# Linjer :::{goals} * utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet ::: En linje er definert på én av to måter: 1. Ved to punkter $A$ og $B$ som ligger på linjen. 2. Ved ett punkt $A$ og en retningsvektor $\vec{v}$ som er parallell med linjen. ## Parameterframstillinger :::::::::::::::{summary} Retningsvektorer :::{plot} nocache: figsize: (4, 3) width: 100% align: right let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Bx = 1 let: By = 1 let: vx = Bx - Ax let: vy = By - Ay line: (Ax, Ay), (Bx, By), blue, solid vector: (Ax, Ay), (Bx, By), red text: 0.5 * (Ax + Bx), 0.5 * (Ay + By), "$\vec{v}$", top-center text: Ax, Ay, "$A$", bottom-right text: Bx, By, "$B$", bottom-right axis: off xmin: -1 xmax: 2 ymin: -1 ymax: 2 fontsize: 24 point: (Ax, Ay) point: (Bx, By) ::: En linje som går gjennom punktene $A$ og $B$ har en retningsvektor $\vec{v}$ som er gitt ved $$ \vec{v} = \lvec{AB} $$ Alle vektorer som er parallelle med $\lvec{AB}$ er også en retningsvektor for linja. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(-1, 2, 5)$ og $B(3, 0, 1)$. Finn en retningsvektor $\vec{v}$ for linja. ::::{solution} --- open: --- En retningsvektor $\vec{v}$ er gitt ved vektoren fra $A$ til $B$: $$ \vec{v} = \lvec{AB} = [3 - (-1), 0 - 2, 1 - 5] = [4, -2, -4] $$ Merk at siden alle vektorer som er parallelle med $\lvec{AB}$ også er en retningsvektor for linja, så kan vi også bruke vektoren $[2, -1, -2]$ som retningsvektor for linja siden $[4, -2, -4] = 2 \cdot [2, -1, -2]$. :::: ::::::::::::::: :::::::::::::::{summary} Parameterframstilling for linjer :::{plot3d-2} nocache: align: right fontsize: 24 width: 100% let: Ax = 3 let: Ay = 0 let: Az = 4 let: vx = 2 let: vy = 0 let: vz = 0.5 let: t = 1.5 line: point=(Ax, Ay, Az), direction=(vx, vy, vz), color=blue, lw=2 point: (Ax, Ay, Az), black vector: (Ax, Ay, Az), (Ax + t*vx, Ay + t*vy, Az + t*vz), red text: at=(Ax, Ay, Az), value="$A$", ha=right, va=bottom ticks: off xrange: (-1, 7) yrange: (-1, 5) zrange: (-1, 5) vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\overrightarrow{OA}$", ha=right, va=bottom vector: (0, 0, 0), (Ax + t*vx, Ay + t*vy, Az + t*vz), blue text: at=(0.5 * (2*Ax + t*vx), 0.5 * (2*Ay + t*vy), 0.5 * (2*Az + t*vz)), value="$\vec{v} \cdot t$", ha=center, va=bottom text: at=(0.5 * (Ax + t*vx), 0.5 * (Ay + t*vy), 0.5 * (Az + t*vz)), value="$\vec{r}(t)$", ha=left, va=top text: at=(Ax + t*vx, Ay + t*vy, Az + t*vz), value="$P$", ha=left, va=bottom point: (Ax + t*vx, Ay + t*vy, Az + t*vz), black elev: 20 azim: -70 ylabel: none ::: En parameterframstilling for en linje angir alle punktene som ligger på linja. Posisjonsvektoren $\vec{r}(t)$ til punktene $P(t)$ på en linje $\ell$ med startpunkt $A$ og retningsvektor $\vec{v}$ kan skrives som $$ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \qder t \in \real $$ På koordinatform, er posisjonsvektoren gitt ved $$ \vec{r}(t) = \mqty[A_x + v_x \cdot t, A_y + v_y \cdot t, A_z + v_z \cdot t] $$ Noen ganger skrives parameterframstillingen for linja som $$ \ell: \begin{cases} x = A_x + v_x \cdot t \\ y = A_y + v_y \cdot t \\ z = A_z + v_z \cdot t \end{cases} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Linja $\ell$ går