Oppgaver: Vektorer

Oppgave 1

Ta quizen nedenfor!

I koordinatsystemet nedenfor er en vektor \(\vec{a}\) tegnet inn.

Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til \(\vec{a}\)?

\[ \vec{a} = [1, 2] \]

\[ \vec{a} = [2, 1] \]

\[ \vec{a} = [-2, 1] \]

\[ \vec{a} = [2, -1] \]

I koordinatsystemet nedenfor er en vektor \(\vec{b}\) er tegnet inn.

Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til \(\vec{b}\)?

\[ \vec{b} = [-4, 3] \]

\[ \vec{b} = [4, 3] \]

\[ \vec{b} = [-3, 4] \]

\[ \vec{b} = [3, -4] \]

I koordinatsystemet nedenfor er en vektor \(\vec{c}\) tegnet inn.

Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til \(\vec{c}\)?

\[ \vec{c} = [5, 1] \]

\[ \vec{c} = [1, 5] \]

\[ \vec{c} = [3, 2] \]

\[ \vec{c} = [-2, 1] \]

I koordinatsystemet nedenfor er en vector \(\vec{d}\) tegnet inn.

Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til \(\vec{d}\)?

\[ \vec{d} = [2, 0] \]

\[ \vec{d} = [0, 2] \]

\[ \vec{d} = [3, 4] \]

\[ \vec{d} = [1, 4] \]

I koordinatsystemet nedenfor er en vektor \(\vec{p}\) tegnet inn.

Hvilket av alternativene nedenfor viser vektorkoordinatene til \(\vec{p}\)?

\[ \vec{p} = [0, 7] \]

\[ \vec{p} = [3, 5] \]

\[ \vec{p} = [3, -2] \]

\[ \vec{p} = [5, 7] \]

---

Oppgave 2

a

I koordinatssystemet til høyre vises en vektor \(\vec{a}\).

Bestem vektorkoordinatene til \(\vec{a}\).

Vis fasit

\[ \vec{a} = [2, 1] \]

b

I koordinatsystemet til høyre vises en vektor \(\vec{b}\).

Bestem vektorkoordinatene til \(\vec{b}\).

Vis fasit

\[ \vec{b} = [2, -3] \]

c

I koordinatsystemet til høyre vises en vektor \(\vec{c}\).

Bestem vektorkoordinatene til \(\vec{c}\).

Vis fasit

\[ \vec{c} = [4, 3] \]

d

I koordinatsystemet til høyre vises en vektor \(\vec{d}\).

Bestem vektorkoordinatene til \(\vec{d}\).

Vis fasit

\[ \vec{d} = [-2, -4] \]

---

Oppgave 3

a

I koordinatsystemet til høyre vises to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\).

Avgjør om vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er like.

Vis fasit

Vektorene er like.

b

I koordinatsystemet til høyre er to vektorer \(\vec{c}\) og \(\vec{d}\) tegnet inn.

Avgjør om vektorene \(\vec{c}\) og \(\vec{d}\) er like.

Vis fasit

Vektorene er ikke like.

c

I koordinatsystemet til høyre er tre vektorer \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) og \(\vec{c}\) tegnet inn.

Avgjør om noen av vektorene er like.

Vis fasit

Vektorene \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er like.

---

Oppgave 4

a

I koordinatsystemet til høyre er en vektor \(\vec{a}\) tegnet inn.

Bestem \(\abs{\vec{a}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{17} \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{(5-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \]

b

I koordinatsystemet til høyre er en vektor \(\vec{b}\) tegnet inn.

Bestem \(\abs{\vec{b}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{13} \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{(1-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]

c

I koordinatsystemet til høyre er en vektor \(\vec{c}\) tegnet inn.

