# Vektorer i 3D: Oppgaver :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 :::::::::::::{part} a :::{plot3d-2} width: 100% fontsize: 24 align: right xrange: (-1, 5) yrange: (-1, 5) zrange: (-1, 5) let: Ax = 1 let: Ay = 3 let: Az = 2 point: (Ax, Ay, Az), black vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, 0, 0), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(0, Ay, 0), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(0, 0, Az), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\vec{a}$", ha=right, va=bottom azim: -45 grid: true ::: Bestem koordinatene til vektoren $\vec{a}$ som vises i figuren til høyre. :::::{answer} $$ \vec{a} = [1, 3, 2] $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b :::{plot3d-2} width: 100% fontsize: 24 align: right xrange: (-1, 5) yrange: (-3, 3) zrange: (-1, 5) let: Ax = 4 let: Ay = -2 let: Az = 3 point: (Ax, Ay, Az), black vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, 0, 0), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(0, Ay, 0), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(0, 0, Az), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\vec{b}$", ha=right, va=bottom azim: -75 grid: true ::: Bestem koordinatene til vektoren $\vec{b}$ som vises i figuren til høyre. :::::{answer} $$ \vec{b} = [4, -2, 3] $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c :::{plot3d-2} width: 100% fontsize: 24 align: right xrange: (-3, 4) yrange: (-3, 4) zrange: (-3, 6) let: Ax = -2 let: Ay = 3 let: Az = 5 point: (Ax, Ay, Az), black vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, 0, 0), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(0, Ay, 0), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(0, 0, Az), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\vec{c}$", ha=left, va=bottom azim: -85 grid: true ::: Bestem koordinatene til vektoren $\vec{c}$ som vises i figuren til høyre. :::::{answer} $$ \vec{c} = [-2, 3, 5] $$ ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 :::::::::::::{part} a Gitt punktene $A(1, 2, 3)$ og $B(4, -1, 5)$. Finn vektoren $\lvec{AB}$. :::::{answer} $$ \lvec{AB} = [3, -3, 2] $$ ::::{solution} Posisjonsvektorene til de to punktene er gitt ved $$ \lvec{OA} = [1, 2, 3] \qog \lvec{OB} = [4, -1, 5]. $$ Vektoren fra $A$ til $B$ er da gitt ved $$ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [4, -1, 5] - [1, 2, 3] = [3, -3, 2]. $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Gitt punktene $C(-2, 3, 1)$ og $D(0, -1, 4)$. Finn vektoren $\lvec{CD}$. :::::{answer} $$ \lvec{CD} = [2, -4, 3] $$ ::::{solution} Posisjonsvektorene til de to punktene er gitt ved $$ \lvec{OC} = [-2, 3, 1] \qog \lvec{OD} = [0, -1, 4]. $$ Vektoren fra $C$ til $D$ er da gitt ved $$ \lvec{CD} = \lvec{OD} - \lvec{OC} = [0, -1, 4] - [-2, 3, 1] = [2, -4, 3]. $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Gitt punktene $E(2, 0, -1)$ og $F(-3, 4, 2)$. Finn vektoren $\lvec{EF}$. :::::{answer} $$ \lvec{EF} = [-5, 4, 3] $$ ::::{solution} Posisjonsvektorene til de to punktene er gitt ved $$ \lvec{OE} = [2, 0, -1] \qog \lvec{OF} = [-3, 4, 2]. $$ Dermed er vektoren fra $E$ til $F$ gitt ved $$ \lvec{EF} = \lvec{OF} - \lvec{OE} = [-3, 4, 2] - [2, 0, -1] = [-5, 4, 3]. $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 :::::::::::::{part} a Gitt vektoren $\vec{a} = [2, 3, -1]$. Finn $\abs{\vec{a}}$. :::::{answer} $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{14} $$ ::::{solution} $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Gitt vektoren $\vec{b} = [-1, 4, 6]$. Finn $\abs{\vec{b}}$. :::::{answer} $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{53} $$ ::::{solution} $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 16 + 36} = \sqrt{53} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Gitt vektoren $\vec{c} = [0, -2, 5]$. Finn $\abs{\vec{c}}$. :::::{answer} $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{29} $$ ::::{solution} $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 4 + 25} = \sqrt{29} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 To punkter er gitt ved $A(1, 3, -2)$ og $B(4, -1, 5)$. :::::::::::::{part} a Finn $\lvec{OA}$ og $\lvec{OB}$. :::::{answer} $$ \lvec{OA} = [1, 3, -2] \qog \lvec{OB} = [4, -1, 5]. $$ ::::{solution} Posisjonsvektorene fra origo $O$ ut til punktene har de samme koordinatene som punktene, så $$ \lvec{OA} = [1, 3, -2] \qog \lvec{OB} = [4, -1, 5]. $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Finn $\lvec{AB}$. :::::{answer} $$ \lvec{AB} = [3, -4, 7] $$ ::::{solution} Vektoren som peker fra $A$ til $B$ er gitt ved $$ \begin{align*} \lvec{AB} &= \lvec{OB} - \lvec{OA} \\ \\ &= [4, -1, 5] - [1, 3, -2] \\ \\ &= [4 - 1, -1 - 3, 5 - (-2)] \\ \\ &= [3, -4, 7] \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Finn lengden av linjestykket $AB$. :::::{answer} $$ AB = \sqrt{74} $$ ::::{solution} Lengden av linjestykket $AB$ er gitt ved $$ \begin{align*} AB &= \abs{\lvec{AB}} \\ \\ &= \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2} \\ \\ &= \sqrt{9 + 16 + 49} \\ \\ &= \sqrt{74} \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 Gitt vektorene $$ \vec{u} = [2, 1, 4] \qog \vec{v} = [-3, 4, -1]. $$ :::::::::::::{part} a En vektor $\vec{a}$ er gitt ved $$ \vec{a} = 3 \vec{u}. $$ Finn $\vec{a}$. :::::{answer} $$ \vec{a} = [6, 3, 12] $$ ::::{solution} $$ \vec{a} = 3 \cdot \vec{u} = 3 \cdot [2, 1, 4] = [3 \cdot 2, 3\cdot 1, 3 \cdot 4] = [6, 3, 12] $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b En vektor $\vec{b}$ er gitt ved $$ \vec{b} = -2 \vec{v}. $$ Finn $\vec{b}$. :::::{answer} $$ \vec{b} = [6, -8, 2] $$ ::::{solution} $$ \vec{b} = -2 \vec{v} = -2 \cdot [-3, 4, -1] = [(-2) \cdot (-3), (-2) \cdot 4, (-2) \cdot (-1)] = [6, -8, 2] $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c En vektor $\vec{c}$ er gitt ved $$ \vec{c} = 4 \vec{a} - 5 \vec{b}. $$ Finn $\vec{c}$. :::::{answer} $$ \vec{c} = [-6, 52, 38] $$ ::::{solution} $$ \begin{align*} \vec{c} &= 4 \vec{a} - 5 \vec{b} \\ \\ &= 4 \cdot [6, 3, 12] - 5 \cdot [6, -8, 2] \\ \\ &= [24, 12, 48] - [30, -40, 10] \\ \\ &= [24 - 30, 12 - (-40), 48 - 10] \\ \\ &= [-6, 52, 38] \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 :::::::::::::{part} a Gitt vektorene $\vec a = [2, 1, 4]$ og $\vec b = [-3, 4, -1]$. Avgjør om vektorene er parallelle. :::::{answer} Vektorene er ikke parallelle. ::::{solution} Hvis $\vec a$ og $\vec b$ er parallelle, så finnes det et tall $k$ slik at $\vec a = k \cdot \vec b$. Hvis vi ganger $y$-komponenten til $\vec a$ med $4$ får vi $y$-komponenten til $\vec b$. Men ganger vi $x$-komponenten til $\vec a$ med $4$ får vi $8$, som ikke er lik $x$-komponenten til $\vec b$. Dermed finnes det ikke et tall $k$ slik at $\vec a = k \cdot \vec b$, og vektorene er derfor ikke parallelle. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Gitt vektorene $\vec{c} = [2, -1, 3]$ og $\vec d = [-4, 2, -6]$. Avgjør om vektorene er parallelle. :::::{answer} Vektorene er parallelle. ::::{solution} Hvis vi ganger $x$-komponenten til $\vec c$ med $-2$ får vi $x$-komponenten til $\vec d$. Vi kan sjekke om de andre komponentene også stemmer overens: $$ -2 \cdot \vec c = -2 \cdot [2, -1, 3] = [-4, 2, -6] = \vec d $$ Altså er de to vektorene parallelle. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Gitt vektorene $\vec u = [3, -5, -1]$ og $\vec v = [9, -15, -3]$. Avgjør om vektorene er parallelle. :::::{answer} Vektorene er parallelle. ::::{solution} Hvis vi ganger $x$-komponenten til $\vec u$ med $3$ får vi $x$-komponenten til $\vec v$. Vi kan sjekke om de andre komponentene også stemmer overens: $$ 3 \cdot \vec u = 3 \cdot [3, -5, -1] = [9, -15, -3] = \vec v $$ Altså er de to vektorene parallelle. :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 :::::::::::::{part} a Gitt vektorene $\vec{a} = [2, 1, 4]$ og $\vec{b} = [-3, 4, -1]$. Finn $\vec{a} \cdot \vec{b}$. :::::{answer} $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -6 $$ ::::{solution} $$ \begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= [2, 1, 4] \cdot [-3, 4, -1] \\ \\ &= 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) \\ \\ &= -6 + 4 - 4 \\ \\ &= -6 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Gitt vektorene $\vec{c} = [1, 2, 3]$ og $\vec{d} = [4, -5, 6]$. Finn $\vec{c} \cdot \vec{d}$. :::::{answer} $$ \vec{c} \cdot \vec{d} = 12 $$ ::::{solution} $$ \begin{align*} \vec{c} \cdot \vec{d} &= [1, 2, 3] \cdot [4, -5, 6] \\ \\ &= 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 \\ \\ &= 4 - 10 + 18 \\ \\ &= 12 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Gitt vektorene $\vec{u} = [0, 1, 2]$ og $\vec{v} = [3, 4, 5]$. Finn $\vec{u} \cdot \vec{v}$. :::::{answer} $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 14 $$ ::::{solution} $$ \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= [0, 1, 2] \cdot [3, 4, 5] \\ \\ &= 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \\ \\ &= 0 + 4 + 10 \\ \\ &= 14 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 :::::::::::::{part} a Gitt vektoren $\vec{a} = [1, 1, 1]$. Finn enhetsvektoren $\hat{a}$ som har samme retning som $\vec{a}$. :::::{answer} $$ \hat{a} = \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right] $$ ::::{solution} Enhetsvektoren er gitt ved $$ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} $$ Lengden av vektoren $\vec{a}$ er gitt ved $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} $$ Altså får vi at $$ \hat{a} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot [1, 1, 1] = \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right] $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Gitt vektoren $\vec{b} = [2, -3, 6]$. Finn enhetsvektoren $\hat{b}$ som har samme retning som $\vec{b}$. :::::{answer} $$ \hat{b} = \left[\dfrac{2}{7}, -\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}\right] $$ ::::{solution} Enhetsvektoren er gitt ved $$ \hat{b} = \dfrac{\vec{b}}{\abs{\vec{b}}} $$ Lengden av vektoren $\vec{b}$ er gitt ved $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 $$ Altså får vi at $$ \hat{b} = \dfrac{1}{7} \cdot [2, -3, 6] = \left[\dfrac{2}{7}, -\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}\right] $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Gitt vektoren $\vec{c} = [-4, 2, 1]$. Finn enhetsvektoren $\hat{c}$ som har samme