# Delvis integrasjon :::{goals} Læringsmål * kunne regne ut ubestemte og bestemte integraler ved bruk av delvis integrasjon ::: Siden integrasjon handler om å finne antideriverte, er det naturlig å snu seg mot derivasjonsreglene for å utvikle teknikker for å løse integraler. Her skal vi ta utgangspunkt i produktregelen for derivasjon for å utvikle en teknikk for å løse integraler som kalles **delvis integrasjon**. :::::::::::::::{summary} Integrasjonsteknikk: Delvis integrasjon For to funksjoner $u$ og $v$ gjelder $$ \int u'(x) \cdot v(x) \, \d x = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \, \d x $$ Vi skriver dette ofte på en mer kompakt form som $$ \boxed{\int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v'} $$ ::::{proof} Produktregelen for derivasjon sier at $$ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' $$ Integrerer vi på hver side av likningen får vi $$ \int (u \cdot v)' \, \d x = \int u' \cdot v \, \d x + \int u \cdot v' \, \d x $$ På venstre side skal vi bare finne den antideriverte til $(u \cdot v)'$, og det er jo bare $u \cdot v + C$. Dermed får vi $$ u \cdot v + C = \int u' \cdot v \, \d x + \int u \cdot v' \, \d x $$ Dette kan vi skrive om til $$ \int u' \cdot v \, \d x = u \cdot v - \int u \cdot v' \, \d x + C $$ Vi kan "bake inn" integrasjonskonstanten i en av de andre ubestemte integralene siden de vil begge ha en integrasjonskonstant, og dermed får vi formelen for delvis integrasjon: $$ \int u' \cdot v \, \d x = u \cdot v - \int u \cdot v' \, \d x $$ :::: ::::::::::::::: --- Teknikken går ut på å omgjøre et "vanskelig" integral til et "enklere" integral vi kan antiderivere direkte: $$ \underbrace{\int u' \cdot v}_{\text{vanskelig integral}} = u\cdot v - \underbrace{\int u \cdot v'}_{\text{enkelt integral}} $$ Vi ser derfor på venstresiden av formelen som vårt integral, og så bruker vi formelen til å omgjøre det til et enklere integral på høyresiden. Vi står fritt til å velge hvilken av funksjonene som skal være $u'$ og hvilken som skal være $v$. :::::::::::::::{example} Eksempel 1 Finn integralet $$ \int x \cdot e^x \, \d x $$ ::::{solution} --- open: --- Her kan vi ikke umiddelbart se noen enkel antiderivert. Men siden integralet er et produkt av to funksjoner, kan vi prøve oss på delvis integrasjon $$ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' $$ Vi tenker oss at vårt integral er venstresiden av formelen. Vi står fritt til å velge hvilken av funksjonene som skal være $u'$ og hvilken som skal være $v$. Men det er ofte bare én av valgene som gir oss et enklere integral vi kan løse. La oss først prøve å velge at $u' = x$ og at $v = e^x$. Da får vi at $$ u' = x \limplies u = \dfrac{1}{2} x^2 $$ $$ v = e^x \limplies v' = e^x $$ Setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon får vi $$ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' $$ $$ \int x \cdot e^x \, \d x = \dfrac{1}{2} x^2 e^x - \int \dfrac{1}{2} x^2 e^x \, \d x $$ Dette ga oss bare et *enda* vanskeligere integral på høyre side, så dette var ikke et godt valg. La oss prøve det andre valget, nemlig at $u' = e^x$ og at $v = x$. Da får vi at $$ u' = e^x \limplies u = e^x $$ $$ v = x \limplies v' = 1 $$ Setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon får vi $$ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' $$ $$ \int x \cdot e^x \, \d x = e^x \cdot x - \int e^x \cdot 1 \, \d x $$ Nå fikk vi et enklere integral vi kan løse: $$ \begin{align*} \int x \cdot e^x \, \d x &= e^x \cdot x - \int e^x \, \d x \\ \\ &= e^x \cdot x - e^x + C \\ \\ &= e^x \cdot (x - 1) + C \end{align*} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1 Regn ut $$ \int x \ln x \d x $$ :::::{answer} $$ \int x \ln x \d x = \frac{1}{4}x^2(2\ln x - 1) + C $$ ::::{solution} Vi prøver delvis integrasjon med $$ u' = x \limplies u = \frac{1}{2}x^2 $$ $$ v = \ln x \limplies v' = \frac{1}{x} $$ Setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon får vi $$ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' $$ $$ \begin{align*} \int x \ln x \d x &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \d x \\ \\ &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x \d x \\ \\ &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 + C \\ \\ &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C \\ \\ &= \frac{1}{4}x^2(2\ln x - 1) + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Regn ut $$ \int\limits_1^e 2x \ln x \d x $$ ::::{solution} --- open: --- Vi finner det ubestemte integralet først: $$ \int 2x \ln x \d x $$ Vi bruker delvis integrasjon med $$ u' = 2x \limplies u = x^2 $$ $$ v = \ln x \limplies v' = \frac{1}{x} $$ Setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon får vi $$ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' $$ $$ \begin{align*} \int 2x \ln x \d x &= x^2 \ln x - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} \d x \\ \\ &= x^2 \ln x - \int x \d x \\ \\ &= x^2 \ln x - \frac{1}{2}x^2 + C \\ \\ &= \frac{1}{2}x^2(2\ln x - 1) + C \end{align*} $$ En antiderivert er derfor $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2(2\ln x - 1)$. Vi kan nå bruke dette til å regne ut det bestemte integralet: $$ F(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 (2\ln 1 - 1) = -\frac{1}{2} $$ $$ F(e) = \frac{1}{2} \cdot e^2 (2\ln e - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^2 (2 - 1) = \frac{1}{2}e^2 $$ Dermed er $$ \begin{align*} \int\limits_1^e 2x \ln x \d x &= F(e) - F(1) \\ \\ &= \frac{1}{2}e^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) \\ \\ &= \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} \\ \\ &= \frac{1}{2}(e^2 + 1) \end{align*} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2 Regn ut $$ \int\limits_1^{e} x^2 \ln x \d x $$ :::::{answer} $$ \int\limits_1^{e} x^2 \ln x \d x = \frac{1}{9}(2e^3 + 1) $$ ::::{solution} Vi finner det ubestemte integralet først: $$ \int x^2 \ln x \d x $$ Vi prøver delvis integrasjon med $$ u' = x^2 \limplies u = \frac{1}{3}x^3 $$ $$ v = \ln x \limplies v' = \frac{1}{x} $$ Så setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon: $$ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' $$ $$ \begin{align*} \int x^2 \ln x \d x &= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} \d x \\ \\ &= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \int \frac{1}{3}x^2 \d x \\ \\ &= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x^3 + C \\ \\ &= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \frac{1}{9}x^3 + C \\ \\ &= \frac{1}{9}x^3(3\ln x - 1) + C \end{align*} $$ Siden vi skal regne ut et bestemt integral, setter vi $C = 0$ for å få en så enkel antiderivert som mulig. Vi har da at $$ F(x) = \frac{1}{9}x^3(3\ln x - 1) $$ som gir $$ F(1) = \frac{1}{9} \cdot 1^3 (3\ln 1 - 1) = -\frac{1}{9} $$ $$ F(e) = \frac{1}{9} \cdot e^3 (3\ln e - 1) = \frac{1}{9} \cdot e^3 (3 - 1) = \frac{2}{9}e^3 $$ Dermed blir det bestemte integralet $$ \begin{align*} \int\limits_1^{e} x^2 \ln x \d x &= F(e) - F(1) \\ \\ &= \frac{2}{9}e^3 - \left(-\frac{1}{9}\right) \\ \\ &= \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9} \\ \\ &= \frac{1}{9}(2e^3 + 1) \end{align*} $$ :::: ::::: :::::::::::::::