# Anvendelser av integrasjon :::{goals} Læringsmål * Kunne bestemme volumet til omdreiningslegemer som er dreid om $x$-aksen eller $y$-aksen med integrasjon * Kunne bestemme arealet avgrenset av to funksjonsgrafer. * Kunne bestemme lengden av en kurve med integrasjon * Kunne bestemme gjennomsnittsverdien til en funksjon på et intervall med integrasjon ::: ## Areal avgrenset av funksjonsgrafer :::::::::::::::{summary} Areal avgrenset av to funksjonsgrafer :::{plot} width: 100% align: right ticks: off xmin: 0 xmax: 5 ymin: -4 ymax: 4 function: (x-1)**2 - 2*(x - 1) - 1, blue, f function: (x - 1) + sin(pi * (x - 1)) - 1, red, g fill-between: g(x), f(x), (1, 4), purple, 0.2, where=above fontsize: 32 let: a = 1 let: b = 4 text: a, 0, "$a$", top-center text: b, 0, "$b$", bottom-center vline: a, 0, f(a), dashed, gray vline: b, 0, f(b), dashed, gray ::: Dersom funksjonsgrafene til to funksjoner $f$ og $g$ skjærer hverandre i $x = a$ og $x = b$, så er arealet $A$ av området mellom grafene gitt ved $$ A = \int\limits_a^b \abs{f(x) - g(x)} \, \d x $$ ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 1 :::{plot} width: 100% align: right function: x**2, f function: sqrt(x), g xmin: -0.5 xmax: 1.5 ymin: -0.5 ymax: 2 ticks: off fill-between: g(x), f(x), (0, 1), purple, where=above fontsize: 26 ::: Til høyre vises grafene til funksjonene $$ f(x) = x^2 \qog g(x) = \sqrt{x} $$ Finn arealet avgrenset av de to grafene. ::::{solution} --- open: --- Vi starter med å finne skjæringspunktene mellom de to funksjonsgrafene slik at vi vet hva integrasjonsgrensene skal være: $$ f(x) = g(x) \liff x^2 = \sqrt{x} \limplies x^4 = x $$ $$ x^4 - x = 0 \limplies x(x^3 - 1) = 0 $$ som gir $$ x = 0 \or x^3 = 1 \limplies x = 0 \or x = 1. $$ På intervallet $[0, 1]$ vil $g(x) > f(x)$. Da blir arealet av området avgrenset av de to grafene gitt ved $$ A = \int\limits_0^1 \abs{f(x) - g(x)} \d x = \int\limits_0^1 (g(x) - f(x)) \d x $$ Vi løser det ubestemte integralet først: $$ \begin{align*} \int (g(x) - f(x)) \d x &= \int (\sqrt{x} - x^2) \d x \\ \\ &= \int \sqrt{x} \d x - \int x^2 \d x \\ \\ &= \int x^{1/2} \d x - \dfrac{1}{3}x^3 \\ \\ &= \dfrac{1}{3/2}x^{3/2} - \dfrac{1}{3}x^3 + C \\ \\ &= \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{1}{3}x^3 + C. \end{align*} $$ Vi velger den enkleste antideriverte ved å sette $C = 0$. Den er da gitt ved $$ F(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{1}{3}x^3 $$ Arealet blir da $$ \begin{align*} A &= F(1) - F(0) \\ \\ &= \left(\dfrac{2}{3} \cdot 1^{3/2} - \dfrac{1}{3} \cdot 1^3\right) - \left(\dfrac{2}{3} \cdot 0^{3/2} - \dfrac{1}{3} \cdot 0^3\right) \\ \\ &= \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \\ \\ &= \dfrac{1}{3} \end{align*} $$ :::: ::::::::::::::: ## Volum av omdreiningslegemer :::::::::::::::{summary} Volum av omdreiningslegemer om $x$-aksen (skivemetoden) :::{plot} width: 100% align: right function: (2 - cos(x)) / sin(x), (0.5, 2.5), blue, f curve: t, -(2 - cos(t)) / sin(t), (0.5, 2.5), blue, dashed ticks: off xmin: 0 xmax: 3 ymin: -6 ymax: 6 fontsize: 32 let: a = 0.5 let: b = 2.5 def: g(x) = (2 - cos(x)) / sin(x) text: a, 0, "$a$", bottom-center