9. Anvendelser av derivasjon#
Topp- og bunnpunkter#
Topp- og bunnpunkter#
For å bestemme topp- og bunnpunkter til en funksjon \(f\), gjør vi følgende:
Vi bestemmer ekstremalpunktene \(x\) ved å løse likningen \(f'(x) = 0\).
For å avgjøre om et ekstremalpunkt \(x\) er et toppunkt eller bunnpunkt, kan vi bruke den andrederiverttesten:
Hvis \(f''(x) > 0\), er punktet et bunnpunkt.
Hvis \(f''(x) < 0\), er punktet et toppunkt.
Hvis \(f''(x) = 0\), så kan vi ikke trekke noen konklusjon.
Oppgave 1#
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter for \(f\) gitt ved
Toppunkt i \((0, 4)\)
Bunnpunkt i \((2, 0)\)
Oppgave 2#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunktene på grafen til \(f\).
Bunnpunkt i \((0, 0)\) og toppunkt i \(\left(2, \dfrac{4}{e^2}\right)\).
Tangenter#
Tangenter#
Tangenten til grafen til en funksjon \(f\) i et punkt \((a, f(a))\) er gitt ved likningen
Oppgave 3#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).
Oppgave 4#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((4, f(4))\).
Oppgave 5#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem likningen for tangenten til \(f\) i punktet \((e, f(e))\).
Vendepunkter og vendetangenter#
Vendepunktene til en funksjon \(f\)#
Et vendepunkt er et punkt der \(f''(x)\) skifter fortegn. Vendepunktene er typisk punter på grafen til \(f\) der \(f''(x) = 0\). Det er punkter hvor grafen snur fra å være konkav til å bli konveks, eller omvendt. Se figuren nedenfor.
En vendetangent er en tangent til grafen i et vendepunkt.
Vendepunktene er punkter hvor grafen er brattest eller slakest (lokalt – opplagt er den mye brattere helt til venstre i figuren nedenfor).
Oppgave 6#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem koordinatene til vendepunktet til \(f\).
Bestem likningen til vendetangenten til \(f\).
Oppgave 7#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f\).
Bestem likningene til eventuelle vendetangenter til grafen til \(f\).
Oppgave 8#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter til \(f\).
Bestem likningene til vendetangentene til \(f\).
Vendetangent i \((1, f(1))\) er gitt ved \(y = \dfrac{2}{e}\)
Vendetangent i \((3, f(3))\) er gitt ved \(y = \dfrac{10}{e^3} - \dfrac{4}{e^3}(x - 3)\)
Blandede oppgaver#
Oppgave 9#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem i hvilke punkter grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.
Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til \(f\).
Bunnpunkt i \(\left(e^2 , -1\right)\).
Oppgave 10#
En funksjon \(f\) er gitt ved
La \(a \in \langle 0, 1 \rangle\) og la \(O\) være origo.
En tangent til grafen til \(f\) i punktet \(P(a, f(a))\) skjærer \(y\)-aksen i et punkt \(A\) og \(x\)-aksen i et punkt \(B\). Se figuren nedenfor.
Bestem koordinatene til punktet \(A\).
Bestem koordinatene til punktet \(B\).
Punktene \(O\), \(A\) og \(B\) danner en trekant \(\triangle OAB\).
Bestem det minste mulige arealet \(\triangle OAB\) kan ha.
Oppgave 11#
Nedenfor vises tre figurer der en viser grafen til \(f\), en viser grafen til \(f'\) og en viser grafen til \(f''\).
Bestem hvilke.
Figur C viser \(f\)
Figur B viser \(f'\)
Figur A viser \(f''\)
Oppgave 12#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Én av grafene nedenfor viser grafen til \(f\).
Avgjør hvilken graf som viser grafen til \(f\).
Graf A viser grafen til \(f\).
Oppgave 13#
For en funksjon \(f\) vises fortegnslinjen til \(f'(x)\).
Bestem hvilket ekstremalpunkt som er et bunnpunkt og hvilket som er et toppunkt.
\(x = -e\) er et toppunkt og \(x = e\) er et bunnpunkt.
Oppgave 14#
En funksjon \(f\) er kontinuerlig og dobbelt deriverbar for alle \(x \in \mathbb{R}\).
Nedenfor vises noen påstander. Avgjør om påstanden er sann og husk å argumentere for å svaret ditt.
Dersom \(f'(a) = 0\) og \(f''(a) > 0\), så har grafen til \(f\) et bunnpunkt i punktet \((a, f(a))\).
Påstanden er sann.
Dersom \(f'(b) = 0\) og \(f''(b) = 0\), så har grafen til \(f\) et terrassepunkt i \((b, f(b))\).
Påstanden er usann.
Dersom \(f\) har to ekstremalpunkter \(m_1, m_2 \in \langle a, b\rangle\), så finnes det minst ett punkt \(c \in \langle a, b \rangle\) slik at
Påstanden er sann.
Oppgave 15#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Et rektangel har hjørnene \((0, 0)\) og \((0, a)\) og \((a, f(a))\) og \((0, f(a))\).
Bestem \(a\) slik at arealet av rektangelet er størst mulig.