# Oppgaver: Bestemte og ubestemte integraler



:::::::::::::::{exercise} Oppgave 1

Finn de ubestemte integralene.


:::::::::::::{part} a
$$
\int x^3 \d x
$$
:::::::::::::


:::::::::::::{part} b
$$
\int e^{-2x} \d x
$$
:::::::::::::


:::::::::::::{part} c
$$
\int \dfrac{2}{x} \d x
$$
:::::::::::::


:::::::::::::{part} d
$$
\int e^{3x} \d x
$$
:::::::::::::


:::::::::::::::


:::::::::::::::{exercise} Oppgave 2
Finn de ubestemte integralene.


:::::::::::::{part} a
$$
\int 2x^3 \d x
$$
:::::::::::::


:::::::::::::{part} b

$$
\int (x^2 + \pi) \d x
$$

:::::::::::::


:::::::::::::{part} c


$$
\int \left(e^{2x} - \dfrac{1}{x}\right) \d x
$$
:::::::::::::




:::::::::::::{part} d

$$
\int \left(\dfrac{1}{x^2} - e^{-2x}\right) \d x
$$
:::::::::::::

:::::::::::::::



:::::::::::::::{exercise} Oppgave 3

Regn ut de bestemte integralene.


:::::::::::::{part} a
$$
\int\limits_0^1 (2x + 1) \d x
$$
:::::::::::::


:::::::::::::{part} b

$$
\int\limits_1^e \dfrac{3}{x} \d x
$$
:::::::::::::



:::::::::::::{part} c
$$
\int\limits_0^1 \left(e^{-x} - 1\right) \d x
$$
:::::::::::::



:::::::::::::{part} d
$$
\int\limits_{-2}^{2} (x^3 - x) \d x
$$


:::::{answer}
$$
\int\limits_{-2}^{2} (x^3 - x) \d x = 0
$$
:::::
:::::::::::::


:::::::::::::::



---



:::::::::::::::{exercise} Oppgave 4

:::{plot}
width: 100%
align: right
function: x**3 - 4*x, f
xmin: -2.5
xmax: 2.5
ticks: off
ymin: -10
ymax: 10
fill-between: f(x), 0, (-2, 2), blue, where=above
fill-between: f(x), 0, (-2, 2), blue, where=below
fontsize: 28
:::



Til høyre vises grafen til funksjonen

$$
f(x) = x^3 - 4x
$$


Finn arealet av det fargelagte området.


:::::{answer}
Arealet er lik $8$.
:::::

:::::::::::::::





:::::::::::::::{exercise} Oppgave 5


Om en funksjon $f$ får du vite at

* $f'(x) = \dfrac{2}{x^2}$
* Grafen til $f$ går gjennom punktet $(1, 3)$.

:::::::::::::{part} a
Bestem $f(x)$.
:::::::::::::


Om en funksjon $g$ får du vite at

* $g'(x) = \dfrac{3}{x}$
* Grafen til $g$ går gjennom punktet $(e, 2)$.
* Funksjonen er definert for $x > 0$.


:::::::::::::{part} b
Bestem $g(x)$.
:::::::::::::


:::::::::::::::



---



:::::::::::::::{exercise} Oppgave 6
:::::::::::::{part} a
Regn ut integralet

$$
\int\limits_{0}^\pi \sin (x) \d x
$$

:::::::::::::

:::::::::::::::



---



:::::::::::::::{exercise} Oppgave 7

:::::::::::::{part} a
Finn integralet 

$$
\int \cos (2x) \d x
$$
:::::::::::::


:::::::::::::{part} b
Finn integralet

$$
\int \sin (3x) \d x
$$
:::::::::::::


:::::::::::::{part} c
Finn integralet

$$
\int \sin (x) \cos (x) \d x
$$


:::{hint} Hint
Du kan få bruk for identiteten

$$
\sin (2x) = 2 \sin (x) \cos (x)
$$
:::


:::::::::::::


:::::::::::::{part} d
Finn integralet

$$
\int \cos^2 x \d x
$$


:::{hint} Hint
Du kan få bruk for identiteten

$$
\cos^2 x - \sin^2 x = \cos (2x)
$$
:::
:::::::::::::

:::::::::::::::