# Likninger :::{goals} Læringsmål * Kunne løse grunnleggende trigonometriske likninger * Kunne løse trigonometriske likninger ved å forenkle dem med variabelskifte * Kunne bruke trigonometriske identiteter til å forenkle likninger til grunnleggende trigonometriske likninger ::: Vi har sett at enhetssirkelen medfører at sinus og cosinus repeterer seg periodisk. Konsekvensen av dette er at trigonometriske likninger kan ha flere løsninger. ## Grunnlikninger :::::::::::::::{summary} Likningen $\cos x = k$ :::{plot} width: 100% axis: equal ticks: off align: right fontsize: 28 xlabel: $\cos x$ ylabel: $\sin x$ circle: (0, 0), 1 let: u = pi/4.5 let: v = -u line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue line-segment: (0, 0), (cos(v), sin(v)), blue line-segment: (cos(u), sin(u)), (cos(u), 0), dashed, red line-segment: (cos(v), sin(v)), (cos(v), 0), dashed angle-arc: (0, 0), 0.4, 0, u * 180/pi, red, arrow angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, v * 180/pi, red, arrow point: (cos(u), sin(u)) point: (cos(v), sin(v)) ::: Likningen $$ \cos x = k $$ har i hvert omløp av enhetssirkelen * to løsninger så lenge $k \in \langle -1, 1\rangle$ * når $k = -1$ eller $k = 1$ har likningen én løsning * når $\abs{k} > 1$ har likningen ingen løsning ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 Finn de generelle løsningene til likningen $$ \cos x = \dfrac{1}{2} $$ :::::{solution} --- open: --- :::{plot} width: 380px axis: equal ticks: off fontsize: 28 align: right circle: (0, 0), 1 let: u = pi/3 let: v = -pi/3 line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue line-segment: (0, 0), (cos(v), sin(v)), blue line-segment: (cos(u), sin(u)), (cos(u), 0), dashed line-segment: (cos(v), sin(v)), (cos(v), 0), dashed angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, u * 180/pi, red, arrow angle-arc: (0, 0), 0.25, 0, v * 180/pi, red, arrow point: (cos(u), sin(u)) point: (cos(v), sin(v)) xlabel: $\cos x$ ylabel: $\sin x$ text: 0.4 * cos(u/2), 0.4 * sin(u/2), "$x$", center-center text: 0.4 * cos(v/2), 0.4 * sin(v/2), "$-x$", center-center ::: Vi vet at i 1. kvadrant så er $$ \cos x = \dfrac{1}{2} \liff x = \dfrac{\pi}{3} $$ Men det finnes også en løsning i 4. kvadrant, som er speilet om $x$-aksen. Ergo er denne løsningen: $$ x = -\dfrac{\pi}{3} $$ Men om vi legger til eller trekker fra $2\pi$ til disse løsningene, ender vi opp på samme sted på enhetssirkelen siden det tilsvarer å rotere et fullt omløp rundt enhetssirkelen. Og det kan vi gjøre så mange ganger vi vil. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} width: 100% axis: equal ticks: off fontsize: 28 circle: (0, 0), 1 let: u = pi/3 line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue angle-arc: (0, 0), 0.4, 0, u * 180/pi, red, arrow angle-arc: (0, 0), 0.2, 0, (u + 6*pi) * 180/pi, purple, arrow point: (cos(u), sin(u)) text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$\frac{\pi}{3}$", center-center text: 0.4, -0.5, "$\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 3$", center-center xlabel: $\cos x$ ylabel: $\sin x$ ::: :::{plot} width: 100% axis: equal ticks: off fontsize: 28 circle: (0, 0), 1 let: u = -pi/3 line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue angle-arc: (0, 0), 0.4, 0, u * 180/pi, red, arrow angle-arc: (0, 0), 0.2, 0, (u + 4*pi) * 180/pi, purple, arrow point: (cos(u), sin(u)) text: 0.55 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$-\frac{\pi}{3}$", center-center text: -0.4, +0.4, "$-\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 2$", center-center xlabel: $\cos x$ ylabel: $\sin x$ ::: :::: Vi kan utføre vilkårlig mange omløp $n$ rundt enhetssirkelen i begge retninger. For den første løsningen betyr det $$ x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ For den andre løsningen betyr det at: $$ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ ::::: ::::::::::::::: :::::::::::::::{summary} Likningen $\sin x = k$ :::{plot} width: 100% axis: equal ticks: off align: right fontsize: 28 xlabel: $\cos x$ ylabel: $\sin x$ circle: (0, 0), 1 let: u = pi/4.5 let: v = pi - u line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue line-segment: (0, 0), (cos(v), sin(v)), blue line-segment: (cos(u), sin(u)), (cos(v), sin(v)), dashed, red angle-arc: (0, 0), 0.4, 0, u * 180/pi, red, arrow angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, v * 180/pi, red, arrow point: (cos(u), sin(u)) point: (cos(v), sin(v)) ::: Likningen $$ \sin x = k $$ har i hvert omløp av enhetssirkelen * to løsninger så lenge $k \in \langle -1, 1\rangle$ * når $k = -1$ eller $k = 1$ har likningen én løsning * når $\abs{k} > 1$ har likningen ingen løsning ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Finn løsningene til likningen $$ \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qfor x \in \langle -\pi, \pi\rangle $$ ::::{solution} --- open: --- :::{plot} width: 350px align: right fontsize: 28 axis: equal ticks: off xlabel: $\cos x$ ylabel: $\sin x$ circle: (0, 0), 1 let: u = -pi/3 let: v = pi + pi/3 line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue line-segment: (0, 0), (cos(v), sin(v)), blue line-segment: (cos(u), sin(u)), (cos(v), sin(v)), dashed, red angle-arc: (0, 0), 0.4, 0, u * 180/pi, red, arrow angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, v * 180/pi, red, arrow point: (cos(u), sin(u)) point: (cos(v), sin(v)) text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$x_1$", center-center text: 0.5 * cos(v/2), 0.5 * sin(v/2), "$x_2$", center-center ::: For likningen $$ \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ vil det være én vinkel i 3. kvadrant og én i 4. kvadrant per omløp i enhetssirkelen. I 4. kvadrant vil vinkelen kunne beskrives som $$ x = -\dfrac{\pi}{3} $$ I 3. kvadrant vil vinkelen kunne beskrives som $$ x = \pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} $$ Vi kan ta så mange omløp vi vil i positiv eller negativ omløpsretning som svarer til å legge til eller trekke fra $2\pi$ til vinklene. Altså blir de generelle løsningene $$ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \or x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ Men siden vi skal finne løsningene $x \in \langle -\pi, \pi\rangle$, må prøve ut ulike verdier for $n$ for å sjekke hvilke løsninger som faller innenfor intervallet. For den første av løsningene får vi: :::{table} --- width: 70% --- labels: $n$, $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n$ $-1$, $-\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{3}$ $0$, $-\dfrac{\pi}{3}$ $1$, $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$ ::: Vi finner at det bare er $x = -\dfrac{\pi}{3}$ som faller innenfor intervallet $\langle -\pi, \pi\rangle$. Så sjekker vi den andre løsningen: :::{table} labels: $n$, $x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot n$ $-1$, $\dfrac{4\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{2\pi}{3}$ $0$, $\dfrac{4\pi}{3}$ $1$, $\dfrac{4\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{10\pi}{3}$ ::: Vi ser at det bare er $x = -\dfrac{2\pi}{3}$ som faller innenfor intervallet $\langle -\pi, \pi\rangle$. Ergo er løsningene av likningen gitt ved $$ x = -\dfrac{\pi}{3} \or x = -\dfrac{2\pi}{3} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Likningen $\tan x = k$ :::{plot} width: 100% circle: (0, 0), 1 axis: equal ticks: off xlabel: $\cos x$ ylabel: $\sin x$ align: right let: u = pi/3 let: v = pi + u line-segment: (0, 0), (cos(u), sin(u)), blue line-segment: (0, 0), (cos(v), sin(v)), blue angle-arc: (0, 0), 0.4, 0, u * 180/pi, red, arrow angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, v * 180/pi, red, arrow point: (cos(u), sin(u)) point: (cos(v), sin(v)) text: 0.5 * cos(u/2), 0.5 * sin(u/2), "$x_1$", center-center text: 0.5 * cos(v/2), 0.5 * sin(v/2), "$x_1 + \pi$", center-center fontsize: 28 ::: Likningen $$ \tan x = k $$ har to løsninger per omløp i enhetssirkelen. Hvis én av løsningene er $x_1$, så vil de generelle løsningene være gitt ved $$ x = x_1 + \pi\cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 3 Løs likningen $$ \tan x = \sqrt{3} $$ ::::{solution} --- open: --- Siden $\tan x$ skal være positiv, så må løsningen ligge i 1. kvadrant eller 3. kvadrant siden $\sin x$ og $\cos x$ må ha samme fortegn. Vi skriver om likningen ved å bruke definisjonen av tangens: $$ \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \liff \sin x = \sqrt{3} \cos x $$ Så kvadrerer vi likningen på begge sider: $$ \sin^2 x = 3 \cos^2 x $$ Nå kan vi bruke Pytagoras' identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ til å skrive om likningen: $$ \sin^2 x = 3 (1 - \sin^2 x) \liff \sin^2 x = 3 - 3\sin^2 x \liff 4\sin^2 x = 3 \liff \sin^2 x = \dfrac{3}{4} $$ altså er $$ \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ Siden vinkelen må ligge i 1. kvadrant, så har vi at én løsning er $x = \dfrac{\pi}{3}$. Resten av de generelle løsningene er da gitt ved $$ x = \dfrac{\pi}{3} + \pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ :::: ::::::::::::::: ## Løsning med variabelskifte I mange likninger, så jobber vi ikke med enkle uttrykk som $\cos x$ og $\sin x$, men heller mer sammensatte uttrykk som $\cos 2x$ eller $\sin \left(\dfrac{x}{2} - \pi\right)$. Da kan det være lurt å gjøre et variabelskifte for å forenkle likningen til en grunnlikning. :::::::::::::::{example} Eksempel 4 Gitt likningen $$ \sin \left(\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ Finn løsningene for alle $x \in \langle -2, 2 \rangle$. ::::{solution} --- open: --- Gitt likningen $$ \sin \left(\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ gjør vi variabelskiftet $$ u = \pi x - \dfrac{\pi}{2} $$ slik at likningen kan skrives om til $$ \sin u = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ Så løser vi likningen for $u$, før vi deretter løser for $x$. Først og fremst har vi at $\sin u = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dersom $$ u = \dfrac{\pi}{4} \or u = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} $$ Men dette er bare spesielle løsninger for $u$. Vi kan legge til eller trekke fra $2\pi$ så mange ganger vi vil og fortsatt få samme sinusverdi. Dermed er de generelle løsningene: $$ u = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi \cdot n \or u = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ Nå setter vi tilbake definisjonen av variabelen $u$ for å løse likningene for $x$: $$ \pi x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi \cdot