# Enhetssirkelen og radianer: Oppgaver :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 :::::::::::::{part} a Finn vinkelen i radianer. $$ \alpha = 30\degree $$ :::::{answer} $$ \alpha = \dfrac{\pi}{6} $$ ::::{solution} $$ \alpha = 30\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{\pi}{6} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Finn vinkelen i radianer. $$ \beta = 45\degree $$ :::::{answer} $$ \beta = \dfrac{\pi}{4} $$ ::::{solution} $$ \beta = 45\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{\pi}{4} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Finn vinkelen i radianer. $$ \gamma = 60\degree $$ :::::{answer} $$ \gamma = \dfrac{\pi}{3} $$ ::::{solution} $$ \gamma = 60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{\pi}{3} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Finn vinkelen i radianer. $$ \varphi = 90\degree $$ :::::{answer} ::::{solution} $$ \varphi = 90\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{\pi}{2} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} e Finn vinkelen i radianer: $$ \theta = 120\degree $$ :::::{answer} $$ \theta = \dfrac{2\pi}{3} $$ ::::{solution} $$ \theta = 120\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{2\pi}{3} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 :::::::::::::{part} a Finn vinkelen i grader. $$ \alpha = \pi $$ :::::{answer} $$ \alpha = 180\degree $$ ::::{solution} $$ \alpha = \pi \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 180\degree $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Finn vinkelen i grader. $$ \beta = -\dfrac{\pi}{2} $$ :::::{answer} ::::{solution} $$ \beta = -\dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = -90\degree $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Finn vinkelen i grader. $$ \gamma = \dfrac{4\pi}{3} $$ :::::{answer} $$ \gamma = 240\degree $$ ::::{solution} $$ \gamma = \dfrac{4\pi}{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 240\degree $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Finn vinkelen i grader. $$ \varphi = \dfrac{3\pi}{2} $$ :::::{answer} $$ \varphi = 270\degree $$ ::::{solution} $$ \varphi = \dfrac{3\pi}{2} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 270\degree $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 :::::::::::::{part} a En vinkel er gitt ved $\varphi = \dfrac{2\pi}{3}$. Hvilken figur nedenfor viser $\varphi$ i enhetssirkelen? ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 32 --- :::{plot} width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = 4 * pi / 3 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\varphi$", center-center text: 1.1, 1.1, "A", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = 2 * pi / 3 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\varphi$", center-center text: 1.1, 1.1, "B", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = -2 * pi / 3 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\varphi$", center-center text: 1.1, 1.1, "C", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = -4 * pi / 3 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\varphi$", center-center text: 1.1, 1.1, "D", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::: :::::{answer} Figur B ::::{solution} Vi kan regne ut vinkelen i grader for å finne i hvilken kvadrant vinkelen ligger i: $$ \varphi = \dfrac{2\pi }{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 120\degree $$ som betyr at vinkelen ligger i 2. kvadrant. Dermed må det være figur B som viser vinkelen. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b En vinkel er gitt ved $\theta = -\dfrac{\pi}{4}$. Hvilken figur nedenfor viser $\theta$ i enhetssirkelen? ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 32 --- :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = -pi / 4 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\theta$", center-center text: 1.1, 1.1, "A", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = pi / 4 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\theta$", center-center text: 1.1, 1.1, "B", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = 2*pi - pi/4 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\theta$", center-center text: 1.1, 1.1, "C", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = pi + pi/4 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\theta$", center-center text: 1.1, 1.1, "D", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::: :::::{answer} Figur A. ::::{solution} Vi kan omregne vinkelen til grader: $$ \theta = -\dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = -45\degree $$ Altså ligger vinkelen i 4. kvadrant. Omløpsretningen er negativ, som betyr at det er figur A som viser vinkelen. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c En vinkel er gitt ved $\gamma = \dfrac{3\pi}{4}$. Hvilken figur nedenfor viser $\gamma$ i enhetssirkelen? ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 32 --- :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = -pi + pi/4 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\gamma$", center-center text: 1.1, 1.1, "A", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = -5*pi/4 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\gamma$", center-center text: 1.1, 1.1, "B", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = 3*pi/4 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\gamma$", center-center text: 1.1, 1.1, "C", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = 5*pi/4 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\gamma$", center-center text: 1.1, 1.1, "D", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::: :::::{answer} Figur C. ::::{solution} Vinkelen går i positiv omløpsretning. Regner vi om til grader får vi: $$ \gamma = \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 135\degree = 3 \cdot 45\degree $$ Altså ligger vinkelen i 2. kvadrant. Dermed er riktig svar figur C. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d En vinkel er gitt ved $\xi = -\dfrac{5\pi}{6}$. Hvilken figur nedenfor viser $\xi$ i enhetssirkelen? ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 32 --- :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = -5*pi/6 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\xi$", center-center text: 1.1, 1.1, "A", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = -pi + 5*pi/6 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\xi$", center-center text: 1.1, 1.1, "B", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = -pi - pi/6 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\xi$", center-center text: 1.1, 1.1, "C", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::{plot} nocache: width: 100% circle: (0, 0), 1 let: u = 2*pi - pi/6 angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue text: 0.45 * cos(u/2), 0.45 * sin(u/2), "$\xi$", center-center text: 1.1, 1.1, "D", center-center, bbox axis: equal ticks: off ::: :::: :::::{answer} Figur A. ::::{solution} Vinkelen går i negativ omløpsretning. Vi kan regne om til grader for å finne hvilken kvadrant vinkelen ligger i: $$ \xi = -\dfrac{5\pi }{6} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = -150\degree $$ Vinkelen ligger derfor i 3. kvadrant og dermed er riktig svar figur A. :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 :::::::::::::{part} a :::{plot} nocache: axis: equal ticks: off width: 100% align: right fontsize: 