Oppgaver: Følger og rekker#
Oppgave 1#
En tallfølge \(\{a_n\}\) er gitt ved
\[
1, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
\]
a)
Bestem \(a_4\).
\[
a_4 = 16
\]
b)
Finn \(a_2 + a_3 + a_4\).
\[
a_2 + a_3 + a_4 = 28
\]
Oppgave 2#
Regn ut summene nedenfor.
a)
\[
\sum_{n = 1}^5 (2n + 1)
\]
\[
\sum_{n = 1}^5 (2n + 1) = 35
\]
\[\begin{split}
\begin{align*}
\sum_{n = 1}^5 (2n + 1) &= (2 \cdot 1 + 1) + (2 \cdot 2 + 1) + (2 \cdot 3 + 1) + (2 \cdot 4 + 1) + (2 \cdot 5 + 1) \\
&= 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \\
\\
&= 35
\end{align*}
\end{split}\]
b)
\[
\sum_{n = 2}^4 (n^2 - 1)
\]
\[
\sum_{n = 2}^4 (n^2 - 1) = 26
\]
\[\begin{split}
\begin{align*}
\sum_{n = 2}^4 (n^2 - 1) &= (2^2 - 1) + (3^2 - 1) + (4^2 - 1) \\
&= 3 + 8 + 15 \\
\\
&= 26
\end{align*}
\end{split}\]
c)
\[
\sum_{n = 0}^3 2^n
\]
\[
\sum_{n = 0}^3 2^n = 15
\]
\[\begin{split}
\begin{align*}
\sum_{n = 0}^3 2^n &= 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 \\
&= 1 + 2 + 4 + 8 \\
\\
&= 15
\end{align*}
\end{split}\]
Oppgave 3#
En følge \(\{a_n\}\) er definert av den rekursive formelen
\[
a_{n + 1} = a_n + 3 \qder a_1 = 2.
\]
a)
Bestem \(a_4\).
\[
a_4 = 11
\]
Vi bruker den rekursive formelen til å regne oss fra \(a_1\) fram til \(a_4\):
\[\begin{split}
\begin{align*}
a_2 &= a_1 + 3 = 2 + 3 = 5 \\
\\
a_3 &= a_2 + 3 = 5 + 3 = 8 \\
\\
a_4 &= a_3 + 3 = 8 + 3 = 11
\end{align*}
\end{split}\]
b)
Regn ut \(\sum\limits_{n = 1}^4 a_n\)
\[
\sum\limits_{n = 1}^4 a_n = 26
\]
Vi regner ut summen:
\[\begin{split}
\begin{align*}
\sum\limits_{n = 1}^4 a_n &= a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \\
\\
&= 2 + 5 + 8 + 11 \\
\\
&= 26
\end{align*}
\end{split}\]
Oppgave 4#
En rekke \(S\) er gitt ved
\[
S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots
\]
a)
Finn delsummen \(S_5\).
b)
Finn en rekursiv formel for delsummen \(S_N\).
Oppgave 5#
En følge \(\{a_n\}\) er gitt ved
\[
1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots
\]
a)
Finn en rekursjonsformel som gir en sammenheng mellom \(a_{n + 1}\) og \(a_n\).
b)
Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).
Oppgave 6#
En rekke er gitt ved
\[
R = \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}
\]
a)
Konjugatsetningen sier at \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).
Gang med noe i teller og nevner ved å bruke konjugatsetningen så du blir kvitt brøkene.
Vis at
\[
\dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}
\]
b)
Bestem \(R\).