n \or \pi x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot n $$ som gir $$ \pi x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n \or \pi x = \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n $$ som vi forenkler til: $$ \pi x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot n \or \pi x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi \cdot n $$ Så deler vi begge likningene med $\pi$ for å få $x$ alene: $$ x = \dfrac{3}{4} + 2 \cdot n \or x = \dfrac{5}{4} + 2 \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ Så sjekker vi hvilke løsninger som ligger i intervallet $\langle -2, 2 \rangle$. For den første løsningen får vi: :::{table} --- width: 70% --- labels: $n$, $x = \dfrac{3}{4} + 2 \cdot n$ $-2$, $\dfrac{3}{4} - 4 = -\dfrac{13}{4}$ $-1$, $\dfrac{3}{4} - 2 = -\dfrac{5}{4}$ $0$, $\dfrac{3}{4}$ $1$, $\dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{11}{4}$ $2$, $\dfrac{3}{4} + 4 = \dfrac{19}{4}$ ::: Altså ligger $x \in \left\{-\dfrac{5}{4}, \dfrac{3}{4}\right\}$ i intervallet $\langle -2, 2 \rangle$. Så sjekker vi den andre løsningen: :::{table} --- width: 70% --- labels: $n$, $x = \dfrac{5}{4} + 2 \cdot n$ $-2$, $\dfrac{5}{4} - 4 = -\dfrac{11}{4}$ $-1$, $\dfrac{5}{4} - 2 = -\dfrac{3}{4}$ $0$, $\dfrac{5}{4}$ $1$, $\dfrac{5}{4} + 2 = \dfrac{13}{4}$ $2$, $\dfrac{5}{4} + 4 = \dfrac{21}{4}$ ::: Altså ligger $x \in \left\{-\dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{4}\right\}$ i intervallet $\langle -2, 2 \rangle$. Ergo er alle løsningene til likningen $$ x \in \left\{-\dfrac{5}{4}, -\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{4}\right\} $$ :::: ::::::::::::::: ## Løsning med identiteter I en del trigonometriske likninger, må vi først bruke en trigonometrisk identitet for å forenkle likningen før vi kan få en likning vi kan løse. :::::::::::::::{example} Eksempel 5 Løs likningen $$ \cos^2 (\pi x) - \sin^2 \left(\pi x\right) = \dfrac{1}{2} \qfor x \in \langle 0, 1\rangle $$ ::::{solution} --- open: --- Vi kan først merke oss at $$ \cos^2 (\pi x) - \sin^2 \left(\pi x\right) = \cos \left(2\pi x\right) $$ Dermed kan vi skrive om likningen til $$ \cos \left(2\pi x\right) = \dfrac{1}{2} $$ Vi setter $u = 2\pi x$ for å gjøre et variabelskifte, og får $$ \cos u = \dfrac{1}{2} $$ Vi løser likningen for $u$ som gir oss: $$ u = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \or u = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ Så setter vi tilbake definisjonen av $u$: $$ 2\pi x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \or 2\pi x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n $$ Så deler vi med $2\pi$ for å få $x$ alene: $$ x = -\dfrac{1}{6} + n \or x = \dfrac{1}{6} + n \qfor n \in \mathbb{Z} $$ Vi skal bare finne spesielle løsninger for $x \in \langle 0, 1\rangle$. For den første løsningen får vi: :::{table} --- width: 70% --- labels: $n$, $x = -\dfrac{1}{6} + n$ $0$, $-\dfrac{1}{6}$ $1$, $-\dfrac{1}{6} + 1 = \dfrac{5}{6}$ $2$, $-\dfrac{1}{6} + 2 = \dfrac{11}{6}$ ::: Altså er det bare $x = \dfrac{5}{6}$ som ligger i intervallet $\langle 0, 1\rangle$. Så sjekker vi den andre løsningen: :::{table} --- width: 70% --- labels: $n$, $x = \dfrac{1}{6} + n$ $0$, $\dfrac{1}{6}$ $1$, $\dfrac{1}{6} + 1 = \dfrac{7}{6}$ ::: Altså er det bare $x = \dfrac{1}{6}$ som ligger i intervallet $\langle 0, 1\rangle$. Den fullstendige løseningen til likningen er dermed $$ x \in \left\{\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{6}\right\} $$ :::: :::::::::::::::