32 let: r = 3 let: u = 2 * pi / 3 circle: (0, 0), r, gray line-segment: (0, 0), (r * cos(u), r * sin(u)), blue text: 0.5 * r*cos(u), 0.5 * r*sin(u), "$3$", bottom-left angle-arc: (0, 0), 0.3 * r, 0, u*180/pi, red, arrow text: 0.45 * r * cos(u/2), 0.45 * r * sin(u/2), "$\varphi$", center-center text: 1.1 * r * cos(u/2), 1.1 * r * sin(u/2), "$2\pi$", top-right angle-arc: (0, 0), r, 0, u * 180 / pi, blue point: (r, 0) point: (r * cos(u), r * sin(u)) ::: I figuren til høyre vises en sirkel med radius $3$. Buelengden til den blå sirkelbuen er $2\pi$. Finn vinkelen $\varphi$ i radianer og grader. :::::{answer} $$ \varphi = \dfrac{2\pi}{3} = 120\degree $$ ::::{solution} Sammenhengen mellom buelengde $s$, radius $r$ og vinkelen $\varphi$ er $$ \varphi = \dfrac{s}{r} $$ Vi har at $s = 2\pi$ og $r = 3$. Ergo er vinkelen i radianer: $$ \varphi = \dfrac{2\pi}{3} $$ Vinkelen i grader er $$ \varphi = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 120\degree $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b :::{plot} nocache: axis: equal ticks: off width: 100% align: right fontsize: 32 let: r = 15 let: u = pi / 5 circle: (0, 0), r, gray line-segment: (0, 0), (r * cos(u), r * sin(u)), blue text: 0.5 * r*cos(u), 0.5 * r*sin(u), "$15$", top-left angle-arc: (0, 0), 0.3 * r, 0, u*180/pi, red, arrow text: 0.45 * r * cos(u/2), 0.45 * r * sin(u/2), "$\theta$", center-center text: 1.1 * r * cos(u/2), 1.1 * r * sin(u/2), "$\displaystyle 3\pi$", top-right angle-arc: (0, 0), r, 0, u * 180 / pi, blue point: (r, 0) point: (r * cos(u), r * sin(u)) ::: I figuren til høyre vises en sirkel med radius $15$. Buelengden til den blå sirkelbuen er $3\pi$. Finn vinkelen $\theta$ i radianer og grader. :::::{answer} $$ \theta = \dfrac{\pi}{5} = 36\degree $$ ::::{solution} Vinkelen i radianer er gitt ved: $$ \theta = \dfrac{s}{r} = \dfrac{3\pi}{15} = \dfrac{\pi}{5} $$ Vinkelen i grader er da: $$ \theta = \dfrac{\pi}{5} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 36\degree $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c :::{plot} nocache: axis: equal ticks: off width: 100% align: right fontsize: 32 let: r = 9 let: u = 4 * pi / 3 circle: (0, 0), r, gray line-segment: (0, 0), (r * cos(u), r * sin(u)), blue text: 0.5 * r*cos(u), 0.5 * r*sin(u), "$9$", bottom-right angle-arc: (0, 0), 0.3 * r, 0, u*180/pi, red, arrow text: 0.45 * r * cos(u/2), 0.45 * r * sin(u/2), "$\gamma$", center-center text: 1.1 * r * cos(u/2), 1.1 * r * sin(u/2), "$\displaystyle 12\pi$", top-right angle-arc: (0, 0), r, 0, u * 180 / pi, blue point: (r, 0) point: (r * cos(u), r * sin(u)) ::: I figuren til høyre vises en sirkel med radius $9$. Buelengden til den blå sirkelbuen er $12\pi$. Finn vinkelen $\gamma$ i radianer og grader. :::::{answer} $$ \gamma = \dfrac{4\pi}{3} = 240\degree $$ ::::{solution} Vinkelen i radianer er: $$ \gamma = \dfrac{s}{r} = \dfrac{12\pi}{9} = \dfrac{4\pi}{3} $$ Vinkelen i grader er da: $$ \gamma = \dfrac{4\pi}{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 240\degree $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d :::{plot} nocache: axis: equal ticks: off width: 100% align: right fontsize: 32 let: r = 4 let: u = 2 * pi / 3 circle: (0, 0), r, gray line-segment: (0, 0), (r * cos(u), r * sin(u)), blue text: 0.5 * r*cos(u), 0.5 * r*sin(u), "$4$", bottom-left angle-arc: (0, 0), 0.3 * r, 0, u*180/pi, red, arrow text: 0.35 * r * cos(u/2), 0.35 * r * sin(u/2), "$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$", top-right text: 1.1 * r * cos(u/2), 1.1 * r * sin(u/2), "$s$", top-right angle-arc: (0, 0), r, 0, u * 180 / pi, blue point: (r, 0) point: (r * cos(u), r * sin(u)) ::: I figuren til høyre vises en sirkel med radius $4$ og