# Trigonometriske funksjoner: Oppgaver :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} Hva er **amplituden** til grafen nedenfor? :::{plot} nocache: width: 60% fontsize: 24 let: A = 3 let: d = -1 let: T = 4 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 2 let: phi = - omega * x0 function: A * sin(omega * x + phi) + d ymin: -5 ymax: 5 ::: ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ A = 3 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ A = -1 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ A = 4 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ A = 2 $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er **likevektslinja** til grafen nedenfor? :::{plot} nocache: width: 60% fontsize: 24 let: A = 3 let: d = -1 let: T = 4 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 2 let: phi = - omega * x0 function: A * sin(omega * x + phi) + d ymin: -5 ymax: 5 ::: ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ d = -1 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d = 3 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d = 4 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ d = -2 $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er perioden til grafen nedenfor? :::{plot} nocache: fontsize: 24 width: 60% let: A = 2 let: d = 1 let: T = 2 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 1 let: phi = - omega * x0 function: A * cos(omega * x + phi) + d ymin: -3 ymax: 6 ::: ::::::{quiz-answer} $$ T = 3 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ T = 2 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ T = 1 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ T = \pi $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er perioden til grafen nedenfor? :::{plot} nocache: fontsize: 24 width: 60% let: A = 3 let: d = 2 let: T = 3 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 1 let: phi = - omega * x0 function: A * sin(omega * x + phi) + d ymin: -3 ymax: 6 ::: ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ T = 3 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ T = 2 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ T = 1 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ T = \pi $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 :::::::::::::{part} a :::{plot} nocache: width: 380px align: right fontsize: 24 let: A = 3 let: d = -1 let: T = 4 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 1 let: phi = - omega * x0 function: A * cos(omega * x + phi) + d, f ymin: -6 ymax: 6 ::: Funksjonen $f$ er vist i figuren til høyre. Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen $$ f(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: :::::::::::::{part} b :::{plot} nocache: width: 380px align: right fontsize: 24 let: A = 1 let: d = 3 let: T = 2 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 2 let: phi = - omega * x0 function: A * cos(omega * x + phi) + d, g ymin: 0 ymax: 6 ::: Funksjonen $g$ er vist i figuren til høyre. Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen $$ g(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: :::::::::::::{part} c :::{plot} nocache: width: 380px align: right fontsize: 24 let: A = 5 let: d = -1 let: T = 1 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 1/2 let: phi = - omega * x0 function: A * cos(omega * x + phi) + d, h ymin: -7 ymax: 7 xmin: -4 xmax: 4 ::: Funksjonen $h$ er vist i figuren til høyre. Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen $$ h(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: :::::::::::::{part} d :::{plot} nocache: width: 380px align: right fontsize: 24 let: A = 3 let: d = 1 let: T = 1/2 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 3/2 let: phi = - omega * x0 function: A * cos(omega * x + phi) + d, p ymin: -4 ymax: 7 xmin: -2 xmax: 2 ::: Funksjonen $p$ er vist i figuren til høyre. Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen $$ p(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 :::::::::::::{part} a :::{plot} nocache: width: 380px align: right fontsize: 24 let: A = 1 let: d = 2 let: T = 2 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 1/2 let: phi = - omega * x0 function: A * sin(omega * x + phi) + d, f ymin: 0 ymax: 5 ::: Funksjonen $f$ er vist i figuren til høyre. Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen $$ f(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: :::::::::::::{part} b :::{plot} nocache: width: 380px align: right fontsize: 24 let: A = 3 let: d = 1 let: T = 3 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 1/4 let: phi = - omega * x0 function: A * sin(omega * x + phi) + d, g ::: En trigonometrisk funksjon $g$ er vist i figuren til høyre. Bestem et funksjonsuttrykk på formen $$ g(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d $$ :::::{answer} $$ g(x) = 3 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 $$ ::::{solution} Vi kan først merke oss at $$ \begin{align*} y_\mathrm{topp} &= 4 \\ \\ y_\mathrm{bunn} &= -2 \\ \end{align*} $$ Da er amplituden gir ved $$ A = \frac{y_\mathrm{topp} - y_\mathrm{bunn}}{2} = \frac{4 - (-2)}{2} = 3 $$ Likevektslinja er gitt ved $$ d = \frac{y_\mathrm{topp} + y_\mathrm{bunn}}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = 1 $$ Perioden $T$ finner ved å se på den horisontale avstanden mellom to toppunkter som vi kan se er $T = 3$ siden grafen har et toppunkt både i $T = 1$ og $T = 4$. Vinkelfrekvensen er da $$ \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{3} $$ Nå må vi bestemme fasevinkelen $\varphi$. Vi har nå at $$ g(x) = 3 