gjennom punktene $A(5, 2, 1)$ og $B(1, 4, 3)$. Finn en parameterframstilling for linja $\ell$. ::::{solution} --- open: --- Vi trenger først og fremst en retningsvektor for linja. Enhver retningsvektor er parallell med vektoren $$ \lvec{AB} = [1 - 5, 4 - 2, 3 - 1] = [-4, 2, 2] = (-2) \cdot [2, -1, -1] $$ Vi velger derfor $\vec{v} = [2, -1, -1]$ som retningsvektor for linja. Vi står fritt til å velge hvilket som helst punkt på linja som startpunkt for parameterframstillingen. Vi velger punktet $A(5, 2, 1)$ som startpunkt. Dermed får vi parameterframstillingen $$ \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= \mqty[5, 2, 1] + \mqty[2, -1, -1] \cdot t \\ \\ &= \mqty[5 + 2t, 2 - t, 1 - t] \end{align*} $$ som vi også eventuelt kan skrive som $$ \ell: \begin{cases} x = 5 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 1 - t \end{cases} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Retningsvektor fra parameterframstilling Gitt en parameterframstilling $\vec{r}(t) = [x(t), y(t), z(t)]$ for en linje $\ell$, så er en retningsvektor for linja gitt ved den deriverte av posisjonsvektoren $\vec{r}(t)$: $$ \vec{v} = \vec{r}'(t) = [x'(t), y'(t), z'(t)] $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 3 En linje $\ell$ er gitt ved $$ \vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 - t, 4 + 5t] $$ Finn en retningtsvektor for linja $\ell$. ::::{solution} --- open: --- En retningsvektor for linja finner vi ved å deriverte posisjonsvektoren: $$ \vec{v} = \vec{r}'(t) = [(1 + 2t)', (3 - t)', (4 + 5t)'] = [2, -1, 5] $$ :::: ::::::::::::::: --- ## Avstander :::::::::::::::{summary} Avstand fra punkt til linje :::{plot} figsize: (4, 3) align: right width: 100% line: 1, -2, solid, blue point: (1, 3) text: 1, 3, "$P$", top-left text: 0.5 * (1 + 3), 0.5 * (1 + 3), "$L$", top-right line-segment: (1, 3), (3, 1), dashed, gray axis: equal xmin: -1 xmax: 5 ymin: -1 ymax: 5 polygon: (2.6, 0.6), (3, 1), (2.6, 1.4), (2.2, 1) axis: off fontsize: 20 text: 5, 3, "$\ell$", top-right point: (0, -2) text: -0.15, -2, "$A$", center-left vector: (0, -2), (1.75, -0.25), red text: 0.5 * (0 + 1.75), 0.5 * (-2 + -0.25), "$\vec{v}$", bottom-right vector: (0, -2), (1, 3), red text: 0.5 * (0 + 1), 0.5 * (-2 + 3), "$\overrightarrow{AP}$", top-left ::: Gitt en linje $\ell$ med en retningsvektor $\vec{v}$ og et punkt $A$ på linja, så er avstanden $L$ fra punktet $P$ til linja $\ell$ gitt ved $$ L = \dfrac{|\lvec{AP} \times \vec{v}|}{\abs{\vec{v}}} $$ :::{clear} ::: :::::{proof} Vis forklaring :::{plot} figsize: (4, 3) align: right width: 100% line: 1, -2, solid, blue point: (1, 3) text: 1, 3, "$P$", top-left text: 0.5 * (1 + 3), 0.5 * (1 + 3), "$L$", top-right line-segment: (1, 3), (3, 1), dashed, gray axis: equal xmin: -1 xmax: 5 ymin: -1 ymax: 5 polygon: (2.6, 0.6), (3, 1), (2.6, 1.4), (2.2, 1) axis: off fontsize: 20 text: 5, 3, "$\ell$", top-right point: (0, -2) text: -0.15, -2, "$A$", center-left vector: (0, -2), (1.75, -0.25), red text: 0.5 * (0 + 1.75), 0.5 * (-2 + -0.25), "$\vec{v}$", bottom-right vector: (0, -2), (1, 3), red text: 0.5 * (0 + 1), 0.5 * (-2 + 3), "$\overrightarrow{AP}$", top-left line-segment: (1.75, -0.25), (1, 3), solid, black