en blå sirkelbue. Vinkelen i figuren er lik $\dfrac{2\pi}{3}$. Finn buelengden $s$ til den blå sirkelbuen. :::::{answer} $$ s = \dfrac{8\pi}{3} $$ ::::{solution} Sammenhengen mellom en vinkel $\varphi$, buelengde $s$ og radius $r$ er gitt ved $$ \varphi = \dfrac{s}{r} \liff s = \varphi \cdot r $$ Vi har at $\varphi = \dfrac{2\pi}{3}$ og $r = 4$. Dermed er buelengden: $$ s = \dfrac{2\pi}{3} \cdot 4 = \dfrac{8\pi}{3} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} e :::{plot} nocache: axis: equal ticks: off width: 100% align: right fontsize: 32 let: r = 8 let: u = 3 * pi / 4 circle: (0, 0), r, gray line-segment: (0, 0), (r * cos(u), r * sin(u)), blue text: 0.5 * r*cos(u), 0.5 * r*sin(u), "$r$", bottom-left angle-arc: (0, 0), 0.3 * r, 0, u*180/pi, red, arrow text: 0.35 * r * cos(u/2), 0.35 * r * sin(u/2), "$\displaystyle \frac{3\pi}{4}$", top-right text: 1.1 * r * cos(u/2), 1.1 * r * sin(u/2), "$6\pi$", top-right angle-arc: (0, 0), r, 0, u * 180 / pi, blue point: (r, 0) point: (r * cos(u), r * sin(u)) ::: En sirkel har radius $r$ og en blå sirkelbue har buelengden $6\pi$. Vinkelen i figuren er lik $\dfrac{3\pi}{4}$. Finn radiusen $r$ til sirkelen. :::::{answer} $$ r = 8 $$ ::::{solution} Gitt en vinkel $\varphi$, buelengde $s$ og radius $r$ er sammenhengen gitt ved $$ \varphi = \dfrac{s}{r} \liff r = \dfrac{s}{\varphi} $$ Vi har at $s = 6\pi$ og $\varphi = \dfrac{3\pi}{4}$. Dermed er radiusen: $$ r = \dfrac{6\pi}{3\pi/ 4} = 6\pi \cdot \dfrac{4}{3\pi} = 8 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 :::::::::::::{part} a :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 32 ticks: off axis: equal circle: (0, 0), 1 let: u = 0 vector: (0, 0), (cos(u), sin(u)), red point: (cos(u), sin(u)) text: cos(u), sin(u), "$P$", top-right lw: 2 xlabel: $\cos \varphi$ ylabel: $\sin \varphi$ ::: Et punkt $P$ ligger på enhetssirkelen. Vinkelen mellom førsteaksen og vektoren $\lvec{OP}$ er $\varphi = 0$. Finn $\cos 0$ og $\sin 0$. :::::{answer} ::::{solution} Vi har at $$ \lvec{OP} = [\cos 0, \sin 0] = [1, 0] $$ Ergo er $$ \cos 0 = 1 \and \sin 0 = 0 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 32 ticks: off axis: equal circle: (0, 0), 1 let: u = pi/2 vector: (0, 0), (cos(u), sin(u)), red point: (cos(u), sin(u)) text: cos(u), sin(u), "$Q$", top-right angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, blue, arrow text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$\pi/2$", center-center lw: 2 xlabel: $\cos \varphi$ ylabel: $\sin \varphi$ ::: Et punkt $Q$ ligger på enhetssirkelen. Vinkelen mellom førsteaksen og vektoren $\lvec{OQ}$ er $\varphi = \dfrac{\pi}{2}$. Finn $\cos \dfrac{\pi}{2}$ og $\sin \dfrac{\pi}{2}$. :::::{answer} $$ \cos \dfrac{\pi}{2} = 0 \and \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 $$ ::::{solution} Vektoren er gitt ved $$ \lvec{OQ} = \mqty[\cos \dfrac{\pi}{2}, \sin \dfrac{\pi}{2}] = [0, 1] $$ som betyr at $$ \cos \dfrac{\pi}{2} = 0 \and \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 32 ticks: off axis: equal circle: (0, 0), 1 let: u = pi vector: (0, 0), (cos(u), sin(u)), red point: (cos(u), sin(u)) text: cos(u), sin(u), "$R$", top-left angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, blue, arrow text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$\pi$", center-right lw: 2 xlabel: $\cos \varphi$ ylabel: $\sin \varphi$ ::: Et punkt $R$ ligger på enhetssirkelen. Vinkelen mellom førsteaksen og linjestykket $OR$ er $\varphi = \pi$. Finn $\cos \pi$ og $\sin \pi$. :::::{answer} $$ \cos \pi = -1 \and \sin \pi = 0 $$ ::::{solution} Vektoren $\lvec{OR}$ er gitt ved $$ \lvec{OR} = \mqty[\cos \pi, \sin \pi] = [-1, 0] $$ Altså er $$ \cos \pi = -1 \and \sin \pi = 0 