retning som $\vec{c}$. :::::{answer} $$ \hat{c} = \left[-\dfrac{4}{\sqrt{21}}, \dfrac{2}{\sqrt{21}}, \dfrac{1}{\sqrt{21}}\right] $$ ::::{solution} Enhetsvektoren er gitt ved $$ \hat{c} = \dfrac{\vec{c}}{\abs{\vec{c}}} $$ Lengden av vektoren $\vec{c}$ er gitt ved $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} $$ Altså får vi at $$ \hat{c} = \dfrac{1}{\sqrt{21}} \cdot [-4, 2, 1] = \left[-\dfrac{4}{\sqrt{21}}, \dfrac{2}{\sqrt{21}}, \dfrac{1}{\sqrt{21}}\right] $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 ::::::{hint} Påminnelse: Projeksjonslengde :::{plot} figsize: (3, 3) align: right width: 100% axis: off vector: 0, 0, 1.5, 0, red vector: 0, 0, 1, 1, blue line-segment: (1, 1), (1, 0), dashed, gray let: ds = 0.15 line-segment: (1 - ds, 0), (1 - ds, ds), solid, gray line-segment: (1 - ds, ds), (1, ds), solid, gray xmin: -0.2 ymin: -0.5 ymax: 1.3 xmax: 1.7 text: 1.5, 0, "$\vec{a}$", bottom-center text: 0.5, 0.5, "$\vec{b}$", top-left text: 0.5, -0.1, "$L$", bottom-center bar: (0, -0.1), 1, horizontal fontsize: 18 lw: 1 ::: Gitt en vektor $\vec{a}$ og en annen vektor $\vec{b}$, så er **projeksjonslengden** $L$ av $\vec{b}$ på $\vec{a}$ gitt ved $$ L = \dfrac{\abs{\vec{b} \cdot \vec{a}}}{\abs{\vec{a}}} = \abs{\vec{b} \cdot \hat{a}} $$ :::::: :::::::::::::{part} a Gitt vektorene $\vec{a} = [1, 2, 3]$ og $\vec{b} = [4, -5, 6]$. Finn projeksjonslengden av $\vec{b}$ på $\vec{a}$. :::::{answer} $$ L = \dfrac{12}{\sqrt{14}} $$ ::::{solution} Projeksjonslengden av $\vec{b}$ på $\vec{a}$ er gitt ved $$ L = \dfrac{\abs{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{\abs{\vec{a}}} $$ Vi har at $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 $$ og $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $$ Dermed er projeksjonslengden $$ L = \dfrac{12}{\sqrt{14}} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Gitt vektorene $\vec{c} = [2, 1, 0]$ og $\vec{d} = [1, -3, 4]$. Finn projeksjonslengden av $\vec{d}$ på $\vec{c}$. :::::{answer} $$ L = \dfrac{1}{\sqrt{5}} $$ ::::{solution} Projeksjonslengden av $\vec{d}$ på $\vec{c}$ er gitt ved $$ L = \dfrac{\abs{\vec{c} \cdot \vec{d}}}{\abs{\vec{c}}} $$ Vi har at $$ \vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + 0 \cdot 4 = 2 - 3 + 0 = -1 $$ og $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5} $$ Dermed er projeksjonslengden $$ L = \dfrac{\abs{-1}}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Gitt vektorene $\vec{u} = [0, 1, 2]$ og $\vec{v} = [3, 4, -5]$. Finn projeksjonslengden av $\vec{v}$ på $\vec{u}$. :::::{answer} $$ L = \dfrac{6}{\sqrt{5}} $$ ::::{solution} Projeksjonslengden $L$ av $\vec{v}$ på $\vec{u}$ er gitt ved $$ L = \dfrac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{\abs{\vec{u}}} $$ Vi har at $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) = 0 + 4 - 10 = -6 $$ og $$ \abs{\vec{u}} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5} $$ Ergo er projeksjonslengden $$ L = \dfrac{\abs{-6}}{\sqrt{5}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 ::::{hint} Hint Fra den geometriske formelen for prikkproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi$ der $\varphi$ er vinkelen mellom vektorene, følger det at :::{table} --- width: 60% --- labels: $\vec{a} \cdot \vec{b}$, $\varphi$ $> 0$, $\lt 90^\circ$ $= 0$, $= 90^\circ$ $< 0$, $\gt 90^\circ$ ::: :::: :::::::::::::{part} a Gitt vektorene $\vec{a} = [1, 2, 3]$ og $\vec{b} = [4, -5, 6]$. Avgjør om vinkelen mellom vektorene er 1. mindre enn $90 \degree$ 2. lik $90 \degree$ 3. større enn $90 \degree$ :::::{answer} Mindre enn $90 \degree$. ::::{solution} Vi regner ut prikkproduktet mellom de to vektorene: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 $$ Siden $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, er vinkelen mellom vektorene mindre enn $90 \degree$. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Gitt vektorene $\vec{c} = [2, 1, 0]$ og $\vec{d} = [1, -8, 4]$. Avgjør om vinkelen mellom vektorene er 1. mindre enn $90 \degree$ 2. lik $90 \degree$ 3. større enn $90 \degree$ :::::{answer} Vinkelen er større enn $90 \degree$. ::::{solution} Vi regner ut prikkproduktet mellom de to vektorene: $$ \vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-8) + 0 \cdot 4 = 2 - 8 + 0 = -6 $$ Siden $\vec{c} \cdot \vec{d} < 0$, er vinkelen mellom vektorene større enn $90 \degree$. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Gitt vektorene $\vec{u} = [1, 2, 3]$ og $\vec{v} = [1, 1, -1]$. Avgjør om vinkelen mellom vektorene er 1. mindre enn $90 \degree$ 2. lik $90 \degree$ 3. større enn $90 \degree$ :::::{answer} Vinkelen er lik $90 \degree$. ::::{solution} Vi regner ut prikkproduktet mellom de to vektorene: $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 1 + 2 - 3 = 0 $$ Siden $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, er vinkelen mellom vektorene lik $90 \degree$. :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 Om to vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ får du vite at * $\abs{\vec{u}} = 6$ * $\abs{\vec{v}} = 3$ * $\cos \varphi = \dfrac{1}{2}$ der $\varphi$ er vinkelen mellom vektorene. :::::::::::::{part} a Finn $\vec{u} \cdot \vec{v}$. :::{hint} Hint Bruk den geometriske formelen for skalarproduktet: $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \abs{\vec{u}} \cdot \abs{\vec{v}} \cdot \cos \varphi $$ ::: :::::{answer} $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 9 $$ ::::{solution} Fra den geometriske formelen for prikkproduktet har vi at $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \abs{\vec{u}} \cdot \abs{\vec{v}} \cdot \cos \varphi = 6 \cdot 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 9 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Gitt vektoren $\vec{b} = \vec{u} + \vec{v}$. Finn $\abs{\vec{b}}$. :::{hint} Hint Regn ut $\abs{\vec{b}}^2 = \vec{b} \cdot \vec{b}$ først. ::: :::::{answer} $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{63} = 3 \sqrt{7} $$ ::::{solution} Vi regner ut $\abs{\vec{b}}^2$ først: $$ \begin{align*} \abs{\vec{b}}^2 &= \vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \\ \\ &= \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} \\ \\ &= \abs{\vec{u}}^2 + 2 \cdot 9 + \abs{\vec{v}}^2 \\ \\ &= 6^2 + 18 + 3^2 \\ \\ &= 36 + 18 + 9 \\ \\ &= 63 \end{align*} $$ Dermed er $$ \abs{\vec{b}} = \sqrt{63} = 3 \sqrt{7} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Gitt vektoren $\vec{c} = \vec{u} - \vec{v}$. Finn $\abs{\vec{c}}$. :::::{answer} $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} $$ ::::{solution} Vi regner ut $\abs{\vec{c}}^2$ først: $$ \begin{align*} \abs{\vec{c}}^2 &= \vec{c} \cdot \vec{c} \\ \\ &= (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \\ \\ &= \vec{u} \cdot \vec{u} - 2 \cdot \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} \\ \\ &= \abs{\vec{u}}^2 - 2 \cdot 9 + \abs{\vec{v}}^2 \\ \\ &= 6^2 - 18 + 3^2 \\ \\ &= 36 - 18 + 9 \\ \\ &= 27 \end{align*} $$ Altså er $$ \abs{\vec{c}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Gitt vektoren $\vec{d} = 3 \vec{u} - 2 \vec{v}$. Finn $\abs{\vec{d}}$. :::::{answer} $$ \abs{\vec{d}} = 6 \sqrt{7} $$ ::::{solution} Vi regner ut $\abs{\vec{d}}^2$ først: $$ \begin{align*} \abs{\vec{d}}^2 &= \vec{d} \cdot \vec{d} \\ \\ &= (3 \vec{u} - 2 \vec{v}) \cdot (3 \vec{u} - 2 \vec{v}) \\ \\ &= 9 \cdot \vec{u} \cdot \vec{u} - 12 \cdot \vec{u} \cdot \vec{v} + 4 \cdot \vec{v} \cdot \vec{v} \\ \\ &= 9 \cdot \abs{\vec{u}}^2 - 12 \cdot 9 + 4 \cdot \abs{\vec{v}}^2 \\ \\ &= 9 \cdot 6^2 - 108 + 4 \cdot 3^2 \\ \\ &= 324 - 108 + 36 \\ \\ &= 252 \end{align*} $$ :::{factor-tree} nocache: n: 252 width: 100% align: right figsize: (6, 6) ::: Vi primtallsfaktoriserer $252$ for å forenkle kvadratroten: $$ 252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 $$ som gir oss at $$ \abs{\vec{d}} = \sqrt{252} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 6 \sqrt{7} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 Avgjør om påstandene nedenfor er sanne. Begrunn svaret. :::::::::::::{part} a Gitt en vektor $\vec a = [x, y, z]$, så vil vektorene nedenfor være ortogonale med $\vec{a}$: $$ [y, -x, 0] \qog [z, 0, -x] \qog [0, z, -y] $$ :::::{answer} Sann. ::::{solution} Dersom vektorene er ortgonale med $\vec a$, må prikkproduktet være lik $0$. Vi sjekker: $$ [x, y, z] \cdot [y, -x, 0] = x \cdot y + y \cdot (-x) + z \cdot 0 = xy - xy + 0 = 0 $$ og $$ [x, y, z] \cdot [z, 0, -x] = x \cdot z + y \cdot 0 + z \cdot (-x) = xz - xz = 0 $$ og $$ [x, y, z] \cdot [0, z, -y] = x \cdot 0 + y \cdot z + z \cdot (-y) = yz - yz = 0 $$ Altså er alle tre vektorene ortogonale med $\vec a$. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Dersom to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er ortogonale, så er $$ \abs{\vec{a} + \vec{b}}^2 = \abs{\vec{a}}^2 + \abs{\vec{b}}^2 $$ :::::{answer} Sann. ::::{solution} Påstanden er sann som vi kan se ved å følgende utregning: $$ \begin{align*} \abs{\vec a + \vec b}^2 &= (\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) \\ \\ &= \vec a \cdot \vec a + 2 \cdot \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec b \\ \\ &= \abs{\vec a}^2 + 2 \cdot \vec a \cdot \vec b + \abs{\vec b}^2 \\ \\ \end{align*} $$ For at påstanden skal være sann, må $\vec a \cdot \vec b = 0$ som betyr at de to vektorene må være ortogonale. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c For alle punkter $A$ og $B$ er $$ \abs{\lvec{AB}} = \abs{\lvec{BA}} $$ :::::{answer} Sann. ::::{solution} Vi har at $\lvec{AB} = -\lvec{BA}$. Lengden av de vektorene må være like siden $$ \abs{\lvec{AB}} = \abs{-\lvec{BA}} = \abs{-1} \cdot \abs{\lvec{BA}} = \abs{\lvec{BA}} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Hvis to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er parallelle, så er $$ \vec a \cdot \vec b = \abs{\vec a} \cdot \abs{\vec b} $$ :::::{answer} Usann. ::::{solution} Den geometriske formelen for prikkproduktet er gitt ved $$ \vec a \cdot \vec b = \abs{\vec a} \cdot \abs{\vec b} \cdot \cos \varphi $$ Hvis to vektorer er parallelle, betyr det at vinkelen $\varphi$ mellom dem er enten lik $0\degree$ eller $180\degree$. Når $\varphi = 180\degree$, så er $\cos \varphi = -1$, og dermed vil prikkproduktet være negativt. Dermed er påstanden usann. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::::