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x + \varphi\right) + 1 $$ For å finne fasevinkelen trenger vi ett punkt på grafen til $g$. Vi velger punktet $(1, 4)$ som gir oss likningen $$ g(1) = 4 \liff 3 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} + \varphi\right) + 1 = 4 $$ Vi setter $u = \frac{2 \pi}{3} + \varphi$ og får da den enkleste likningen som: $$ \sin u = 1 \liff u = \frac{\pi}{2} $$ Så setter vi tilbake definisjonen av $u$: $$ \frac{2 \pi}{3} + \varphi = \frac{\pi}{2} $$ som gir $$ \varphi = \frac{\pi}{2} - \frac{2 \pi}{3} = - \frac{\pi}{6} $$ Altså er et mulig funksjonsuttrykk for $g$ gitt ved $$ g(x) = 3 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c :::{plot} nocache: width: 380px align: right fontsize: 24 let: A = 1 let: d = 2 let: T = 2 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 1 let: phi = - omega * x0 function: A * sin(omega * x + phi) + d, h ymin: 0 ymax: 5 ::: Funksjonen $h$ er vist i figuren til høyre. Finn et mulig funksjonsuttrykk på formen $$ h(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d $$ :::{hint} Hint: Hvordan lese av perioden? Når vi ikke kan tydelig lese av toppunktet eller bunnpunktet til grafen, kan vi for eksempel se etter der grafen til $f$ skjærer likevektslinja på vei opp. Den horisontale avstanden mellom to slike punkter er lik perioden $T$. ::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} d :::{plot} nocache: width: 380px align: right fontsize: 24 let: A = 4 let: d = -2 let: T = 4 let: omega = 2 * pi / T let: x0 = 1 let: phi = - omega * x0 function: A * sin(omega * x + phi) + d, p ymin: -8 ymax: 6 ::: Funksjonen $p$ er vist i figuren til høyre. Finn et mulig funksjonsuttrykk på formen $$ p(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 3 \sin \left(2\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 1 $$ Hvilken graf nedenfor viser grafen til $f$? ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 24 --- :::{plot} width: 100% let: A = 3 let: omega = 2 * pi let: phi = - pi / 2 let: d = 1 function: A * sin(omega * x + phi) + d text: 5, 5, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} width: 100% let: A = 3 let: omega = 2 * pi let: phi = - pi / 2 let: d = -1 function: A * sin(omega * x + phi) + d text: 5, 5, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} width: 100% let: A = 3 let: omega = 2 * pi let: phi = + pi / 2 let: d = 1 function: A * sin(omega * x + phi) + d text: 5, 5, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} width: 100% let: A = 1 let: omega = 2 * pi let: phi = - pi / 2 let: d = 3 function: A * sin(omega * x + phi) + d text: 5, 5, "D", center-center, bbox ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2 \cos \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) - 2 $$ Hvilken graf nedenfor vises grafen til $f$? ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 fontsize: 24 --- :::{plot} width: 100% let: A = 2 let: omega = pi let: phi = - pi / 2 let: d = -2 function: A * cos(omega * x + phi) + d text: 5, 5, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} width: 100% let: A = 2 let: omega = pi let: phi = pi / 2 let: d = -2 function: A * cos(omega * x + phi) + d text: 5, 5, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} width: 100% let: A = 2 let: omega = 2*pi let: phi = - pi / 2 let: d = -2 function: A * cos(omega * x + phi) + d text: 5, 5, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} width: 100% let: A = 2 let: omega = pi let: phi = pi / 2 let: d = 2 function: A * cos(omega * x + phi) + d text: 5, 5, "D", center-center, bbox ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 :::::::::::::{part} a Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2 \cos \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) - 2 $$ Skriv om funksjonsuttrykket til formen $$ f(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Funksjonen $g$ er gitt ved $$ g(x) = 3 \sin \left(\frac{\pi}{2} x - \frac{\pi}{3}\right) + 1 $$ Skriv om funksjonsuttrykket til formen $$ g(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Funksjonen $h$ er gitt ved $$ h(x) = 2\sqrt{3} \cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - 3 $$ Skriv om funksjonsuttrykket til formen $$ h(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Funksjonen $p$ er gitt ved $$ p(x) = 3 \sin \left(\frac{2\pi}{3} x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 $$ Skriv om funksjonsuttrykket til formen $$ p(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d $$ ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x - \frac{\pi}{2}\right) + 1 \qder D_f = [-10, 10]. $$ :::::::::::::{part} a Finn perioden til grafen til $f$. ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Finn faseforskyvningen til grafen til $f$. ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Finn nullpunktene til $f$. ::::::::::::: :::::::::::::{part} d Finn koordinatene til topp- og bunnpunktene til $f$. ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = \sqrt{3} \cos (2x) + 3 \sin (2x) \qder D_f = \langle 0, 2\pi \rangle $$ :::::::::::::{part} a Bestem $A$, $\omega$ og $\varphi$ slik at likningen nedenfor er en identitet: $$ \sqrt{3} \cos (2x) + 3 \sin (2x) = A \cos (\omega x - \varphi) $$ :::::{answer} $$ A = 2 \sqrt{3} \and \omega = 2 \and \varphi = \dfrac{\pi}{3} $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Løs likningen $$ f(x) = 3 $$ :::::{answer} $$ x \in \left\{\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{13\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{4}\right\} $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::::