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 32 ticks: off axis: equal circle: (0, 0), 1 let: u = 3*pi/2 vector: (0, 0), (cos(u), sin(u)), red point: (cos(u), sin(u)) text: cos(u), sin(u), "$S$", bottom-left angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, blue, arrow text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$3\pi/2$", center-center lw: 2 xlabel: $\cos \varphi$ ylabel: $\sin \varphi$ ::: Et punkt $S$ ligger på enhetssirkelen. Vinkelen mellom førsteaksen og linjestykket $OS$ er $\varphi = \dfrac{3\pi}{2}$. Finn $\cos \dfrac{3\pi}{2}$ og $\sin \dfrac{3\pi}{2}$. :::::{answer} $$ \cos \dfrac{3\pi}{2} = 0 \and \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 $$ ::::{solution} Vektoren $\lvec{OS}$ er gitt ved $$ \lvec{OS} = \mqty[\cos \dfrac{3\pi}{2}, \sin \dfrac{3\pi}{2}] = [0, -1] $$ Altså er $$ \cos \dfrac{3\pi}{2} = 0 \and \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 :::::::::::::{part} a :::{plot} figsize: (4, 4) width: 80% fontsize: 28 align: right let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Bx = sqrt(2)/2 let: By = 0 let: Cx = sqrt(2)/2 let: Cy = sqrt(2)/2 axis: equal axis: off line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), blue line-segment: (Bx, By), (Cx, Cy), blue line-segment: (Cx, Cy), (Ax, Ay), blue angle-arc: (Ax, Ay), 0.2, 0, 45, red, arrow text: 0.30 * cos(pi/8), 0.25 * sin(pi/8), "$45^\circ$", center-center let: ds = 0.1 line-segment: (Bx - ds, By), (Bx - ds, By + ds), gray, solid line-segment: (Bx - ds, By + ds), (Bx, By + ds), gray, solid text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "$1$", top-left ::: Gitt den rettvinklede trekanten til høyre. Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for $$ \cos 45\degree \qog \sin 45\degree $$ :::::{answer} $$ \cos 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ ::::{solution} Den rettvinkla trekanten er en likebeint trekant med kateter med lengde $x$ og hypotenus lik $1$. Fra Pytagoras' setning får vi at $$ x^2 + x^2 = 1^2 \liff 2x^2 = 1 \limplies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ Dermed får vi at $$ \cos 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::{plot} figsize: (4, 4) width: 80% align: right fontsize: 28 let: Ax = -1/2 let: Ay = 0 let: Bx = 1/2 let: By = 0 let: Cx = 0 let: Cy = sqrt(3)/2 axis: equal axis: off line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), blue line-segment: (Bx, By), (Cx, Cy), blue line-segment: (Cx, Cy), (Ax, Ay), blue angle-arc: (Ax, Ay), 0.2, 0, 60, red, arrow text: Ax + 0.3 * cos(pi/6), Ay + 0.3 * sin(pi/6), "$60^\circ$", center-center line-segment: (0, 0), (Cx, Cy), red, dashed let: ds = 0.1 line-segment: (-ds, 0), (-ds, ds), gray, solid line-segment: (-ds, ds), (0, ds), gray, solid text: 0.5 * (Ax + Bx), 0.5 * (Ay + By), "$1$", bottom-center text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "$1$", top-left text: 0.5 * (Bx + Cx), 0.5 * (By + Cy), "$1$", top-right text: Cx + 0.02, 0.5 * (Ay + Cy) , "$h$", center-right ::: En likesidet trekant med sidelengder $1$ er vist til høyre. :::::::::::::{part} b Finn høyden $h$ i trekanten. :::::{answer} $$ h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ ::::{solution} Fra Pytagoras' setning har vi at $$ h^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1^2 $$ $$ h^2 + \dfrac{1}{4} = 1 $$ $$ h^2 = \dfrac{3}{4} $$ $$ h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for $$ \cos 60\degree \qog \sin 60\degree $$ :::::{answer} $$ \cos 60\degree = \dfrac{1}{2} \and \sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ ::::{solution} Fra trekanten har vi at $$ \cos 60\degree = \dfrac{1/2}{1} = \dfrac{1}{2} $$ og $$ \sin 60\degree = \dfrac{h}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for $$ \cos 30\degree \qog \sin 30\degree $$ :::::{answer} $$ \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \and \sin 30\degree = \dfrac{1}{2} $$ ::::{solution} Vi bruker den rettvinkla trekanten til venstre til å finne verdiene for $\cos 30\degree$ og $\sin 30\degree$. Vi har at $$ \cos 30\degree = \dfrac{h}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ og $$ \sin 30\degree = \dfrac{1/2}{1} = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 :::{hint} Hint Bruk svarene du fant i oppgave 6. ::: :::::::::::::{part} a :::{plot} width: 100% axis: equal ticks: off align: right fontsize: 28 circle: (0, 0), 1 let: u = pi/4 line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), red point: (cos(u), sin(u)) text: cos(u), sin(u), "$P$", top-right angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$\pi/4$", center-center text: 0.5 * cos(u), 0.5 * sin(u), "$1$", top-left lw: 3 xlabel: $\cos \varphi$ ylabel: $\sin \varphi$ ::: Punktet $P$ ligger på enhetssirkelen. Linjestykket $OP$ danner vinkelen $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$ med førsteaksen. Finn $\cos \dfrac{\pi}{4}$ og $\sin \dfrac{\pi}{4}$. :::::{answer} $$ \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ ::::{solution} Vinkelen i radianer er $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$. I grader er denne vinkelen $$ \varphi = \dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 45\degree $$ Fra oppgave 6 har vi at $$ \cos 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ Ergo er $$ \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b :::{plot} width: 100% axis: equal ticks: off align: right fontsize: 28 circle: (0, 0), 1 let: u = pi/6 line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), red point: (cos(u), sin(u)) text: cos(u), sin(u), "$P$", top-right angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$\pi/6$", center-center text: 0.5 * cos(u), 0.5 * sin(u), "$1$", top-left lw: 3 xlabel: $\cos \varphi$ ylabel: $\sin \varphi$ ::: Punktet $P$ ligger på enhetssirkelen. Linjestykket $OP$ danner vinkelen $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$ med førsteaksen. Finn $\cos \dfrac{\pi}{6}$ og $\sin \dfrac{\pi}{6}$. :::::{answer} $$ \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} $$ ::::{solution} Vinkelen i radianer er $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$. I grader er denne vinkelen $$ \varphi = \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 30\degree $$ Fra oppgave 6 har vi at $$ \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \and \sin 30\degree = \dfrac{1}{2} $$ Ergo er $$ \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c :::{plot} width: 100% axis: equal ticks: off align: right fontsize: 28 circle: (0, 0), 1 let: u = pi/3 line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), red point: (cos(u), sin(u)) text: cos(u), sin(u), "$P$", top-right angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u*180/pi, red, arrow text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$\pi/3$", center-center text: 0.5 * cos(u), 0.5 * sin(u), "$1$", top-left lw: 3 xlabel: $\cos \varphi$ ylabel: $\sin \varphi$ ::: Punktet $P$ ligger på enhetssirkelen. Linjestykket $OP$ danner vinkelen $\varphi = \dfrac{\pi}{3}$ med førsteaksen. Finn $\cos \dfrac{\pi}{3}$ og $\sin \dfrac{\pi}{3}$. :::::{answer} $$ \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ ::::{solution} Vinkelen i radianer er $\varphi = \dfrac{\pi}{3}$. I grader er denne vinkelen $$ \varphi = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 60\degree $$ Fra oppgave 6 har vi at $$ \cos 60\degree = \dfrac{1}{2} \and \sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ Ergo er $$ \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 :::::::::::::{part} a Bestem fortegnet til $\cos \varphi$ og $\sin \varphi$ når $\varphi$ ligger i 1. kvadrant. :::::{answer} $$ \cos \varphi \gt 0 \and \sin \varphi \gt 0 $$ ::::{solution} I 1. kvadrant vil $x$-koordinatene og $y$-koordinatene til punktene på enhetssirkelen være positive. Dermed er $$ \cos \varphi \gt 0 \and \sin \varphi \gt 0 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Finn fortegnet til $\cos \varphi$ og $\sin \varphi$ når $\varphi$ ligger i 2. kvadrant. :::::{answer} $$ \cos \varphi \lt 0 \and \sin \varphi \gt 0 $$ ::::{solution} I 2. kvadrant vil $x$-koordinatene til punktene på enhetssirkelen være negative, mens $y$-koordinatene vil være positive. Dermed er $$ \cos \varphi \lt 0 \and \sin \varphi \gt 0 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Finn fortegnet til $\cos \varphi$ og $\sin \varphi$ når $\varphi$ ligger i 3. kvadrant. :::::{answer} $$ \cos \varphi \lt 0 \and \sin \varphi \lt 0 $$ ::::{solution} I 3. kvadrant vil $x$-koordinatene og $y$-koordinatene til punktene på enhetssirkelen være negative. Dermed er $$ \cos \varphi \lt 0 \and \sin \varphi \lt 0 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Finn fortegnet til $\cos \varphi$ og $\sin \varphi$ når $\varphi$ ligger i 4. kvadrant. :::::{answer} $$ \cos \varphi \gt 0 \and \sin \varphi \lt 0 $$ ::::{solution} I 4. kvadrant vil $x$-koordinatene til punktene på enhetssirkelen være positive, mens $y$-koordinatene vil være negative. Dermed er $$ \cos \varphi \gt 0 \and \sin \varphi \lt 0 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 :::::::::::::{part} a Om en vinkel $\varphi$ får du vite at * $\cos \varphi \gt 0$ * $\tan \varphi \lt 0$ Hvilken kvadrant ligger vinkelen $\varphi$ i? :::::{answer} Vinkelen $\varphi$ ligger i 4. kvadrant. ::::{solution} Siden $\cos \varphi \gt 0$, vet vi at vinkelen ligger enten i 1. eller 4. kvadrant. Siden $\tan \varphi \lt 0$, vet vi at vinkelen må ligge i 4. kvadrant siden $\sin \varphi$ må være negativ, og dette er tilfellet i 4. kvadrant, men ikke i 1. kvadrant. Dermed ligger vinkelen $\varphi$ i 4. kvadrant. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Om en vinkel $\theta$ får du vite at * $\sin \theta \gt 0$ * $\tan \theta \gt 0$ Hvilken kvadrant ligger vinkelen $\theta$ i? :::::{answer} Vinkelen $\theta$ ligger i 1. kvadrant. ::::{solution} Siden $\sin \theta \gt 0$, vet vi at $\theta$ enten ligger i 1. kvadrant eller 2. kvadrant. Siden $\tan \theta \gt 0$, må $\cos \theta$ ha samme fortegn som $\sin \theta$. Dette er tilfellet i 1. kvadrant som betyr at $\theta$ må ligge i 1. kvadrant. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Om en vinkel $\gamma$ får du vite at * $\tan \gamma > 0$ I hvilke kvadranter kan vinkelen $\gamma$ ligge? :::::{answer} $\gamma$ ligger enten i 1. kvadrant eller 3. kvadrant. ::::{solution} Siden vi har at $$ \tan \gamma \gt 0 \and \tan \gamma = \dfrac{\sin \gamma}{\cos \gamma} $$ må det bety at $\sin \gamma$ og $\cos \gamma$ har samme fortegn. Det betyr at $\gamma$ enten ligger i 1. kvadrant eller 3. kvadrant. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Om en vinkel $\xi$ får du vite at * $\cos \xi \lt 0$ * $\sin \xi \gt 0$ Bestem fortegnet til $\tan \xi$ og hvilken kvadrant vinkelen $\xi$ ligger i. :::::{answer} $\tan \xi \lt 0$ og $\xi$ ligger i 2. kvadrant. ::::{solution} Vi har at $$ \tan \xi = \dfrac{\sin \xi}{\cos \xi} $$ som betyr at $\tan \xi$ må være negativ. Vinkelen $\xi$ må ligge i 2. kvadrant siden $\sin \xi$ er positiv og $\cos \xi$ er negativ. :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::::