Bestem \(\abs{\vec{c}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{c}} = 4\sqrt{2} \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{2\cdot 16} = 4\sqrt{2} \]

---

Oppgave 5

a

En vektor \(\vec{a}\) er gitt ved

\[ \vec{a} = [2, 5] \]

Bestem \(\abs{\vec{a}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{29} \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \]

b

En vektor \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ \vec{b} = [-3, 1] \]

Bestem \(\abs{\vec{b}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{10} \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

c

En vektor \(\vec{c}\) er gitt ved

\[ \vec{c} = [4, -4] \]

Bestem \(\abs{\vec{c}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{c}} = 4\sqrt{2} \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{2\cdot 16} = 4\sqrt{2} \]

d

En vektor \(\vec{d}\) er gitt ved

\[ \vec{d} = [-1, -7] \]

Bestem \(\abs{\vec{d}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{d}} = 5\sqrt{2} \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{d}} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

---

Oppgave 6

Noen ganger er det lurt å faktorisere ut en skalar fra vektoren og bruke at \(\abs{k\cdot \vec{a}} = \abs{k} \cdot \abs{\vec{a}}\) for å kunne skrive lengden av vektoren så enkelt som mulig. Prøv dette i denne oppgaven.

a

En vektor \(\vec{a}\) er gitt ved

\[ \vec{a} = [6, -8] \]

Bestem \(\abs{\vec{a}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{a}} = 10 \]

Vis løsningsforslag

Vi kan skrive vektoren som

\[ \vec{a} = [6, -8] = 2 \cdot [3, -4] \]

Dermed blir lengden:

\[ \abs{\vec{a}} = \abs{2} \cdot \abs{[3, -4]} = 2 \cdot \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 2 \cdot \sqrt{9 + 16} = 2 \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10. \]

b

En vektor \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ \vec{b} = [-2, 14] \]

Bestem \(\abs{\vec{b}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{b}} = 10\sqrt{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi kan skrive vektoren som

\[ \vec{b} = [-2, 14] = 2\cdot [-1, 7] \]

Da blir lengden

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\vec{b}} &= \abs{2} \cdot \abs{[-1, 7]} = 2 \cdot \sqrt{(-1)^2 + 7^2} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{1 + 49} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{50} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 25} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{25} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \\ \\ &= 10 \sqrt{2} \end{align*} \end{split}\]

c

En vektor \(\vec{c}\) er gitt ved

\[ \vec{c} = [9, 12] \]

Bestem \(\abs{\vec{c}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{c}} = 15. \]

Vis løsningsforslag

Vi kan skrive vektoren som

\[ \vec{c} = [9, 12] = 3 \cdot [3, 4] \]

Da blir lengden

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\vec{c}} &= \abs{3} \cdot \abs{[3, 4]} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{9 + 16} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{25} \\ \\ &= 3 \cdot 5 \\ \\ &= 15 \end{align*} \end{split}\]

d

En vektor \(\vec{d}\) er gitt ved

\[ \vec{d} = [21, -3] \]

Bestem \(\abs{\vec{d}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{d}} = 15\sqrt{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi kan skrive vektoren som

\[ \vec{d} = [21, -3] = 3 \cdot [7, -1] \]

Da blir lengden

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\vec{d}} &= \abs{3} \cdot \abs{[7, -1]} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{7^2 + (-1)^2} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{49 + 1} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{50} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 25} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{25} \\ \\ &= 3 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \\ \\ &= 15 \sqrt{2} \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 7

a

Tre vektorer \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) og \(\vec{c}\) er gitt ved

\[ \vec{a} = [3, -4] \qog \vec{b} = [8, -1] \qog \vec{c} = [6, 2] \]

Sorter vektorene i stigende rekkefølge etter lengde.

Vis fasit

\[ \abs{\vec{a}} < \abs{\vec{c}} < \abs{\vec{b}} \]

Vis løsningsforslag

Vi regner ut lengden til hver vektor:

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{8^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \]

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Dermed har vi at vektorene sortert i stigende rekkefølge etter lengde er

\[ \abs{\vec{a}} < \abs{\vec{c}} < \abs{\vec{b}} \]

b

Tre vektorer \(\vec{p}\), \(\vec{q}\) og \(\vec{r}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = [2, 7] \qog \vec{q} = [-1, 9] \qog \vec{r} = [3, -6] \]

Sorter vektorene i stigende rekkefølge etter lengde.