fill-polygon: (0, -2), (1.75, -0.25), (1, 3), blue, 0.2 ::: Vi starter med å lage oss en trekant som er spent ut av vektorene $\vec{AP}$ og $\vec{v}$. Vi finner så arealet $T$ av trekanten på to måter og setter de lik hverandre: $$ T = \dfrac{1}{2} \abs{\lvec{AP} \times \vec{v}} = \dfrac{1}{2} \underbrace{ \abs{\vec{v}} \cdot L}_{\text{grunnlinje} \cdot \text{høyde}} $$ Det forteller oss at $$ |\lvec{AP} \times \vec{v}| = \abs{\vec{v}} \cdot L $$ så løser vi for avstanden som gir oss formelen vi er ute etter: $$ L = \dfrac{|\lvec{AP} \times \vec{v}|}{\abs{\vec{v}}} $$ ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 4 En linje går gjennom punktene $A(3, 2, 0)$ og $B(4, 4, -2)$. Finn avstanden fra punktet $P(2, 3, -1)$ til linja. ::::{solution} --- open: --- Vi finner først en retningsvektor for linja: $$ \vec{v} = \lvec{AB} = [4 - 3, 4 - 2, -2 - 0] = [1, 2, -2] $$ Så finner vi en vektor som peker fra et punkt på linja til punktet $P$. Vi velger punktet $A$ som ligger på linja, og lager vektoren $\lvec{AP}$: $$ \lvec{AP} = [2 - 3, 3 - 2, -1 - 0] = [-1, 1, -1] $$ Vi må finne kryssproduktet mellom vektorene $\lvec{AP}$ og $\vec{v}$: $$ \begin{align*} \lvec{AP} \times \lvec{v} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & -1 \\ 2 & -2| - \vec{e}_y \cdot \mqty|-1 & -1 \\ 1 & -2| + \vec{e}_z \cdot \mqty|-1 & 1 \\ 1 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 \cdot -2 - (-1) \cdot 2) - \vec{e}_y \cdot (-1 \cdot -2 - (-1) \cdot 1) + \vec{e}_z \cdot (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-2 + 2) - \vec{e}_y \cdot (2 - (-1)) + \vec{e}_z \cdot (-2 - 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot 0 - \vec{e}_y \cdot 3 + \vec{e}_z \cdot (-3) \\ \\ &= [0, -3, -3] \end{align*} $$ Avstanden $L$ fra $P$ til linja er gitt ved $$ L = \dfrac{|\lvec{AP} \times \vec{v}|}{\abs{\vec{v}}} $$ Vi regner ut lengden av de to vektorene først: $$ |\lvec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$ og $$ \abs{\vec{v}} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $$ Dermed får vi at avstanden $L$ er $$ L = \dfrac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} $$ :::: ::::::::::::::: --- Når vi studerer flere linjer i rommet, så kan de være orientert i forhold til hverandre på tre forskjellige måter: 1. Linjene er **parallelle**. Da kan de enten ligge ved siden av hverandre eller være sammenfallende (ligger oppå hverandre – slik at avstanden er lik $0$). 2. Linjene er **ikke-parallelle** og **skjærer hverandre**. Da har de ett punkt til felles og den korteste avstanden mellom de to er lik $0$. 3. Linjene er **ikke-parallelle** og **ikke-skjærende**. Da sier vi at linjene er **vindskjeve** og den korteste avstanden mellom de to linjene er større enn $0$. Når to linjer er parallelle, kan vi regne ut avstanden mellom dem ved å bruke formelen for avstanden fra et punkt til en linje. :::::::::::::::{summary} Avstand mellom parallelle linjer Dersom to linjer $\ell$ og $m$ er **parallelle**, så er avstanden mellom de to linjene gitt ved avstanden fra et punkt til en linje. Gitt at $A \in \ell$ og $B \in m$, så er avstanden $L$ mellom linjene $\ell$ og $m$ gitt ved $$ L = \dfrac{|\lvec{AB} \times \vec{v}|}{\abs{\vec{v}}} $$ der $\vec{v}$ er en retningsvektor for linjene $\ell$ og $m$. Hvis linjene er sammenfallende, så er avstanden $L = 0$. ::::::::::::::: --- Når to linjer er ikke-parallelle, trenger vi en annen strategi for å finne den korteste avstanden mellom dem: :::::::::::::::{summary} Avstand mellom ikke-parallelle linjer :::{plot3d-2} nocache: align: right fontsize: 24 width: 100% elev: 20 azim: -70 ticks: off xrange: (-1, 7) yrange: (-1, 5) zrange: (-2, 5) ylabel: none let: Ax = 3 let: Ay = 0 let: Az = 4 let: vl_x = 2 let: vl_y = 0 let: vl_z = 0.5 let: vm_x = 0.5 let: vm_y = 2 let: vm_z = 0.5 let: Bx = 3 + vm_x let: By = 2 + vm_y let: Bz = -1 + vm_z let: n_x = vl_y * vm_z - vl_z * vm_y let: n_y = vl_z * vm_x - vl_x * vm_z let: n_z = vl_x * vm_y - vl_y * vm_x let: t = 1.5 line: point=(Ax, Ay, Az), direction=(vl_x, vl_y, vl_z), color=red, lw=2 point: (Ax, Ay, Az), black text: at=(Ax, Ay, Az), value="$B$", ha=right, va=bottom line: point=(Bx, By, Bz), direction=(vm_x, vm_y, vm_z), color=blue, lw=2 point: (Bx, By, Bz), black text: at=(Bx, By, Bz), value="$A$", ha=left, va=top normal-segment: point1=(Ax, Ay, Az), direction1=(vl_x, vl_y, vl_z), point2=(Bx, By, Bz), direction2=(vm_x, vm_y, vm_z), color=gray, style=dashdot, right-angle-size=0.35 vector: (Bx, By, Bz), (Ax, Ay, Az), blue let: n = sqrt(n_x**2 + n_y**2 + n_z**2) vector: (767/281, 258/281, -357/281), (767/281 + 1.5*n_x/n, 258/281 + 1.5*n_y/n, -357/281 + 1.5*n_z/n), red text: at=(767/281 + 0.75*n_x/n - 0.4, 258/281 + 0.75*n_y/n, -357/281 + 0.75*n_z/n), value="$\vec{n}$", ha=right, va=top text: at=(767/281 + 0.6*n_x, 258/281 + 0.6*n_y, -357/281 + 0.6*n_z), value="$L$", ha=left, va=bottom text: at=(Bx - 2.6*vm_x, By - 2.5*vm_y, Bz - 2.5*vm_z), value="$\ell$", ha=right, va=top text: at=(Ax + 2*vl_x, Ay + 2*vl_y, Az + 2*vl_z), value="$m$", ha=left, va=top ::: Gitt to ikke-parallelle linjer $\ell$ og $m$ med følgende egenskaper: * linja $\ell$ går gjennom punktet $A$ og har retningsvektor $\vec{v}_\ell$ * linja $m$ går gjennom punktet $B$ og har retningsvektor $\vec{v}_m$ så er den korteste avstanden $L$ mellom linjene $\ell$ og $m$ gitt ved $$ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} $$ der vektoren $\vec{n}$ står normalt på begge linjene og er gitt ved $$ \vec{n} = \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m $$ Hvis linjene skjærer hverandre, så er den korteste avstanden $L = 0$. :::::{proof} Vis forklaring Vektoren $\vec{n} = \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m$ står normalt på begge linjene. Projeksjonsavstanden av vektoren $\lvec{AB}$ på $\vec{n}$ er den korteste avstanden mellom de to linjene. Dermed kan vi bruke formelen for projeksjonsavstanden til å finne avstanden mellom de to linjene: $$ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 5 En linje $\ell$ går gjennom punktet $A(3, 0, 4)$ og har en retningsvektor $\vec{v}_\ell = [2, 1, 1]$. En linje $m$ går gjennom punktet $B(4, 2, -1)$ og har en retningsvektor $\vec{v}_m = [1, 2, 1]$. Finn den korteste avstanden mellom $\ell$ og $m$. ::::{solution} --- open: --- Først finner vi en vektor $\vec{n}$ som står normalt på begge linjer: $$ \begin{align*} \lvec{n} &= \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m \\ \\ &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & 1 \\ 2 & 1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|2 & 1 \\ 1 & 1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|2 & 1 \\ 1 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \vec{e}_y \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{e}_z \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 - 2) - \vec{e}_y \cdot (2 - 1) + \vec{e}_z \cdot (4 - 1) \\ \\ &= -\vec{e}_x - \vec{e}_y + 3\vec{e}_z \\ \\ &= [-1, -1, 3] \end{align*} $$ Vi trenger en vektor som peker fra et punkt på linja $\ell$ til et punkt på linja $m$. Vi velger vektoren $\lvec{AB}$: $$ \lvec{AB} = [4 - 3, 2 - 0, -1 - 4] = [1, 2, -5] $$ Den korteste avstanden mellom linjene $\ell$ og $m$ er da gitt ved $$ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} $$ Vi regner ut prikkproduktet: $$ \begin{align*} \lvec{AB} \cdot \vec{n} &= [1, 2, -5] \cdot [-1, -1, 3] \\ \\ &= 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + (-5) \cdot 3 \\ \\ &= -1 - 2 - 15 \\ \\ &= -18 \end{align*} $$ så regner vi ut lengden av vektoren $\vec{n}$: $$ \abs{\vec{n}} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} $$ Dermed er den korteste avstanden mellom linjene $\ell$ og $m$ gitt ved $$ L = \dfrac{|-18|}{\sqrt{11}} = \dfrac{18}{\sqrt{11}} $$ :::: ::::::::::::::: --- ## Skjæring mellom linjer Gitt to linjer $\ell$ og $m$ som ligger i samme plan, kan vi finne koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene ved å løse et likningssystem. :::::::::::::::{summary} Skjæringspunktet mellom to linjer Gitt to linjer $\ell$ og $m$ med parameterframstillinger $\vec{r}_\ell(t)$ og $\vec{r}_m(s)$, så finner vi skjæringspunktet ved å løse likningssystemet $$ \vec r_\ell(t) = \vec r_m(s) $$ ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 6 To linjer $\ell$ og $m$ er gitt ved $$ \vec r_\ell(t) = [-1 + 3t, -3 + 4t, -4 + t] \qog \vec r_m(s) = [4 + s, 5 + 2s, -1 + s] $$ Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene. ::::{solution} --- open: --- Dersom linjene skjærer hverandre, må det finnes én verdi for $t$ og én verdi for $s$ slik at $$ \vec r_\ell(t) = \vec r_m(s) $$ Dette gir oss vektorlikningen: $$ [-1 + 3t, -3 + 4t, -4 + t] = [4 + s, 5 + 2s, -1 + s] $$ Ved å sette hver vektorkomponent lik hverandre, får vi likningssystemet: $$ -1 + 3t = 4 + s \and -3 + 4t = 5 + 2s \and -4 + t = -1 + s $$ Her kan vi bruke innsettingsmetoden. Vi kan for eksempel først løse likning 3 for $t$: $$ -4 + t = -1 + s \liff t = 3 + s $$ Så setter vi dette uttrykket for $t$ inn i én av de andre likningene for å finne $s$. Vi velger likning 1: $$ -1 + 3\cdot(3 + s) = 4 + s $$ $$ -1 + 9 + 3s = 4 + s $$ $$ 8 + 3s = 4 + s $$ $$ 8 - 4 = s - 3s $$ $$ 4 = -2s $$ $$ s = -\dfrac{4}{2} = -2 $$ Vi trenger strengt tatt ikke å finne verdien til $t$, men vi må huske på at verdien til $s$ hører til $\vec r_m(s)$. Koordinatene til skjæringspunktet blir derfor $$ \begin{align*} \vec r_m(-2) &= [4 + (-2), 5 + 2\cdot (-2), -1 + (-2)] \\ \\ &= [4 - 2, 5 - 4, -1 - 3] \\ \\ &= [2, 1, -3] \end{align*} $$ Ergo skjærer linjene hverandre i punktet $(2, 1, -3)$. :::: :::::::::::::::