# Oppgaver: Substitusjon :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 Finn integralene. :::::::::::::{part} a $$ \int xe^{-x^2} \d x $$ :::{hint} Sett $u = -x^2$. ::: :::::{answer} $$ \int xe^{-x^2} \d x = -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C $$ ::::{solution} Vi velger substitusjonen $$ u = -x^2 \limplies u' = -2x $$ Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon: $$ \begin{align*} \int xe^{-x^2} \d x &= \int x\cdot e^u \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int x\cdot e^u \cdot \dfrac{\d u}{-2x} \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \int e^u \cdot \d u \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} e^u + C \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ \int \dfrac{5}{3x + 4} \d x $$ :::{hint} Sett $u = 3x + 4$ ::: :::::{answer} $$ \int \dfrac{5}{3x + 4} \d x = \dfrac{5}{3} \ln \abs{3x + 4} + C $$ ::::{solution} Vi setter $$ u = 3x + 4 \limplies u' = 3 $$ Så bruker vi formelen for integrasjon med substitusjon: $$ \begin{align*} \int \dfrac{5}{3x + 4} \d x &= \int \dfrac{5}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{5}{u} \cdot \dfrac{\d u}{3} \\ \\ &= \dfrac{5}{3} \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \dfrac{5}{3} \ln \abs{u} + C \\ \\ &= \dfrac{5}{3} \ln \abs{3x + 4} + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ \int \dfrac{2x}{x^2 + 1} \d x $$ :::{hint} Sett $u = x^2 + 1$ ::: :::::{answer} $$ \int \dfrac{2x}{x^2 + 1} \d x = \ln \abs{x^2 + 1} + C $$ ::::{solution} Vi setter $$ u = x^2 + 1 \limplies u' = 2x $$ Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon: $$ \begin{align*} \int \dfrac{2x}{x^2 + 1} \d x &= \int \dfrac{u'}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \ln \abs{u} + C \\ \\ &= \ln \abs{x^2 + 1} + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d $$ \int \dfrac{e^x}{e^x - 1} \d x $$ :::{hint} Sett $u = e^x - 1$. ::: :::::{answer} $$ \int \dfrac{e^x}{e^x - 1} \d x = \ln \abs{e^x - 1} + C $$ ::::{solution} Vi setter $$ u = e^x - 1 \limplies u' = e^x $$ Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon: $$ \begin{align*} \int \dfrac{e^x}{e^x - 1} \d x &= \int \dfrac{u'}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \ln \abs{u} + C \\ \\ &= \ln \abs{e^x - 1} + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 Finn integralene. :::::::::::::{part} a $$ \int x \sqrt{1 - x^2} \d x $$ :::::{answer} $$ \int x \sqrt{1 - x^2} \d x = -\dfrac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C $$ ::::{solution} Vi velger oss $u$ gitt ved $$ u = 1 - x^2 \limplies u' = -2x $$ Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon: $$ \begin{align*} \int x \sqrt{1 - x^2} \d x &= \int x \sqrt{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int x \sqrt{u} \cdot \dfrac{\d u}{-2x} \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \int \sqrt{u} \d u \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \int u^{1/2} \d u \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3/2} u^{3/2} + C \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} u^{3/2} + C \\ \\ &= -\dfrac{1}{3} u^{3/2} + C \\ \\ &= -\dfrac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ \int \dfrac{8x^3}{x^4 + 1} \d x $$ :::::{answer} $$ \int \dfrac{8x^3}{x^4 + 1} \d x = 2 \ln \abs{x^4 + 1} + C $$ ::::{solution} Vi setter $$ u = x^4 + 1 \limplies u' = 4x^3 $$ Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon: $$ \begin{align*} \int \dfrac{8x^3}{x^4 + 1} \d x &= \int \dfrac{8x^3}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{8x^3}{u} \cdot \dfrac{\d u}{4x^3} \\ \\ &= \int \dfrac{2}{u} \d u \\ \\ &= 2 \ln \abs{u} + C \\ \\ &= 2 \ln \abs{x^4 + 1} + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ \int \dfrac{\ln x}{x} \d x $$ :::::{answer} $$ \int \dfrac{\ln x}{x} \d x = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2 + C $$ ::::{solution} Vi setter $$ u = \ln x \limplies u' = \dfrac{1}{x} $$ Så bruker vi formelen for integrasjon med substitusjon: $$ \begin{align*} \int \dfrac{\ln x}{x} \d x &= \int \dfrac{u}{x} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{u}{x} \cdot \dfrac{\d u}{1/x} \\ \\ &= \int u \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{2} u^2 + C \\ \\ &= \dfrac{1}{2} (\ln x)^2 + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d $$ \int \sqrt{x + 5} \d x $$ :::::{answer} $$ \int \sqrt{x + 5} \d x = \dfrac{2}{3} (x + 5)^{3/2} + C $$ ::::{solution} Vi setter $$ u = x + 5 \limplies u' = 1 $$ Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon: $$ \begin{align*} \int \sqrt{x + 5} \d x &= \int \sqrt{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \sqrt{u} \cdot \dfrac{\d u}{1} \\ \\ &= \int u^{1/2} \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{3/2} u^{3/2} + C \\ \\ &= \dfrac{2}{3} u^{3/2} + C \\ \\ &= \dfrac{2}{3} (x + 5)^{3/2} + C \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 Regn ut. :::::::::::::{part} a $$ \int\limits_0^2 (x + 3)^3 \d x $$ :::::{answer} $$ \int\limits_0^2 (x + 3)^3 \d x = 136 $$ ::::{solution} Vi velger substitusjonen $$ u = x + 3 \limplies u' = 1 $$ De nye integrasjonsgrensene blir da $$ \begin{align*} x &= 0 \limplies u(0) = 0 + 3 = 3 \\ \\ x &= 2 \limplies u(2) = 2 + 3 = 5 \end{align*} $$ Vi setter inn i formelen for integral med substitusjon som gir: $$ \begin{align*} \int\limits_0^2 (x + 3)^3 \d x &= \int\limits_3^5 u^3 \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int\limits_3^5 u^3 \cdot \dfrac{\d u}{1} \\ \\ &= \int\limits_3^5 u^3 \d u \\ \\ &= \left[\dfrac{1}{4}u^4\right]_3^5 \\ \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \left(5^4 - 3^4\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \left(625 - 81\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot 544 \\ \\ &= 136 \end{align*} $$ der vi har brukt at vi kan faktorisere $544 = 4 \cdot 136$. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ \int\limits_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}} \d x $$ :::::{answer} $$ \int\limits_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}} \d x = 2 $$ ::::{solution} Vi velger substitusjonen $$ u = 2x + 1 \limplies u' = 2 $$ De nye grensene blir da $$ \begin{align*} x &= 0 \limplies u(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \\ \\ x &= 4 \limplies u(4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \end{align*} $$ Altså får vi $$ \begin{align*} \int\limits_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}} \d x &= \int\limits_1^9 \dfrac{1}{\sqrt{u}} \cdot \dfrac{\d u}{2} \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\int\limits_1^9 u^{-\frac{1}{2}} \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{1/2}u^{1/2}\right]_1^9 \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left[\sqrt{u}\right]_1^9 \\ \\ &= \sqrt{9} - \sqrt{1} \\ \\ &= 3 - 1 \\ \\ &= 2 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ \int\limits_4^9 \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \d x $$ :::::{answer} $$ \int\limits_4^9 \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \d x = 9 + 4 \ln 2 $$ ::::{solution} Vi setter $$ u = \sqrt{x} \limplies u' = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2u} $$ De nye integrasjonsgrensene blir $$ \begin{align*} x &= 4 \limplies u(4) = \sqrt{4} = 2 \\ \\ x &= 9 \limplies u(9) = \sqrt{9} = 3 \end{align*} $$ Dermed får vi at $$ \begin{align*} \int\limits_4^9 \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \d x &= \int\limits_2^3 \dfrac{u + 1}{u - 1} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int\limits_2^3 \dfrac{u + 1}{u - 1} \cdot \dfrac{\d u}{1/(2u)} \\ \\ &= \int\limits_2^3 \dfrac{u + 1}{u - 1} \cdot 2u \d u \\ \\ &= \int\limits_2^3 \dfrac{2u^2 + 2u}{u - 1} \d u \end{align*} $$ Herfra kan vi utføre polynomdivisjon for å gjøre integranden enklere: :::{polydiv} --- p: 2u^2 + 2u q: u - 1 width: 60% vars: u --- ::: Altså får vi at $$ \begin{align*} \int\limits_2^3 \dfrac{2u^2 + 2u}{u - 1} \d u &= \int\limits_2^3 \left(2u + 4 + \dfrac{4}{u - 1}\right) \d u \\ \\ &= \int\limits_2^3 2u \d u + \int\limits_2^3 4 \d u + \int\limits_2^3 \dfrac{4}{u - 1} \d u \\ \\ &= \left[u^2\right]_2^3 + \left[4u\right]_2^3 + \left[4 \ln \abs{u - 1}\right]_2^3 \\ \\ &= (9 - 4) + (12 - 8) + (4 \ln 2 - 4 \ln 1) \\ \\ &= 5 + 4 + 4 \ln 2 \\ \\ &= 9 + 4 \ln 2 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d $$ \int\limits_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x} \d x $$ :::::{answer} $$ \int\limits_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x} \d x = \ln 2 $$ ::::{solution} Vi prøver å sette $u = \ln x$ siden den deriverte da vil muligens kansellere faktoren $x$ i nevneren. Da får vi $$ u = \ln x \limplies u' = \dfrac{1}{x} $$ Da vil det ubestemte integralet bli $$ \begin{align*} \int \dfrac{1}{x \ln x} \d x &= \int \dfrac{1}{x \cdot u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{x \cdot u} \cdot \dfrac{\d u}{1/x} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{x\cdot u} x \cdot \d u \\ \\ &= \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \ln \abs{u} + C \\ \end{align*} $$ De nye integrasjonsgrensene blir $$ \begin{align*} x &= e \limplies u(e) = \ln e = 1 \\ \\ x &= e^2 \limplies u(e^2) = \ln e^2 = 2 \end{align*} $$ Altså får vi at $$ \int\limits_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x} \d x = \int\limits_1^2 \dfrac{1}{u} \d u = \left[\ln \abs{u}\right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 > Noen ganger må man bruke flere integrasjonsteknikker sammen for å komme helt i mål. Finn integralene. :::::::::::::{part} a $$ \int e^{\sqrt{x}} \d x $$ :::{hint} Sett $u = \sqrt{x}$. Da får du et integral du kan løse med delvis integrasjon. ::: :::::{answer} $$ \int e^{\sqrt{x}} \d x = 2e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} - 1\right) + C $$ ::::{solution} Vi setter $u = \sqrt{x}$ som gir $$ u = \sqrt{x} \limplies u' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2u} $$ Så etter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon får vi $$ \begin{align*} \int e^{\sqrt{x}} \d x &= \int e^u \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int e^u \cdot \dfrac{\d u}{1/(2u)} \\ \\ &= \int 2u e^u \d u \end{align*} $$ Dette integralet kan vi løse med delvis integrasjon (vi må passe på å bruke en annen variabel enn $u$ her siden den allerede er brukt): $$ \int z' v = z v - \int z v' $$ Vi setter $$ \begin{align*} z' &= e^u \limplies z = e^u \\ \\ v &= 2u \limplies v' = 2 \end{align*} $$ Så setter vi inn i formelen for delvis integrasjon som gir $$ \begin{align*} \int 2u e^u \d u &= e^u \cdot 2u - \int e^u \cdot 2 \d u \\ \\ &= 2u e^u - 2 \int e^u \d u \\ \\ &= 2u e^u - 2 e^u + C \\ \\ &= 2 e^u (u - 1) + C \end{align*} $$ Til slutt setter vi tilbake kjernen $u$ som gir $$ \int e^{\sqrt{x}} \d x = 2e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} - 1\right) + C $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ \int \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1} \d x $$ ::::{hint} Etter du har gjort variabelskifte $u = \sqrt{x}$ kan du skrive om integranden til en brøk av polynomer med $u$ som variabel. Deretter kan du utføre polynomdivisjon for å gjøre integranden enklere. :::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 Om en funksjon $f$ får du vite at * $f'(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 1}$ * Funksjonen går gjennom punktet $(2, 4)$. Bestem $f(x)$. :::::::::::::::