text: b, 0, "$b$", bottom-center vline: a, 0, f(a), dashed, gray vline: b, 0, f(b), dashed, gray ellipse: (b, 0), 0.1, f(b), solid, red curve: a + 0.1 * cos(t), g(a) * sin(t), (-pi/2, pi/2), red, dashdot curve: a + 0.1 * cos(t), g(a) * sin(t), (pi/2, 3 * pi/2), red, solid let: m = 0.5 * (a + b) curve: m + 0.1 * cos(t), g(m) * sin(t), (-pi/2, pi/2), gray, dashdot curve: m + 0.1 * cos(t), g(m) * sin(t), (pi/2, 3 * pi/2), gray, solid text: m, nocache: ::: Volumet $V$ til omdreiningslegemet vi får om vi dreier grafen til $f$ $360\degree$ om $x$-aksen på intervallet $[a, b]$ er gitt ved $$ \boxed{V = \pi \int\limits_a^b f(x)^2 \, \d x} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Grafen til funksjonen $f(x) = 2x + 1$ dreies om 360 grader om $x$-aksen på intervallet $[1, 3]$. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} width: 100% function: 2*x + 1, (1, 3), f, blue xmin: 0 ymin: 0 xmax: 4 ymax: 8 ::: :::{plot3d} layout: symmetric xrange: (0, 8) yrange: (-2.5, 8) zrange: (-2.5, 8) ticks: false xlabel: $x$ ylabel: $y$ zlabel: $z$ solid-of-revolution: x + 1, (1, 5), blue, alpha=0.35, disks=6 ::: :::: Finn volumet av omdreiningslegemet. ::::{solution} --- open: --- Volumet av omdreiningslegemet er gitt ved $$ V = \pi \int\limits_1^3 f(x)^2 \d x = \pi \int\limits_1^3 (2x + 1)^2 \d x $$ Vi kan bruke substitusjon for å løse integralet enklest mulig: $$ u = 2x + 1 \limplies \d u = 2\d x \liff \d x = \dfrac{\d u}{2} $$ De nye integrasjonsgrensene blir da $$ u(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \qog u(3) = 2\cdot 3 + 1 = 7 $$ Dermed blir volumet $$ \begin{align*} V &= \pi \int\limits_3^7 u^2 \dfrac{\d u}{2} \\ \\ &= \dfrac{\pi}{2} \int\limits_3^7 u^2 \d u \\ \\ &= \dfrac{\pi}{2} \left[\dfrac{1}{3}u^3\right]_3^7 \\ \\ &= \dfrac{\pi}{6} \left(7^3 - 3^3\right) \\ \\ &= \dfrac{\pi}{6} \left(343 - 27\right) \\ \\ &= \dfrac{\pi}{6} \cdot 316 \\ \\ &= \dfrac{158\pi}{3} \end{align*} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Volumet av omdreiningslegemer om $y$-aksen (sylindermetoden) Volumet til omdreiningslegemet vi får om vi dreier grafen til $f$ $360\degree$ om $y$-aksen på intervallet $[a, b]$ er gitt ved $$ \boxed{V = 2\pi \int\limits_a^b x \cdot f(x) \, \d x} $$ ::::::::::::::: --- ## Gjennomsnittsverdien til en funksjon :::::::::::::::{summary} Gjennomsnittet av en funksjon Gjennomsnittet til en funksjon $f$ på intervallet $[a, b]$ er gitt ved $$ \boxed{\bar{f} = \dfrac{1}{b - a} \int\limits_a^b f(x) \, \d x} $$ ::::::::::::::: --- ## Buelengde av en kurve :::::::::::::::{summary} Buelengde (lengden av en kurve) Buelengden $L$ av grafen til en funksjon $f$ på et intervall $[a, b]$ er gitt ved $$ \boxed{L = \int\limits_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} \, \d x} $$ ::::::::::::::: ## Overflatearealet til et omdreiningslegeme :::::::::::::::{summary} Overflatearealet til et omdreiningslegeme om $x$-aksen Overflatearealet $A$ til omdreiningslegemet vi får om vi dreier grafen til $f$ $360\degree$ om $x$-aksen på intervallet $[a, b]$ er gitt ved $$ \boxed{A = 2\pi \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \, \d x} $$ :::::::::::::::