Vis fasit

\[ \abs{\vec{r}} \lt \abs{\vec{p}} \lt \abs{\vec{q}} \]

Vis løsningsforslag

Vi regner ut lengden til hver vektor:

\[ \abs{\vec{p}} = \sqrt{2^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \]

\[ \abs{\vec{q}} = \sqrt{(-1)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} \]

\[ \abs{\vec{r}} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Dermed har vi at vektorene sortert i stigende rekkefølge etter lengde er

\[ \abs{\vec{r}} \lt \abs{\vec{p}} \lt \abs{\vec{q}} \]

c

Tre vektorer \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) og \(\vec{w}\) er gitt ved

\[ \vec{u} = [12, -5] \qog \vec{v} = [-11, 7] \qog \vec{w} = [10, 3] \]

Sorter vektorene i stigende rekkefølge etter lengde.

Vis fasit

\[ \abs{\vec{w}} \lt \abs{\vec{u}} \lt \abs{\vec{v}} \]

Vis løsningsforslag

Vi regner ut lengden til hver vektor:

\[ \abs{\vec{u}} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]

\[ \abs{\vec{v}} = \sqrt{(-11)^2 + 7^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170} \]

\[ \abs{\vec{w}} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109} \]

Dermed har vi at vektorene sortert i stigende rekkefølge etter lengde er

\[ \abs{\vec{w}} \lt \abs{\vec{u}} \lt \abs{\vec{v}} \]

---

Oppgave 8

a

To vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ \vec{a} = [1, 2] \qog \vec{b} = [3, 1] \]

Bestem \(\vec{a} + \vec{b}\).

Vis fasit

\[ \vec{a} + \vec{b} = [4, 3] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{a} + \vec{b} = [1 + 3, 2 + 1] = [4, 3] \]

b

To vektorer \(\vec{c}\) og \(\vec{d}\) er gitt ved

\[ \vec{c} = [-2, 4] \qog \vec{d} = [1, -3] \]

Bestem \(\vec{c} + \vec{d}\).

Vis fasit

\[ \vec{c} + \vec{d} = [-1, 1] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{c} + \vec{d} = [-2 + 1, 4 + (-3)] = [-1, 1] \]

c

To vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = [0, 5] \qog \vec{q} = [4, -2] \]

Bestem \(\vec{p} + \vec{q}\).

Vis fasit

\[ \vec{p} + \vec{q} = [4, 3] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{p} + \vec{q} = [0 + 4, 5 + (-2)] = [4, 3] \]

d

To vektorer \(\vec{r}\) og \(\vec{s}\) er gitt ved

\[ \vec{r} = [-3, -1] \qog \vec{s} = [2, 4] \]

Bestem \(\vec{r} + \vec{s}\).

Vis fasit

\[ \vec{r} + \vec{s} = [-1, 3] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{r} + \vec{s} = [-3 + 2, -1 + 4] = [-1, 3] \]

---

Oppgave 9

a

To vektor \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ \vec{a} = [5, 3] \qog \vec{b} = [2, 4] \]

Bestem \(\vec{b} - \vec{a}\) og \(\vec{a} - \vec{b}\).

Vis fasit

\[ \vec{b} - \vec{a} = [-3, 1] \qog \vec{a} - \vec{b} = [3, -1] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{b} - \vec{a} = [2 - 5, 4 - 3] = [-3, 1] \]

\[ \vec{a} - \vec{b} = [5 - 2, 3 - 4] = [3, -1] \]

b

To vektorer \(\vec{c}\) og \(\vec{d}\) er gitt ved

\[ \vec{c} = [1, 6] \qog \vec{d} = [4, 2] \]

Bestem \(\vec{d} - \vec{c}\) og \(\vec{c} - \vec{d}\).

Vis fasit

\[ \vec{d} - \vec{c} = [3, -4] \qog \vec{c} - \vec{d} = [-3, 4] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{d} - \vec{c} = [4 - 1, 2 - 6] = [3, -4] \]

\[ \vec{c} - \vec{d} = [1 - 4, 6 - 2] = [-3, 4] \]

c

To vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = [3, 5] \qog \vec{q} = [1, 7] \]

Bestem \(\vec{q} - \vec{p}\) og \(\vec{p} - \vec{q}\).

