Kontinuitet

12. Kontinuitet#

Læringsmål

  • Kunne avgjøre om delte funksjoner er kontinuerlig i et punkt.

  • Kunne avgjøre om en funksjon er kontinuerlig i et punkt ved å bruke grenseverdier.

Intuitivt er en funksjon kontinuerlig i et punkt dersom grafen til funksjonen ikke har noen “hull” eller “hopp” i punktet.

Kontinuitet for delte funksjoner#

Kontinuitet: Delte funksjoner

En funksjon \(f\) på formen

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} g(x) & \qhvis x \lt a \\ \\ h(x) & \qhvis x \geq a \end{cases} \end{split}\]

er kontinuerlig i punktet \(x = a\) dersom \(g(a) = h(a)\).

Eksempel 1

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \qhvis x \lt 1 \\ \\ x^2 + 2 & \qhvis x \geq 1 \end{cases} \end{split}\]

Avgjør om \(f\) er i kontinuerlig i punktet \(x = 1\).

Løsning

Vi lar

\[ g(x) = 2x + 1 \qog h(x) = x^2 + 2 \]

Da er \(f\) kontinuerlig i \(x = 1\) dersom \(g(1) = h(1)\). Vi sjekker:

\[ g(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \]
\[ h(1) = 1^2 + 2 = 3 \]

Altså er \(g(1) = h(1)\), og \(f\) er kontinuerlig i punktet \(x = 1\).

Eksempel 2

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} ax - 3 & \qhvis x \lt 2 \\ \\ x^2 + 3 & \qhvis x \geq 2 \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(a\) slik at \(f\) er kontinuerlig i punktet \(x = 2\).

Løsning

Vi lar

\[ g(x) = ax - 3 \qog h(x) = x^2 + 3 \]

Da er \(f\) kontinuerlig i \(x = 2\) dersom \(g(2) = h(2)\). Vi setter opp likningen:

\[ g(2) = h(2) \liff a \cdot 2 - 3 = 2^2 + 3 \]
\[ 2a - 3 = 4 + 3 \liff 2a = 10 \liff a = 5 \]

Altså er \(f\) kontinuerlig i punktet \(x = 2\) dersom \(a = 5\).

Kontinuitet ved hjelp av grenseverdier#

Noen ganger vil vi jobbe med delte funksjoner som er bygget av funksjoner som ikke er definert i bruddpunktene til funksjonen. Da trenger vi en mer generell måte å tenke på kontinuitet. Her kommer grenseverdier til unnsetning.

Kontinuitet med grenseverdier

En funksjon \(f\) er kontinuerlig i et punkt \(x = a\) dersom:

  1. Grenseverdien \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) eksisterer.

  2. \(f(a)\) er definert.

  3. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

Eksempel 3

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 8}{x - 2} & \qhvis x \neq 2 \\ \\ a & \qhvis x = 2 \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(a\) slik at \(f\) er kontinuerlig i punktet \(x = 2\).

Løsning

Vi prøver først å finne grenseverdien \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\). For \(x \neq 2\) så er \(f(x) = \dfrac{x^3 - 8}{x - 2}\), så da får vi

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \dfrac{2^3 - 8}{2 - 2} = \dfrac{0}{0} \]

Vi får et ubestemt uttrykk på formen \(0/0\), så vi kan bruke L’Hôpitals regel for å regne ut grenseverdien. Vi deriverer teller og nevner hver for seg:

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} \overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 2} \frac{3x^2}{1} = 3 \cdot 2^2 = 12 \]

Siden \(f(2) = a\), må vi derfor kreve at \(a = 12\) for at \(f\) skal være kontinuerlig i punktet \(x = 2\). Bare da er

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 12 \]