# Aritmetiske følger og rekker :::{goals} Læringsmål * utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker ::: En **aritmetisk følge** $\{a_n\}$ er en følge der differansen mellom to naboledd alltid er lik en fast konstant $d$. En **aritmetisk rekke** er summen $\sum a_n$ av leddene i en aritmetisk følge. Vi starter med et eksempel: :::::::::::::::{example} Eksempel 1 En aritmetisk rekke er gitt ved $$ S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100 $$ Finn summen av rekka. ::::{solution} --- open: --- Hvis vi skriver opp rekka to ganger over hverandre, men i motsatt rekkefølge av hverandre, får vi: $$ \begin{align*} S &= 1 + 2 + 3 + \ldots + 98 + 99 + 100 \\ \\ S &= 100 + 99 + 98 + \ldots + 3 + 2 + 1 \end{align*} $$ Hvis vi legger sammen leddene som står ovenfor hverandre, så får vi $$ 2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \ldots + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) $$ som vi kan forenkle til $$ 2S = \underbrace{101 + 101 + 101 + \ldots + 101 + 101 + 101}_{100 \text{ ledd}} $$ Så derfor er $$ 2S = 101 \cdot 100 $$ som blir $$ S = \dfrac{101 \cdot 100}{2} = 5050 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1 En aritmetisk rekke er gitt ved $$ S = 2 + 4 + 6 + \ldots + 96 + 98 + 100 $$ Finn summen av rekka. :::::{answer} $$ S = 2550 $$ ::::{solution} Vi bruker samme strategi som i eksempel 1. Vi skriver opp rekka to ganger over hverandre, men i motsatt rekkefølge: $$ \begin{align*} S &= 2 + 4 + 6 + \ldots + 96 + 98 + 100 \\ \\ S &= 100 + 98 + 96 + \ldots + 6 + 4 + 2 \end{align*} $$ Så legger vi sammen leddene som står ovenfor hverandre: $$ 2S = (2 + 100) + (4 + 98) + (6 + 96) + \ldots + (96 + 6) + (98 + 4) + (100 + 2) $$ som vi kan forenkle til $$ 2S = \underbrace{102 + 102 + 102 + \ldots + 102 + 102 + 102}_{50 \text{ ledd}} $$ Dermed er $$ 2S = 102 \cdot 50 $$ som gir $$ S = \dfrac{102 \cdot 50}{2} = 2550 $$ :::: ::::: ::::::::::::::: La oss definere mer presist: :::::::::::::::{summary} Eksplisitt formel for aritmetiske følger En aritmetisk følge $\{a_n\}$ er en følge der det er en fast differanse $d$ mellom alle naboledd. Det $n$-te leddet i følgen er da gitt ved $$ a_n = a_1 + d\cdot (n - 1) \qfor n = 1, 2, 3, \ldots $$ ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 2 En aritmetisk følge $\{a_n\}$ er gitt ved $$ 3, 7, 11, 15, 19, \ldots $$ Finn en eksplisitt formel for $a_n$. ::::{solution} --- open: --- Vi ser at startleddet er $a_1 = 3$. Differansen mellom to naboledd blir: $$ d = 7 - 3 = 4 $$ Vi ser også at dette er differansen mellom alle de andre naboleddene. Dermed kan vi skrive opp en formel for følgen som: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1 $$ :::: ::::::::::::::: :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2 En aritmetisk følge $\{a_n\}$ er gitt ved $$ 5, 9, 13, 17, 21, \ldots $$ Finn en eksplisitt formel for $a_n$. :::::{answer} $$ a_n = 4n + 1 $$ ::::{solution} Startleddet er $a_1 = 5$. Differansen mellom to naboledd blir: $$ d = 9 - 5 = 4 $$ Dermed kan vi skrive opp en formel for følgen som: $$ a_n = a_1 + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \cdot 4 = 5 + 4n - 4 = 4n + 1 $$ :::: ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Rekursiv formel for en aritmetisk følge For en aritmetisk følge $\{a_n\}$ med en fast differanse $d$ mellom alle naboledd, er en rekursiv formel for leddene i følgen gitt ved $$ a_{n + 1} - a_n = d \qfor n = 1, 2, 3, \ldots $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 3 En aritmetisk følge $\{a_n\}$ er gitt ved $$ -3, 0, 3, 6, 9, \ldots $$ Finn en rekursiv formel for leddene i følgen. ::::{solution} --- open: --- Differansen i følgen er $d = 3$. Det første leddet er $a_1 = -3$. En rekursiv formel for leddene i følgen er derfor $$ a_{n + 1} - a_n = 3 \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \qder a_1 = -3 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Summen av en aritmetisk rekke Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er $$ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$ Vi kan tolke dette som gjennomsnittet av første og siste ledd, ganget med hvor mange ledd det er i rekka. :::::{proof} Vis forklaring Vi starter med strategien vi så på i eksempel 1 og underveisoppgave 1. Vi har at: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n - 1} + a_n $$ der $$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$ Da kan vi tenke oss at vi lager en annen aritmetisk følge $\{b_n\}$ som er $\{a_n\}$ i motsatt rekkefølge slik at $\{b_n\}$ er lik $$ a_n, a_{n - 1}, \ldots, a_2, a_1 $$ Hvis vi da lager oss en følge $\{c_n\}$ som er summen av de to følgende, så får vi $$ a_1 + a_n, a_2 + a_{n - 1}, \ldots, a_{n - 1} + a_n, a_n + a_1 $$ Akkurat som i eksempel 1 og underveisoppgave 1, vil alle leddene i følgen bli lik $a_1 + a_n$. Vi kan for eksempel se at dette er tilfelle her: $$ a_2 + a_{n - 1} = a_1 + \underbrace{d + a_{n - 1}}_{=a_n} = a_1 + a_n $$ Så skriver vi opp rekka to ganger, men i motsatt rekkefølge av hverandre: $$ \begin{align*} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_{n - 1} + a_n \\ \\ S_n &= a_n + a_{n - 1} + \ldots + a_2 + a_1 \end{align*} $$ Så legger vi de sammen og bruker at summen av alle ledd nå blir lik summen av første og siste ledd: $$ 2S_n = \underbrace{(a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \ldots + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n)}_{n \text{ ledd}} $$ Da får vi $$ 2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n $$ som gir $$ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$ ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 4 En aritmetisk rekke $S$ er gitt ved $$ S = 1 + 5 + 9 + 14 + 19 + \ldots + 77 $$ Finn summen av rekka. ::::{solution} --- open: --- Summen av rekka vil være $$ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$ Vi må derfor første finne en formel for det $n$-te leddet og deretter hvor mange ledd det er i rekka, før vi kan finne summen. Vi har at differansen er $d = 4$ og første ledd er $a_1 = 1$. Dermed er $$ a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)\cdot 4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3 $$ Vi vet at siste ledd er gitt ved $a_n = 77$, så vi setter opp en likning og løser for $n$: $$ a_n = 77 \liff 4n - 3 = 77 $$ som gir $$ 4n = 80 \liff n = 20 $$ Ergo har vi at summen av rekka er lik: $$ S_{20} = \dfrac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{1 + 77}{2} \cdot 20 = 78\cdot 10 = 780 $$ :::: ::::::::::::::: --- Gjennomsnittet $\bar{x}$ av to tall $a$ og $b$ ligger alltid midt mellom $a$ og $b$. Dette er en egenskap som vil være nyttig i noen sammenhenger når vi jobber med aritmetiske følger. :::::::::::::::{summary} Aritmetiske gjennomsnitt :::{plot} figsize: (5, 1.5) width: 100% align: right ticks: off vector: (0, 0), (10, 0), black text: 10, 0, "$a_n$", bottom-right point: (1, 0) text: 1,0, "$a_1$", bottom-center point: (3, 0) text: 3, 0, "$a_2$", bottom-center point: (5, 0) text: 5, 0, "$a_3$", bottom-center point: (7, 0) text: 7, 0, "$a_4$", bottom-center point: (9, 0) text: 9, 0, "$a_5$", bottom-center axis: off xmin: 0 xmax: 11 ::: For en aritmetisk følge $\{a_n\}$ så vil ethvert ledd $a_n$ være lik gjennomsnittet av to ledd $a_{n + k}$ og $a_{n - k}$ som ligger like mange ledd $k$ fra $a_n$. Det vil si: $$ a_n = \dfrac{a_{n + k} + a_{n - k}}{2} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 4 ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} La $\{a_n\}$ være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig? ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ a_8 = \dfrac{a_6 + a_{10}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ a_4 = \dfrac{a_1 + a_6}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ a_5 = \dfrac{a_4 + a_7}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ a_6 = \dfrac{a_4 + a_7}{2} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} La $\{b_n\}$ være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig? ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ b_4 = \dfrac{b_2 + b_6}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ b_3 = \dfrac{b_1 + b_4}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ b_{21} = \dfrac{b_{19} + b_{24}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ b_{15} = \dfrac{b_{13} + b_{18}}{2} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} La $\{c_n\}$ være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig? ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ c_{17} = \dfrac{c_{11} + c_{23}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ c_{13} = \dfrac{c_{7} + c_{20}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ c_{7} = \dfrac{c_{5} + c_{10}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ c_{30} = \dfrac{c_{27} + c_{32}}{2} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} La $\{d_n\}$ være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig? ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ d_{11} = \dfrac{d_{9} + d_{13}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d_{7} = \dfrac{d_{5} + d_{10}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d_{15} = \dfrac{d_{11} + d_{18}}{2} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d_{20} = \dfrac{d_{17} + d_{24}}{2} $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 5 I en aritmetisk følge $\{a_n\}$ er $$ a_1 + a_3 + a_5 = 30 $$ Finn $a_3$. ::::{solution} --- open: --- Vi har at gjennomsnittet av $a_1$ og $a_5$ må være lik $a_3$ siden leddavstanden er den samme fra $a_3$ til $a_5$ som fra $a_3$ til $a_1$, nemlig $k = 2$. Det betyr at $$ a_3 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \liff 2a_3 = a_1 + a_5 $$ Dermed kan vi skrive om likningen som $$ a_3 + (a_1 + a_5) = 30 \liff a_3 + 2a_3 = 30 $$ altså er $$ 3a_3 = 30 \liff a_3 = 10 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 5 I en aritmetisk følge $\{a_n\}$ er $$ a_2 + a_4 + a_6 = 36 $$ Finn $a_4$. :::::{answer} $$ a_4 = 12 $$ ::::{solution} Vi har at $$ a_4 = \dfrac{a_2 + a_6}{2} \liff a_2 + a_6 = 2a_4 $$ Dermed får vi at $$ a_4 + (a_2 + a_6) = 36 $$ $$ a_4 + 2a_4 = 36 $$ $$ 3a_4 = 36 \liff a_4 = \dfrac{36}{3} = 12 $$ :::: ::::: :::::::::::::::