Vis fasit

\[ \vec{q} - \vec{p} = [-2, 2] \qog \vec{p} - \vec{q} = [2, -2] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{q} - \vec{p} = [1 - 3, 7 - 5] = [-2, 2] \]

d

To vektorer \(\vec{r}\) og \(\vec{s}\) er gitt ved

\[ \vec{r} = [0, 4] \qog \vec{s} = [5, 1] \]

Bestem \(\vec{s} - \vec{r}\) og \(\vec{r} - \vec{s}\).

Vis fasit

\[ \vec{s} - \vec{r} = [5, -3] \qog \vec{r} - \vec{s} = [-5, 3] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{s} - \vec{r} = [5 - 0, 1 - 4] = [5, -3] \]

\[ \vec{r} - \vec{s} = [0 - 5, 4 - 1] = [-5, 3] \]

---

Oppgave 10

En vektor \(\vec{a}\) har lengden \(\abs{\vec{a}} = 5\).

a

En vektor \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ \vec{b} = 2 \vec{a}. \]

Bestem \(\abs{\vec{b}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{b}} = 10 \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{b}} = \abs{2 \vec{a}} = 2 \abs{\vec{a}} = 2 \cdot 5 = 10 \]

b

En annen vektor \(\vec{c}\) er gitt ved

\[ \vec{c} = -3 \vec{a}. \]

Bestem \(\abs{\vec{c}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{c}} = 15 \]

Vis løsningsforslag

\[ \abs{\vec{c}} = \abs{-3 \vec{a}} = \abs{-3} \abs{\vec{a}} = 3 \cdot 5 = 15 \]

c

En vektor \(\vec{d}\) er gitt ved

\[ \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}. \]

Bestem \(\abs{\vec{d}}\).

Vis fasit

\[ \abs{\vec{d}} = 5 \]

Vis løsningsforslag

Vektoren \(\vec{d}\) er gitt ved:

\[ \vec{d} = \vec{b} + \vec{c} = 2\vec{a} + (-3\vec{a}) = -\vec{a} \]

Da blir lengden av vektoren \(\vec{d}\):

\[ \abs{\vec{d}} = \abs{-\vec{a}} = \abs{-1} \abs{\vec{a}} = 1 \cdot 5 = 5 \]

---

Oppgave 11

a

En vektor \(\vec{a}\) er gitt ved

\[ \vec{a} = [1, 2] \]

En annen vektor \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ \vec{b} = 3\vec{a} \]

Bestem vektorkoordinatene til \(\vec{b}\).

Vis fasit

\[ \vec{b} = [3, 6] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{b} = 3 \vec{a} = 3 \cdot [1, 2] = [3 \cdot 1, 3 \cdot 2] = [3, 6] \]

b

En vektor \(\vec{c}\) er gitt ved

\[ \vec{c} = [-2, 4] \]

En annen vektor \(\vec{d}\) er gitt ved

\[ \vec{d} = -2\vec{c} \]

Bestem vektorkoordinatene til \(\vec{d}\).

Vis fasit

\[ \vec{d} = [4, -8] \]

Vis løsningsforslag

\[ \vec{d} = -2 \vec{c} = -2 \cdot [-2, 4] = [(-2) \cdot (-2), (-2) \cdot 4] = [4, -8] \]

c

To vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = [3, -1] \qog \vec{q} = [9, -3] \]

En annen vektor \(\vec{r}\) er gitt ved

\[ \vec{r} = 2\vec{p} - 3\vec{q} \]

Bestem vektorkoordinatene til \(\vec{r}\).

Vis fasit

\[ \vec{r} = [-21, 7] \]

Vis løsningsforslag

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r} &= 2 \vec{p} - 3 \vec{q} \\ \\ &= 2 \cdot [3, -1] - 3 \cdot [9, -3] \\ \\ & = [6, -2] + [-27, 9] \\ \\ &= [6 - 27, -2 + 9] \\ \\ &= [-21, 7] \end{align*} \end{split}\]

d

To vektorer \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\) er gitt ved

\[ \vec{u} = [4, 2] \qog \vec{v} = [8, 4] \]

En annen vektor \(\vec{w}\) er gitt ved

\[ \vec{w} = -\dfrac{1}{2}\vec{u} + 3\vec{v} \]

Bestem vektorkoordinatene til \(\vec{w}\).

