $$ S_{50} = \dfrac{1 + 99}{2} \cdot 50 = 50 \cdot 50 = 2500 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 :::::::::::::{part} a En aritmetisk rekke er gitt ved $$ S = 2 + 5 + 8 + 11 + \ldots + 50 $$ Finn summen av rekka. :::::{answer} $$ S = 442 $$ ::::{solution} Rekka har startledd $a_1 = 2$ med en differanse $d = 3$. Derfor får vi at $$ a_n = 2 + 3(n - 1) = 2 + 3n - 3 = 3n - 1 $$ Det siste leddet i rekka er lik $50$ som gir $$ a_n = 50 \liff 3n - 1 = 50 \liff 3n = 51 $$ som gir $$ n = 17 $$ Summen av rekka er derfor $$ S = \dfrac{a_1 + a_{17}}{2} \cdot 17 = \frac{5 + 50}{2} \cdot 17 = 26 \cdot 17 = 442 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b En aritmetisk rekke er gitt ved $$ S = 3 + 7 + 11 + 15 + \ldots + 99 $$ Bestem summen av rekka. :::::{answer} $$ S = 1275 $$ ::::{solution} Rekka har startledd $a_1 = 3$ med en differanse $d = 4$. Formelen for det $n$-te leddet i rekka er da $$ a_n = 3 + 4(n - 1) = 3 + 4n - 4 = 4n - 1 $$ Det siste leddet i rekka er $a_n = 99$ som gir $$ 4n - 1 = 99 \liff 4n = 100 \liff n = 25 $$ Altså er det $25$ ledd i rekka. Summen av rekka blir derfor $$ S = \dfrac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \dfrac{3 + 99}{2} \cdot 25 = 51 \cdot 25 = 1275 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c En aritmetisk rekke er gitt ved $$ S = 100 + 96 + 92 + \ldots + 4 $$ Finn summen av rekka. :::::{answer} $$ S = 1300 $$ ::::{solution} Rekka har startledd $a_1 = 100$ og differanse $d = -4$. Det $n$-te leddet er derfor gitt ved $$ a_n = 100 - 4(n - 1) = 100 - 4n + 4 = -4n + 104 $$ Det siste leddet i rekka er $a_n = 4$ som gir $$ -4n + 104 = 4 \liff -4n = -100 \liff n = 25 $$ Altså er det $25$ ledd i rekka. Summen av rekka blir derfor $$ S = \dfrac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \dfrac{100 + 4}{2} \cdot 25 = 52 \cdot 25 = 1300 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d En aritmetisk rekke er gitt ved $$ S = -8 - 3 + 2 + 7 + \ldots + 47 $$ Bestem summen av rekka. :::::{answer} $$ S = 234 $$ ::::{solution} Rekka har startled $a_1 = -8$ og differanse $d = 5$. Det $n$-te leddet i rekka er derfor gitt ved $$ a_n = -8 + 5(n - 1) = -8 + 5n - 5 = 5n - 13 $$ Det siste leddet i rekka er $a_n = 47$ som gir $$ 5n - 13 = 17 \liff 5n = 60 \liff n = 12 $$ Altså er det $12$ ledd i rekka. Summen av rekka blir derfor $$ S = \dfrac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 = \dfrac{-8 + 47}{2} \cdot 12 = \dfrac{39}{2} \cdot 12 = 234 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} e En aritmetisk rekke er gitt ved $$ S = -3 + 0 + 3 + 6 + \ldots + 69 $$ Finn summen av rekka. :::::{answer} $$ S = 825 $$ ::::{solution} Rekka har startledd $a_1 = -3$ og differanse $d = 3$. Det $n$-te leddet i rekka er derfor gitt ved $$ a_n = -3 + 3(n - 1) = -3 + 3n - 3 = 3n - 6 $$ Det siste leddet i rekka er $a_n = 69$ som gir $$ 3n - 6 = 69 \liff 3n = 75 \liff n = 25 $$ Altså er det $25$ ledd i rekka. Summen av rekka blir derfor $$ S = \dfrac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \dfrac{-3 + 69}{2} \cdot 25 = \dfrac{66}{2} \cdot 25 = 33 \cdot 25 = 825 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 For en aritmetisk følge $\{a_n\}$ gjelder $$ a_{n + 1} - a_n = 5 \qog a_1 = 3 $$ :::::::::::::{part} a Finn $a_5$. :::::{answer} $$ a_5 = 23 $$ ::::{solution} Den rekursive formelen forteller oss at differansen i følgen er $d = 5$. Startleddet er $a_1 = 3$ som gir at formelen for det $n$-te leddet er $$ a_n = 3 + 5(n - 1) = 3 + 5n - 5 = 5n - 2 $$ Vi setter inn $n = 5$: $$ a_5 = 5 \cdot 5 - 2 = 25 - 2 = 23 $$ :::: ::::: ::::::::::::: En rekke er gitt ved $$ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{30} $$ :::::::::::::{part} b Finn summen av rekka. :::::{answer} $$ S = 2265 $$ ::::{solution} Fra oppgave **a** vet vi at $$ a_n = 5n - 2 $$ Det siste leddet i rekka blir da $$ a_{30} = 5 \cdot 30 - 2 = 150 - 2 = 148 $$ Summen av rekka blir derfor $$ S = \dfrac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \dfrac{3 + 148}{2} \cdot 30 = \dfrac{151}{2} \cdot 30 = 151 \cdot 15 = 2265 $$ :::: ::::: ::::::::::::: En annen rekke er gitt ved $$ R = a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{29} $$ :::::::::::::{part} c Bestem $R$. :::::{answer} $$ R = 1095 $$ ::::{solution} Rekka $R$ er summen av annen hvert ledd i $\{a_n\}$. Dette betyr at rekka består av $15$ ledd. Det siste leddet er gitt ved $$ a_{29} = 5 \cdot 29 - 2 = 145 - 2 = 143 $$ Summen av rekka blir derfor $$ R = \dfrac{a_1 + a_{29}}{2} \cdot 15 = \dfrac{3 + 143}{2} \cdot 15 = \dfrac{146}{2} \cdot 15 = 73 \cdot 15 = 1095 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 :::::::::::::{part} a I en aritmetisk følge $\{a_n\}$ er $a_5 - a_1 = 12$ og $a_1 = 3$. Bestem en eksplisitt formel for $a_n$. :::::{answer} $$ a_n = 3n $$ ::::{solution} Startleddet er $a_1 = 3$. Differansen $d$ vil tilfredsstille likningen $$ a_5 - a_1 = 4d $$ og siden $a_5 - a_1 = 12$, får vi $$ 4d = 12 \liff d = 3 $$ Det betyr at formelen for det $n$-te leddet i følgen er $$ a_n = a_1 + d(n - 1) = 3 + 3(n - 1) = 3 + 3n - 3 = 3n $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b I en aritmetisk følge $\{b_n\}$ er $b_6 - b_3 = 15$ og $b_2 = 4$. Finn en eksplisitt formel for $b_n$. :::::{answer} $$ b_n = 5n - 6 $$ ::::{solution} Differansen i følgen tilfredsstiller $$ b_6 - b_3 = 3d \and b_6 - b_3 = 15 $$ som betyr at $$ 3d = 15 \liff d = 5 $$ Siden $b_2 = 4$, betyr det at startleddet er $$ b_1 = b_2 - d = 4 - 5 = -1 $$ Dermed blir formelen for det $n$-te leddet i følgen $$ b_n = b_1 + d(n - 1) = -1 + 5(n - 1) = -1 + 5n - 5 = 5n - 6 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c I en aritmetisk følge er $\{c_n\}$ gitt ved $c_7 - c_2 = 20$ og $c_3 = 5$. Finn en eksplisitt formel for $c_n$. :::::{answer} $$ c_n = 4n - 7 $$ ::::{solution} Differansen i følgen tilfredsstiller $$ c_7 - c_2 = 5d \and c_7 - c_2 = 20 $$ som betyr at $$ 5d = 20 \liff d = 4 $$ Siden $c_3 = 5$, betyr det at startleddet er $$ c_1 = c_3 - 2d = 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Dermed blir formelen for det $n$-te leddet i følgen $$ c_n = c_1 + d(n - 1) = -3 + 4(n - 1) = -3 + 4n - 4 = 4n - 7 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 Ta quizen! ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} La $\{a_n\}$ være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig? ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ a_5 = \dfrac{a_3 + a_7}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ a_6 = \dfrac{a_5 + a_8}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ a_7 = \dfrac{a_5 + a_{10}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ a_{9} = \dfrac{a_{7} + a_{12}}{2} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} La $\{b_n\}$ være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig? ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ b_{15} = \dfrac{b_{11} + b_{19}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ b_{5} = \dfrac{b_{3} + b_{8}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ b_{21} = \dfrac{b_{16} + b_{23}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ b_{8} = \dfrac{b_{6} + b_{11}}{2} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} La $\{c_n\}$ være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig? ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ c_{20} = \dfrac{c_{18} + c_{22}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ c_{15} = \dfrac{c_{12} + c_{17}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ c_{10} = \dfrac{c_{8} + c_{13}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ c_{5} = \dfrac{c_{1} + c_{7}}{2} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} La $\{d_n\}$ være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig? ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ d_{11} = \dfrac{d_{7} + d_{15}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d_{16} = \dfrac{d_{13} + d_{18}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d_{50} = \dfrac{d_{45} + d_{54}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d_{67} = \dfrac{d_{62} + d_{73}}{2} $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 I en aritmetisk følge $\{a_n\}$ er $$ a_1 + a_3 + a_5 = 21 $$ :::::::::::::{part} a Finn $a_3$. :::::{answer} $$ a_3 = 7 $$ ::::{solution} Leddet $a_3$ ligger midt mellom $a_1$ og $a_5$ i følgen $\{a_n\}$. Dermed vil gjennomsnittet av $a_1$ og $a_5$ være lik $a_3$: $$ \dfrac{a_1 + a_5}{2} = a_3 \liff a_1 + a_5 = 2a_3 $$ Vi setter inn i likningen: $$ a_3 + (a_1 + a_5) = 21 $$ $$ a_3 + 2a_3 = 21 \liff 3a_3 = 21 \liff a_3 = 7 $$ :::: ::::: ::::::::::::: I en aritmetisk følge $\{b_n\}$ er $$ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 25 $$ :::::::::::::{part} b Finn $b_3$. :::::{answer} $$ b_3 = 5 $$ ::::{solution} Leddet $b_3$ ligger midt mellom $b_2$ og $b_4$ som betyr at gjennomsnittet av de to leddene er lik $b_3$: $$ \dfrac{b_2 + b_4}{2} = b_3 \liff b_2 + b_4 = 2b_3 $$ Leddet $b_3$ ligger også midt mellom $b_1$ og $b_5$ som også betyr at $$ \dfrac{b_1 + b_5}{2} = b_3 \liff b_1 + b_5 = 2b_3 $$ Dermed blir likningen $$ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 25 $$ $$ (b_1 + b_5) + b_3 + (b_2 + b_4) = 25 $$ $$ 2b_3 + b_3 + 2b_3 = 25 $$ $$ 5b_3 = 25 $$ $$ b_3 = 5 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 En aritmetisk følge $\{a_n\}$ tilfredsstiller $$ a_{n + 1} = a_n + 3 \qder a_1 = 2 $$ :::::::::::::{part} a Finn en eksplisitt formel for $a_n$. :::::{answer} $$ a_n = 3n - 1 $$ ::::{solution} Fra rekursjonsformelen ser vi at differansen i følgen er $d = 3$. Startleddet er $a_1 = 2$ som betyr at $$ a_n = 2 + 3(n - 1) = 2 + 3n - 3 = 3n - 1 $$ :::: ::::: ::::::::::::: En rekke $S$ er gitt ved $$ S = \sum_{n = 1}^{20} a_n $$ :::::::::::::{part} b Bestem $S$. :::::{answer} $$ S = 610 $$ ::::{solution} Vi har at $$ S = \sum_{n = 1}^{20} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{20} $$ Vi vet at det første leddet er $a_1 = 2$. Det siste leddet blir: $$ a_{20} = 3 \cdot 20 - 1 = 60 - 1 = 59 $$ Summen av rekka er derfor $$ S = \dfrac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \dfrac{2 + 59}{2} \cdot 20 = \dfrac{61}{2} \cdot 20 = 61 \cdot 10 = 610 $$ :::: ::::: ::::::::::::: En annen rekke $R$ er gitt ved $$ R = \sum_{n = 1}^{10} a_{2n} $$ :::::::::::::{part} c Finn $R$. :::::{answer} $$ R = 320 $$ ::::{solution} Rekka $R$ kan skrives om til $$ R = \sum_{n=1}^{10} a_{2n} = a_2 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{18} + a_{20} $$ Rekka består av $10$ ledd, der det siste leddet er $a_{20} = 59$ og det første leddet er $$ a_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5 $$ Summen av rekka blir derfor $$ R = \dfrac{a_2 + a_{20}}{2} \cdot 10 = \dfrac{5 + 59}{2} \cdot 10 = \dfrac{64}{2} \cdot 10 = 32 \cdot 10 = 320 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 I en aritmetisk følge $\{a_n\}$ er $$ a_1 + a_3 + a_5 = 30 \and a_5 = 14 $$ :::::::::::::{part} a Finn $a_1$. :::::{answer} $$ a_1 = 6 $$ ::::{solution} Leddet $a_3$ ligger midt mellom $a_1$ og $a_5$ i følgen $\{a_n\}$ slik at $$ a_3 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \liff 2a_3 = a_1 + a_5 $$ Det betyr at $$ a_1 + a_3 + a_5 = 30 $$ $$ 3a_3 = 30 $$ $$ a_3 = 10 $$ Leddet $a_5 = 14$ som betyr at $a_5 - a_3 = 14 - 10 = 4$. Differansen $a_3 - a_1$ må også være lik $4$ som betyr at $$ a_1 = a_3 - 4 = 10 - 4 = 6 $$ :::: ::::: ::::::::::::: En rekke $S$ er gitt ved $$ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{50} $$ :::::::::::::{part} b Bestem $S$. :::::{answer} $$ S = 2750 $$ ::::{solution} Vi har at startleddet er $a_1 = 6$. Differansen i følgen blir halvparten av differansen $a_3 - a_1 = 4$, så derfor er $d = 2$. Formelen for det $n$-te leddet er da $$ a_n = 6 + 2(n - 1) = 6 + 2n - 2 = 2n + 4 $$ Det siste leddet i rekka blir da $$ a_{50} = 2 \cdot 50 + 4 = 100 + 4 = 104 $$ Summen av rekka blir derfor $$ S = \dfrac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \dfrac{6 + 104}{2} \cdot 50 = \dfrac{110}{2} \cdot 50 = 55 \cdot 50 = 2750 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 I en aritmetisk følge $\{a_n\}$ er $$ a_1 + a_5 + a_9 = 