8. Brøkregelen#
Læringsmål
Kunne bruke brøkregelen til å derivere brøker av funksjoner.
Brøkregelen#
La en funksjon \(f\) være på formen
\[
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
\]
Da er den deriverte av funksjonen
\[
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}
\]
Vi skriver denne regelen mer kompakt som
\[
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]
Eksempel 1#
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[
f(x) = \dfrac{e^x}{x}
\]
Bestem \(f'(x)\).
Brøkregelen gir at
\[\begin{split}
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} \\
\\
&= \dfrac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} \\
\\
&= \dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}
\end{align*}
\end{split}\]
Underveisoppgave 1#
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[
f(x) = \dfrac{e^{-2x}}{x^2}
\]
Bestem \(f'(x)\).
\[
f'(x) = \frac{-2e^{-2x}(x + 1)}{x^3}
\]
\[\begin{split}
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{(e^{-2x})' \cdot x^2 - e^{-2x} \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} \\
\\
&= \frac{-2e^{-2x} \cdot x^2 - e^{-2x} \cdot 2x}{x^4} \\
\\
&= \frac{-2e^{-2x}(x^2 + x)}{x^4} \\
\\
&= \frac{-2e^{-2x}(x + 1)}{x^3}
\end{align*}
\end{split}\]