Vis fasit

\[ \vec{w} = [22, 11] \]

Vis løsningsforslag

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{w} &= -\dfrac{1}{2} \vec{u} + 3 \vec{v} \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot [4, 2] + 3 \cdot [8, 4] \\ \\ &= [-2, -1] + [24, 12] \\ \\ &= [-2 + 24, -1 + 12] \\ \\ &= [22, 11] \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 12

a

I koordinatsystemet til høyre er to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) tegnet inn.

1. Avgjør om \(\vec{a} \parallel \vec{b}\).

2. Hvis ja, bestem \(k\) slik at \(\vec{b} = k \cdot \vec{a}\).

Vis fasit

1. Vektorene er parallelle.

2. \(k = 3\).

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \vec{a} = [2 - 1, 2 - 1] = [1, 1] \qog \vec{b} = [4 - 1, 5 - 2] = [3, 3]. \]

Vi setter opp likningen

\[ [3, 3] = k \cdot [1, 1]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ 3 = k \cdot 1 \and 3 = k \cdot 1. \]

Begge likninger gir oss at \(k = 3\), så dermed er vektorene parallelle og \(k = 3\) for at

\[ \vec{b} = k \cdot \vec{a}. \]

b

I koordinatsystemet til høyre er to vektorer \(\vec{c}\) og \(\vec{d}\) tegnet inn.

1. Avgjør om \(\vec{c} \parallel \vec{d}\).

2. Hvis ja, bestem \(k\) slik at \(\vec{d} = k \cdot \vec{c}\).

Vis fasit

1. Vektorene er parallelle.

2. \(k = -1\).

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \vec{c} = [3 - 1, 5 - 3] = [2, 2] \qog \vec{d} = [2 - 4, -3 - (-1)] = [-2, -2]. \]

Vi setter opp likningen

\[ [-2, -2] = k \cdot [2, 2]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ -2 = k \cdot 2 \and -2 = k \cdot 2. \]

Begge likninger gir oss at \(k = -1\), så dermed er vektorene parallelle og \(k = -1\) for at

\[ \vec{d} = k \cdot \vec{c}. \]

c

I koordinatsystemet til høyre er to vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) tegnet inn.

1. Avgjør om \(\vec{p} \parallel \vec{q}\).

2. Hvis ja, bestem \(k\) slik at \(\vec{q} = k \cdot \vec{p}\).

Vis fasit

Vektorene er ikke parallelle.

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \vec{p} = [4 - (-1), 5 - 1] = [5, 4] \qog \vec{q} = [1 - 2, -4 - (-3)] = [-1, -1]. \]

Vi setter opp likningen

\[ [-1, -1] = k \cdot [5, 4]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ -1 = k \cdot 5 \and -1 = k \cdot 4. \]

som gir oss at

\[ k = -\dfrac{1}{5} \qog k = -\dfrac{1}{4}. \]

Her får vi to forskjellige verdier for \(k\) som betyr at vektorene ikke er parallelle.

d

I koordinatsystemet til høyre er to vektorer \(\vec{r}\) og \(\vec{s}\) tegnet inn.

1. Avgjør om \(\vec{r} \parallel \vec{s}\).

2. Hvis ja, bestem \(k\) slik at \(\vec{s} = k \cdot \vec{r}\).

Vis fasit

1. Vektorene er parallelle.

2. \(k = -\dfrac{1}{2}\).

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \vec{r} = [(-1 + 2) - (-1), (0 + 4) - 0] = [2, 4] \qog \vec{s} = [(4 + -1) - 4, (4 + -2) - 4] = [-1, -2]. \]

Vi setter opp likningen

\[ [-1, -2] = k \cdot [2, 4]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ -1 = k \cdot 2 \and -2 = k \cdot 4. \]

Begge likninger gir oss at \(k = -\dfrac{1}{2}\), så dermed er vektorene parallelle og \(k = -\dfrac{1}{2}\) for at

\[ \vec{s} = k \cdot \vec{r}. \]

---

Oppgave 13

a

To vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ \vec{a} = [2, 3] \qog \vec{b} = [4, 6] \]

Avgjør om \(\vec{a} \parallel \vec{b}\).

