# Vektorer i 3D :::{goals} * Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet. ::: Regnereglene for vektorer i 2 dimensjoner (2D) generaliseres naturlig over til 3 dimensjoner (3D). Hovedforskjellen er at vi nå har én ekstra dimensjon å ta hensyn til, men regnereglene du kjenner til fra før av er ellers de samme. :::::::::::::::{summary} Representasjon av vektorer i 3D :::{plot3d-2} width: 100% fontsize: 24 align: right xrange: (-1, 5) yrange: (-1, 5) zrange: (-1, 5) ticks: off let: Ax = 2 let: Ay = 3 let: Az = 3 point: (Ax, Ay, Az), black vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue text: at=(Ax, 0, 0), value="$a_x$", ha=right, va=top text: at=(0, Ay, 0), value="$a_y$", ha=right, va=bottom text: at=(0 - 0.1, 0, Az), value="$a_z$", ha=right, va=center line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, 0, 0), linestyle=dashed, color=gray line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(0, Ay, 0), linestyle=dashed, color=gray line-segment: from=(0, 0, Az), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=gray text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\vec{a}$", ha=right, va=bottom azim: -45 ::: En vektor $\vec{a}$ kan skrives som $$ \vec{a} = [a_x, a_y, a_z] $$ ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 1 :::{plot3d-2} width: 100% fontsize: 24 align: right xrange: (-1, 5) yrange: (-1, 5) zrange: (-1, 5) let: Ax = 2 let: Ay = 3 let: Az = 4 point: (Ax, Ay, Az), black vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, 0, 0), linestyle=dashed, color=gray line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(0, Ay, 0), linestyle=dashed, color=gray line-segment: from=(0, 0, Az), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=gray text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\vec{a}$", ha=right, va=bottom azim: -45 grid: true ::: I figuren til høyre vises vektoren $$ \vec{a} = [2, 3, 4] $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Posisjonsvektorer :::{plot3d-2} width: 100% fontsize: 24 align: right xrange: (-1, 5) yrange: (-1, 5) zrange: (-1, 5) ticks: off let: Ax = 2 let: Ay = 3 let: Az = 3 point: (Ax, Ay, Az), black vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\overrightarrow{OP}$", ha=right, va=bottom text: at=(Ax, Ay, Az), value="$P(x, y, z)$", ha=left, va=bottom azim: -45 ::: Gitt et punkt $P(x, y, z)$ i rommet, så er **posisjonsvektoren** $\lvec{OP}$ fra origo $O$ til punktet $P$ gitt ved $$ \lvec{OP} = [x, y, z] $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Finn posisjonsvektoren til punktet $P(-1, 3, 5)$. ::::{solution} --- open: --- Posisjonsvektoren til punktet har de samme koordinatene som punktet: $$ \lvec{OP} = [-1, 3, 5] $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Vektorer mellom to punkter :::{plot3d-2} width: 100% fontsize: 24 align: right xrange: (-1, 5) yrange: (-1, 5) zrange: (-1, 5) ticks: off let: Ax = 1 let: Ay = 2 let: Az = 3 let: Bx = 4 let: By = 2 let: Bz = 3 point: (Ax, Ay, Az), black point: (Bx, By, Bz), black vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue vector: (0, 0, 0), (Bx, By, Bz), blue vector: (Ax, Ay, Az), (Bx, By, Bz), red text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\overrightarrow{OA}$", ha=right, va=bottom text: at=(0.5 * Bx, 0.5 * By, 0.5 * Bz), value="$\overrightarrow{OB}$", ha=left, va=top text: at=(0.5 * (Ax + Bx), 0.5 *(Ay + By), 0.5 * (Az + Bz)), value="$\overrightarrow{AB}$", ha=center, va=bottom text: at=(Ax, Ay, Az), value="$A$", ha=right, va=bottom text: at=(Bx, By, Bz), value="$B$", ha=left, va=bottom azim: -70 ::: Gitt to punkter $A$ og $B$ i rommet, så er vektoren $\lvec{AB}$ fra $A$ til $B$ gitt ved $$ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 3 Gitt punktene $A(1, 2, 3)$ og $B(4, 2, 3)$. Finn vektoren $\lvec{AB}$ fra $A$ til $B$. ::::{solution} --- open: --- Vi har at $$ \lvec{OA} = [1, 2, 3] \quad \text{og} \quad \lvec{OB} = [4, 2, 3] $$ Da er vektoren fra $A$ til $B$ gitt ved $$ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [4, 2, 3] - [1, 2, 3] = [3, 0, 0] $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Lengden av en vektor :::{plot3d-2} width: 100% fontsize: 24 align: right xrange: (-1, 5) yrange: (-1, 5) zrange: (-1, 5) ylabel: none xlabel: none zlabel: none ticks: off let: Ax = 4 let: Ay = 3 let: Az = 3 point: (Ax, Ay, Az), black vector: (0, 0, 0), (Ax, Ay, Az), blue text: at=(0.5 * Ax, 0, 0), value="$x$", ha=right, va=top text: at=(Ax + 0.1, 0.5 * Ay, 0), value="$y$", ha=left, va=center text: at=(Ax, Ay, 0.5 * Az), value="$z$", ha=left, va=center line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, Ay, Az), linestyle=dashed, color=red line-segment: from=(Ax, Ay, 0), to=(Ax, 0, 0), linestyle=dashed, color=gray line-segment: from=(0, 0, 0), to=(Ax, Ay, 0), linestyle=dotted, color=red text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0.5 * Az), value="$\vec{a}$", ha=right, va=bottom right-angle: at=(Ax, 0, 0), dir1=(-1, 0, 0), dir2=(0, 1, 0), size=0.35 right-angle: at=(Ax, Ay, 0), dir1=(0, 0, 1), dir2=(-Ax, -Ay, 0), size=0.35 text: at=(0.5 * Ax, 0.5 * Ay, 0), value="$\sqrt{x^2 + y^2}$", ha=center, va=bottom azim: -70 elev: 30 ::: Lengden av vektoren $\vec{a} = [x, y, z]$ er gitt ved $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$ :::::{proof} Vis forklaring Fra figuren til høyre ser vi at vektoren $\vec{a}$ kan danne en rettvinklet trekant med kateter $\sqrt{x^2 + y^2}$ og $z$. Lengden $\abs{\vec{a}}$ av vektoren er hypotenusen i trekanten. Fra Pytagoras' setning har vi da at $$ \abs{\vec{a}}^2 = \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 $$ Altså er $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$ ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 4 Finn lengden av vektoren $\vec{a} = [-2, 1, 5]$. ::::{solution} --- open: --- Lengden av vektoren er gitt ved: $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Prikkproduktet (skalarproduktet) :::{plot} figsize: (3, 3) align: right width: 100% axis: off vector: 0, 0, 1.5, 0, red vector: 0, 0, 1, 1, blue angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, 45 xmin: -0.2 ymin: -0.5 ymax: 1.3 xmax: 1.7 text: 0.45 * cos(pi/4), 0.1 * sin(pi/4), "$\varphi$", top-right text: 0.75, 0, "$\vec{a}$", bottom-center text: 0.5, 0.5, "$\vec{b}$", top-left fontsize: 18 lw: 1 ::: Prikkproduktet mellom to vektorer $\vec{a} = [a_x, a_y, a_z]$ og $\vec{b} = [b_x, b_y, b_z]$ er gitt ved $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z $$ Dersom vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $\varphi$, så kan prikkproduktet også skrives som $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi $$ Hvis $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er **ortogonale** vektorer, er $\varphi = 90\degree$ og $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Da skriver vi at $\vec{a} \perp \vec{b}$. Vi sier iblant at vektorene står **normalt** på hverandre. Sammenhengen mellom vinkelen mellom vektorene og prikkproduktet kan oppsummeres i tabellen under: :::{table} --- width: 50% --- labels: $\varphi$, $\vec a \cdot \vec b$ $\varphi \in [0^\circ, 90^\circ\rangle$, $\vec a \cdot \vec b > 0$ $\varphi = 90^\circ$, $\vec a \cdot \vec b = 0$ $\varphi \in \langle 90^\circ, 180^\circ]$, $\vec a \cdot \vec b < 0$ ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 5 To vektorer er gitt ved $$ \vec{a} = [-2, 1, 4] \quad \text{og} \quad \vec{b} = [5, 2, 3] $$ Finn $\vec{a} \cdot \vec{b}$. ::::{solution} --- open: --- $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = [-2, 1, 4] \cdot [5, 2, 3] = (-2) \cdot 5 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = -10 + 2 + 12 = 4 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Multiplikasjon med skalarer :::{plot} align: right width: 100% axis: off vector: (1, 1), (3, 3), red vector: (3, 3), (5, 5), red vector: (1, 0), (5, 4), blue vector: (3, -1), (1, -3), purple vector: (3, -4), (2, -5), purple text: 0.5 * (1 + 3), 0.5 * (1 + 3), "$\vec{a}$", top-left text: 0.5 * (3 + 5), 0.5 * (3 + 5), "$\vec{a}$", top-left text: 0.5 * (1 + 5), 0.5 * (0 + 4), "$2 \cdot \vec{a}$", bottom-right text: 0.5 * (3 + 1), 0.5 * (-1 + -3), "$-\vec{a}$", bottom-right text: 0.5 * (3 + 2), 0.5 * (-4 + -5), "$-\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \vec{a}$", bottom-right xmin: -2 fontsize: 30 ::: Gitt en vektor $\vec{a} = [x, y, z]$ og en skalar $k$, så er $k \cdot \vec{a}$ en ny vektor gitt ved $$ k \cdot \vec{a} = k \cdot [x, y, z] = [k \cdot x, k \cdot y, k \cdot z] $$ Når $k \neq 0$ er $\vec{a}$ og $k \cdot \vec{a}$ parallelle, og lengden av $k \cdot \vec{a}$ er gitt ved $$ \abs{k \cdot \vec{a}} = \abs{k} \cdot \abs{\vec{a}} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 6 Gitt vektoren $\vec{a} = [-2, 3, 1]$. En annen vektor er gitt ved $\vec{b} = -3 \cdot \vec{a}$. Finn $\vec{b}$ og $\abs{\vec{b}}$. ::::{solution} --- open: --- Først finner vi komponentene til $\vec{b}$: $$ \vec{b} = -3 \cdot \vec{a} = -3 \cdot [-2, 3, 1] = [6, -9, -3] $$ For å regne ut lengden bruker vi at $\abs{\vec{b}} = \abs{-3} \cdot \abs{\vec{a}}$: $$ \abs{\vec{b}} = \abs{-3} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = 3 \cdot \sqrt{4 + 9 + 1} = 3 \cdot \sqrt{14} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Enhetsvektorer :::{plot} align: right width: 100% axis: off vector: (1, 1), (4, 4), red vector: (2, 0), (3, 1), blue text: 0.5 * (1 + 3), 0.5 * (1 + 3), "$\vec{a}$", top-left text: 0.5 * (2 + 3), 0.5 * (0 + 1), "$\hat{a}$", bottom-right fontsize: 30 ::: En **enhetsvektor** er en vektor med lengde lik $1$. Gitt vektoren $\vec{a}$, så er enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ gitt ved $$ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} $$ Vi bruker en "hatt" over enhetsvektorer for å indikere at de er enhetsvektorer. :::::{proof} Vis forklaring Gitt vektoren $\vec{a}$, så er enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ gitt ved $$ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} $$ Lengden av enhetsvektoren er da $$ \abs{\hat{a}} = \abs{\dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}}} = \dfrac{\abs{\vec{a}}}{\abs{\vec{a}}} = 1 $$ Altså har $\hat{a}$ lengde lik $1$, og er dermed en enhetsvektor. ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 7 Gitt vektoren $\vec{a} = [-2, 3, 1]$. Finn enhetsvektoren $\hat{a}$ i samme retning som $\vec{a}$. ::::{solution} --- open: --- Lengden av vektoren er gitt ved $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $$ Dermed er enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ gitt ved $$ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} = \dfrac{[-2, 3, 1]}{\sqrt{14}} = \left[-\dfrac{2}{\sqrt{14}}, \dfrac{3}{\sqrt{14}}, \dfrac{1}{\sqrt{14}}\right] $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Projeksjonslengde :::{plot} figsize: (3, 3) align: right width: 100% axis: off vector: 0, 0, 1.5, 0, red vector: 0, 0, 1, 1, blue line-segment: (1, 1), (1, 0), dashed, gray let: ds = 0.15 line-segment: (1 - ds, 0), (1 - ds, ds), solid, gray line-segment: (1 - ds, ds), (1, ds), solid, gray xmin: -0.2 ymin: -0.5 ymax: 1.3 xmax: 1.7 text: 1.5, 0, "$\vec{a}$", bottom-center text: 0.5, 0.5, "$\vec{b}$", top-left text: 0.5, -0.1, "$L$", bottom-center bar: (0, -0.1), 1, horizontal fontsize: 18 lw: 1 ::: Gitt en vektor $\vec{a}$ og en annen vektor $\vec{b}$, så er **projeksjonslengden** $L$ av $\vec{b}$ på $\vec{a}$ gitt ved $$ L = \dfrac{\abs{\vec{b} \cdot \vec{a}}}{\abs{\vec{a}}} = \abs{\vec{b} \cdot \hat{a}} $$ Projeksjonslengden er lengden av den delen av $\vec{b}$ som er parallell med $\vec{a}$. :::{clear} ::: :::::{proof} Vis forklaring :::{plot} figsize: (3, 3) align: right width: 100% axis: off vector: 0, 0, 1.5, 0, red vector: 0, 0, 1, 1, blue line-segment: (1, 1), (1, 0), dashed, gray let: ds = 0.15 line-segment: (1 - ds, 0), (1 - ds, ds), solid, gray line-segment: (1 - ds, ds), (1, ds), solid, gray xmin: -0.2 ymin: -0.5 ymax: 1.3 xmax: 1.7 text: 1.5, 0, "$\vec{a}$", bottom-center text: 0.5, 0.5, "$\vec{b}$", top-left text: 0.5, -0.1, "$L$", bottom-center bar: (0, -0.1), 1, horizontal fontsize: 18 lw: 1 let: angle = atan(1 / 1) angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, angle * 180 / pi, black text: 0.45 * cos(angle/2), 0.45 * sin(angle/2), "$\varphi$", center-center ::: La $\varphi$ være vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$. Da kan vi skrive projeksjonslengden $L$ som $$ \cos \varphi = \dfrac{L}{\abs{\vec{b}}} \liff L = \abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi $$ Samtidig er prikkproduktet mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ gitt ved $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \underbrace{\abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi}_{=L} $$ Ergo får vi at $$ \abs{\vec{a}} \cdot L = \vec{a} \cdot \vec{b} \liff L = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\abs{\vec{a}}} $$ Men siden $\vec{a}$ og $\vec{b}$ kan ha en vinkel større enn $90\degree$, så vil $L$ bli negativ. Dermed tar vi absoluttverdien av prikkproduktet: $$ L = \dfrac{\abs{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{\abs{\vec{a}}} $$ Hvis vi i stedet bruker enhetsvektoren $\hat{a}$, så er $\abs{\hat{a}} = 1$, og da får vi at $$ L = \abs{\vec{b} \cdot \hat{a}} $$ ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 8 En vektor $\vec{a} = [2, 1, 4]$ og $\vec{b} = [-3, 4, -1]$. Finn projeksjonslengden $L$ av $\vec{b}$ på $\vec{a}$. ::::{solution} --- open: --- Vi finner først enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$: $$ \abs{\vec{a}} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{21} $$ Enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ er da $$ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} = \dfrac{[2, 1, 4]}{\sqrt{21}} = \left[\dfrac{2}{\sqrt{21}}, \dfrac{1}{\sqrt{21}}, \dfrac{4}{\sqrt{21}}\right] $$ Så finner vi projeksjonslengden $L$ av $\vec{b}$ på $\vec{a}$: $$ \vec{b} \cdot \hat{a} = [-3, 4, -1] \cdot \left[\dfrac{2}{\sqrt{21}}, \dfrac{1}{\sqrt{21}}, \dfrac{4}{\sqrt{21}}\right] = -\dfrac{6}{\sqrt{21}} + \dfrac{4}{\sqrt{21}} - \dfrac{4}{\sqrt{21}} = -\dfrac{6}{\sqrt{21}} $$ Projeksjonslengden er da $$ L = \abs{\vec{b} \cdot \hat{a}} = \abs{-\dfrac{6}{\sqrt{21}}} = \dfrac{6}{\sqrt{21}} $$ :::: :::::::::::::::