0 \and a_9 = 8 $$ :::::::::::::{part} a Finn en eksplisitt formel for $a_n$. :::::{answer} $$ a_n = 2n - 10 $$ ::::{solution} Vi har at $a_5$ er lik gjennomsnittet av $a_1$ og $a_9$ i følgen $\{a_n\}$: $$ \dfrac{a_1 + a_9}{2} = a_5 \liff a_1 + a_9 = 2a_5 $$ Men da får vi at $$ a_1 + a_5 + a_9 = 0 \liff 3a_5 = 0 \liff a_5 = 0 $$ Siden summen av de tre leddene er lik $0$, må altså $a_5$ = 0. Og da må det også bety at $a_1 = -a_9 = -8$. Differansen i følgen $\{a_n\}$ blir da $$ d = \dfrac{a_9 - a_5}{9 - 5} = \dfrac{8 - 0}{4} = 2 $$ Dermed kan vi skrive opp en eksplisitt formel for det $n$-te leddet i følgen: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d = -8 + (n - 1) \cdot 2 = -8 + 2n - 2 = 2n - 10 $$ :::: ::::: ::::::::::::: En rekke tilfredsstiller $$ a_1 + a_2 + \ldots + a_{n} = 220 $$ :::::::::::::{part} b Bestem hvor mange ledd det er i rekka. :::::{answer} $$ n = 20 $$ ::::{solution} Summen av rekka er generelt gitt ved $$ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \dfrac{-8 + 2n - 10}{2} \cdot n = \dfrac{2n - 18}{2} \cdot n = (n - 9)n $$ Rekka skal være lik $220$ som gir likningen $$ n(n - 9) = 220 \liff n^2 - 9n - 220 = 0 $$ Vi bruker $abc$-formelen: $$ n = \dfrac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-220)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{9 \pm \sqrt{81 + 880}}{2} = \dfrac{9 \pm \sqrt{961}}{2} = \dfrac{9 \pm 31}{2} $$ Det vil bare være den positive løsningen som gir mening, og denne blir $$ n = \dfrac{9 + 31}{2} = \dfrac{40}{2} = 20 $$ Altså er det $20$ ledd i rekka. :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 I en aritmetisk følge $\{a_n\}$ er $$ a_5 - a_2 = 9 \qog a_2 = -4 $$ :::::::::::::{part} a Finn en eksplisitt formel for $a_n$. :::::{answer} $$ a_n = 3n - 10 $$ ::::{solution} Vi har at $$ a_5 - a_2 = 9 \and a_5 - a_2 = 3d $$ som betyr at differansen er $$ 3d = 9 \liff d = 3 $$ Startleddet i rekka blir da $$ a_1 = a_2 - d = -4 - 3 = -7 $$ Formelen for det $n$-te leddet er da $$ a_n = a_1 + d(n - 1) = -7 + 3(n - 1) = -7 + 3n - 3 = 3n - 10 $$ :::: ::::: ::::::::::::: Rekka $S$ er gitt ved $$ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{100} $$ :::::::::::::{part} b Bestem $S$. :::::{answer} $$ S = 14150 $$ ::::{solution} Det siste leddet i rekka blir $$ a_{100} = 3 \cdot 100 - 10 = 300 - 10 = 290 $$ Da blir summen av rekka lik: $$ S = \dfrac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = \dfrac{-7 + 290}{2} \cdot 100 = \dfrac{283}{2} \cdot 100 = 283 \cdot 50 = 14150 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 En rekke er gitt ved $$ S = \ln e^2 + \ln e^4 + \ln e^6 + \ldots + \ln e^{100} $$ :::::::::::::{part} a Finn $S$. :::::{answer} $$ S = 2550 $$ ::::{solution} Vi skriver om uttrykket ved å bruke sammenhengen mellom $e^x$ og $\ln x$: $$ \begin{align*} S &= \ln e^2 + \ln e^4 + \ln e^6 + \ldots + \ln e^{100} \\ \\ &= 2 + 4 + 6 + \ldots + 100 \end{align*} $$ Altså er dette en aritmetisk rekke med startledd $a_1 = 2$ og differanse $d = 2$. Det siste leddet i rekka er $a_n = 100$ som betyr at vi summerer opp de $50$ første partallene. Da får vi $$ S = \dfrac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \dfrac{2 + 100}{2} \cdot 50 = 51 \cdot 50 = 2550 $$ :::: ::::: ::::::::::::: En annen rekke er gitt ved $$ R = \ln 2 + \ln 4 + \ln 8 + \ldots + \ln 1024 $$ :::::::::::::{part} b Finn $R$. :::::{answer} $$ R = 55 \ln 2 $$ ::::{solution} Vi starter med å uttrykke tallene som potenser av $2$ og bruker logaritmeregler for å skrive uttrykket rekka enklere: $$ \begin{align*} R &= \ln 2 + \ln 4 + \ln 8 + \ldots + \ln 1024 \\ \\ &= \ln 2 + \ln 2^2 + \ln 2^3 + \ldots + \ln 2^{10} \\ \\ &= \ln 2 + 2\cdot \ln 2 + 3 \cdot \ln 2 + \ldots + 10\cdot \ln 2 \\ \\ &= (1 + 2 + 3 + \ldots + 10)\cdot \ln 2 \\ \\ &= \dfrac{(10 + 1)}{2} \cdot 10 \cdot \ln 2 \\ \\ &= 55 \ln 2 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: Gitt uttrykket: $$ L = \log_2 \left(2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 8192\right) $$ :::::::::::::{part} c Bestem $L$. :::::{answer} $$ L = 91 $$ ::::{solution} Vi har at $$ \begin{align*} R &= \log_2 \left(2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 8192\right) \\ \\ &= \log_2 2 + \log_2 4 + \log_2 8 + \ldots + \log_2 8192 \\ \\ &= \log_2 2 + \log_2 2^2 + \log_2 2^3 + \ldots + \log_2 2^{13} \\ \\ &= 1 + 2 + 3 + \ldots + 13 \\ \\ &= \dfrac{(13 + 1)}{2} \cdot 13 = 91 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 14 I en aritmetisk følge $\{a_n\}$ er $a_3 = 8$. :::::::::::::{part} a Finn summen $$ a_1 + a_3 + a_5 $$ :::::{answer} $$ a_1 + a_3 + a_5 = 24 $$ ::::{solution} Leddet $a_3$ ligger midt mellom $a_1$ og $a_5$, så dermed er $$ \dfrac{a_1 + a_5}{2} = a_3 \liff a_1 + a_5 = 2a_3 $$ Dermed blir summen $$ \begin{align*} a_1 + a_2 + a_3 &= (a_1 + a_5) + a_3 \\ \\ &= 2a_3 + a_3 \\ \\ &= 3a_3 \\ \\ &= 3 \cdot 8 \\ \\ &= 24 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Finn summen $$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 $$ :::::{answer} $$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 40 $$ ::::{solution} Vi har at * gjennomnittet av $a_1$ og $a_5$ er lik $a_3$. * gjennomsnittet av $a_2$ og $a_4$ er lik $a_3$. Da får vi at $$ a_1 + a_5 = 2a_3 \and a_2 + a_4 = 2a_3 $$ Dermed blir summen $$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 5a_3 = 5 \cdot 8 = 40 $$ :::: ::::: ::::::::::::: I en annen aritmetisk følge $\{b_n\}$ er $b_{5} = 20$ :::::::::::::{part} c Finn $$ b_1 + b_2 + \ldots + b_9 $$ :::::{answer} $$ b_1 + b_2 + \ldots + b_9 = 180 $$ ::::{solution} Vi har at * gjennomnittet av $b_1$ og $b_9$ er lik $b_5$. * gjennomnittet av $b_2$ og $b_8$ er lik $b_5$. * gjennomnittet av $b_3$ og $b_7$ er lik $b_5$. * gjennomnittet av $b_4$ og $b_6$ er lik $b_5$. Alle disse gir et bidrag $2b_5$ til summen, som betyr at $$ \begin{align*} b_1 + b_2 + \ldots + b_9 &= (b_1 + b_9) + (b_2 + b_8) + (b_3 + b_7) + (b_4 + b_6) + b_5 \\ \\ &= 2b_5 + 2b_5 + 2b_5 + 2b_5 + b_5 \\ \\ &= 9b_5 \\ \\ &= 9 \cdot 20 \\ \\ &= 180 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::::