Vis fasit

Vektorene er parallelle.

Vis løsningsforslag

Vi setter opp likningen

\[ \vec{a} = k \cdot \vec{b} \liff [2, 3] = k \cdot [4, 6]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ 2 = 4k \and 3 = 6k. \]

\[ \dfrac{2}{4} = k \and \dfrac{3}{6} = k. \]

\[ \dfrac{1}{2} = k \and \dfrac{1}{2} = k. \]

Vi får samme verdi for \(k\) fra begge likninger som betyr at vektorene er parallelle. Altså er \(\vec{a} \parallel \vec{b}\).

b

To vektorer \(\vec{c}\) og \(\vec{d}\) er gitt ved

\[ \vec{c} = [1, 5] \qog \vec{d} = [-2, -10] \]

Avgjør om \(\vec{c} \parallel \vec{d}\).

Vis fasit

Vektorene er parallelle.

Vis løsningsforslag

Vi setter opp likningen

\[ \vec{c} = k \cdot \vec{d} \liff [1, 5] = k \cdot [-2, -10]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ 1 = -2k \and 5 = -10k. \]

\[ -\dfrac{1}{2} = k \and -\dfrac{5}{10} = k. \]

\[ -\dfrac{1}{2} = k \and -\dfrac{1}{2} = k. \]

Vi får samme verdi for \(k\) fra begge likninger som betyr at vektorene er parallelle. Altså er \(\vec{c} \parallel \vec{d}\).

c

To vektorer \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) er gitt ved

\[ \vec{p} = [3, 2] \qog \vec{q} = [6, k] \]

Bestem \(k\) slik at \(\vec{p} \parallel \vec{q}\).

Vis fasit

\[ k = 4 \]

Vis løsningsforslag

For at de to vektorene skal være parallelle, må forholdstallet mellom \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene til de to vektorene være like. Altså må vi ha at

\[ \dfrac{6}{3} = \dfrac{k}{2}. \]

Da får vi at

\[ \dfrac{k}{2} = 2 \liff k = 4. \]

d

To vektorer \(\vec{r}\) og \(\vec{s}\) er gitt ved

\[ \vec{r} = [k, 4] \qog \vec{s} = [3, 6] \]

Bestem \(k\) slik at \(\vec{r} \parallel \vec{s}\).

Vis fasit

\[ k = 2 \]

Vis løsningsforslag

For at de to vektorene skal være parallelle, må forholdstallet mellom \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene til de to vektorene være like. Altså må vi ha at

\[ \dfrac{k}{3} = \dfrac{4}{6} \liff k = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2. \]

---

Oppgave 14

To vektorer \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\) er gitt ved

\[ \vec{u} = [1, 2] \qog \vec{v} = [3, 2] \]

a

En vektor \(\vec{a}\) er gitt ved

\[ \vec{a} = [1, -2] \]

Bestem \(s\) og \(t\) slik at

\[ \vec{a} = s\vec{u} + t\vec{v} \]

Lag en figur som viser sammenhengen mellom vektorene \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) og \(\vec{a}\).

Vis fasit

\[ s = -2 \and t = 1 \]

Vis løsningsforslag

Vi setter opp likningen

\[ \vec{a} = s\vec{u} + t\vec{v} \liff [1, -2] = s \cdot [1, 2] + t \cdot [3, 2]. \]

Som vi kan skrive om til

\[ [1, -2] = [s + 3t, 2s + 2t]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ 1 = s + 3t \and -2 = 2s + 2t. \]

Løser vi den første likningen for \(s\) får vi at

\[ s = 1 - 3t. \]

Setter vi dette inn i den andre likningen får vi at

\[ -2 = 2(1 - 3t) + 2t \liff -2 = 2 - 6t + 2t \]

som kan forenkles til

\[ -4 = -4t \liff t = 1. \]

Setter vi dette tilbake i likningen for \(s\) får vi at

\[ s = 1 - 3 \cdot 1 = -2. \]

Altså er

\[ s = -2 \and t = 1. \]

I figuren nedenfor viser vi den grafiske sammenhengen mellom \(\vec{a}\) og vektorene \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\).

b

En vektor \(\vec{b}\) er gitt ved

\[ \vec{b} = [7, 6] \]

Bestem \(s\) og \(t\) slik at

\[ \vec{b} = s\vec{u} + t\vec{v} \]

Lag en figur som viser sammenhengen mellom vektorene \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) og \(\vec{b}\).

Vis fasit

\[ s = 1 \and t = 2 \]

Vis løsningsforslag

Vi setter opp likningen

\[ \vec{b} = s\vec{u} + t\vec{v} \liff [7, 6] = s \cdot [1, 2] + t \cdot [3, 2]. \]

Som vi kan skrive om til

\[ [7, 6] = [s + 3t, 2s + 2t]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ 7 = s + 3t \and 6 = 2s + 2t. \]

Løser vi den første likningen for \(s\) får vi at

\[ s = 7 - 3t. \]

Setter vi dette inn i den andre likningen får vi at

\[ 6 = 2(7 - 3t) + 2t \liff 6 = 14 - 6t + 2t \]

som kan forenkles til

\[ -8 = -4t \liff t = 2. \]

Setter vi dette tilbake i likningen for \(s\) får vi at

\[ s = 7 - 3 \cdot 2 = 1. \]

Altså er

\[ s = 1 \and t = 2. \]

Figuren nedenfor viser sammenhengen mellom \(\vec{b}\) og vektorene \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\).

c

En vektor \(\vec{c}\) er gitt ved

\[ \vec{c} = [4, 0] \]

Bestem \(s\) og \(t\) slik at

\[ \vec{c} = s\vec{u} + t\vec{v} \]

Lag en figur som viser sammenhengen mellom vektorene \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) og \(\vec{c}\).

Vis fasit

\[ s = -2 \and t = 2 \]

Vis løsningsforslag

Vi setter opp likningen

\[ \vec{c} = s\vec{u} + t\vec{v} \liff [4, 0] = s \cdot [1, 2] + t \cdot [3, 2]. \]

Som vi kan skrive om til

\[ [4, 0] = [s + 3t, 2s + 2t]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ 4 = s + 3t \and 0 = 2s + 2t \]

Den andre likningen gir at

\[ 2s + 2t = 0 \liff s + t = 0 \liff s = -t. \]

Setter vi dette inn i den første likningen får vi at

\[ 4 = -t + 3t \liff 4 = 2t \liff t = 2. \]

Setter vi dette tilbake i likningen for \(s\) får vi at

\[ s = -2. \]

Altså er

\[ s = -2 \and t = 2. \]

Figuren nedenfor viser sammenhengen mellom \(\vec{c}\) og vektorene \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\).

d

En vektor \(\vec{d}\) er gitt ved

\[ \vec{d} = [0, 8] \]

Bestem \(s\) og \(t\) slik at

\[ \vec{d} = s\vec{u} + t\vec{v} \]

Lag en figur som viser sammenhengen mellom vektorene \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) og \(\vec{d}\).

Vis fasit

\[ s = 6 \and t = -2 \]

Vis løsningsforslag

Vi setter opp likningen

\[ \vec{d} = s\vec{u} + t\vec{v} \liff [0, 8] = s \cdot [1, 2] + t \cdot [3, 2]. \]

Som vi kan skrive om til

\[ [0, 8] = [s + 3t, 2s + 2t]. \]

Dette gir oss to likninger:

\[ 0 = s + 3t \and 8 = 2s + 2t. \]

Den første likningen gir oss at

\[ s = -3t. \]

Setter vi dette inn i den andre likningen får vi at

\[ 8 = 2(-3t) + 2t \liff 8 = -6t + 2t \]

som kan forenkles til

\[ 8 = -4t \liff t = -2. \]

Setter vi dette tilbake i likningen for \(s\) får vi at

\[ s = -3 \cdot (-2) = 6. \]

Altså er

\[ s = 6 \and t = -2. \]

Figuren nedenfor viser sammenhengen mellom \(\vec{d}\) og vektorene \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\).