Formler

Potensregler

\[\begin{split} \begin{align*} x^{p} \cdot x^q &= x^{p+q} \\ \\ \dfrac{x^{p}}{x^q} &= x^{p-q} \\ \\ (x^p)^q &= x^{p \cdot q} \\ \\ x^0 &= 1 \\ \\ x^{-p} &= \dfrac{1}{x^p} \\ \end{align*} \end{split}\]

Logaritmeregler

\[\begin{split} \begin{align*} x &= \log_a y \liff y = a^x \\ \\ \log_a(xy) &= \log_a x + \log_a y \\ \\ \log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) &= \log_a x - \log_a y \\ \\ \log_a(x^p) &= p \cdot \log_a x \\ \\ \log_a 1 &= 0 \\ \end{align*} \end{split}\]

Derivasjonsregler

\[\begin{split} \begin{align*} (x^p)' &= p x^{p-1} \\ \\ (e^x)' &= e^x \\ \\ (\ln ax)' &= \dfrac{1}{x} \\ \\ (a^x)' &= a^x \ln a \\ \\ (\log_a x)' &= \dfrac{1}{x \ln a} \\ \\ \end{align*} \end{split}\]

Derivasjonssetninger

\[\begin{split} \begin{align*} (fg)' &= f' g + f g' \\ \\ \left(\dfrac{f}{g}\right)' &= \dfrac{f' g - f g'}{g^2} \\ \\ \left(f(g(x))\right)' &= f'(g(x)) \cdot g'(x) \\ \end{align*} \end{split}\]

Den deriverte og numerisk derivasjon

\[\begin{split} \begin{align*} f'(a) &= \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ \\ f'(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ \\ f'(x) &\approx \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ \end{align*} \end{split}\]

Funksjonsdrøfting

Toppunkt \((m, f(m))\)

\(f'(m) = 0\) og \(f''(m) < 0\)

Bunnpunkt \((m, f(m))\)

\(f'(m) = 0\) og \(f''(m) > 0\)

Vendepunkt \((m, f(m))\)

\(f''(m) = 0\) og \(f''(x)\) skifter fortegn når \(x\) går gjennom \(m\)

Tangenter

\[ y = f(a) + f'(a) \cdot (x - a) \]

Grenseverdier

Grunnleggende grenser

\[\begin{split} \begin{align*} \lim_{x\to \infty} e^x &= \infty && \lim_{x\to \infty} e^{-x} = 0 \\ \\ \lim_{x \to 0^+} \ln x &= -\infty && \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \\ \end{align*} \end{split}\]

L’Hopitals regel

\[\begin{split} \begin{align*} \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \\ \\ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} &\overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{=} \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*} \end{split}\]

Asymptoter

Skrå asymptote \(y = ax + b\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \left(f(x) - (ax + b)\right) = 0\)

Vertikal asymptote \(x = a\)

\(\lim\limits_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm \infty\)

Horisontal asymptote \(y = a\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = a\)

Kontinuitet og deriverbarhet

Eksistens av grenseverdi

\(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) finnes hvis \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x)\)

Kontinuitet i \(x = a\)

\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\)

Deriverbarhet i \(x = a\)

\(f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\) må eksistere

Funksjon med delt forskrift

\( f(x) = \begin{cases} g(x) & \qhvis x < a \\ \\ h(x) & \qhvis x \geq a \end{cases} \)

Kontinuerlig i \(a\) hvis \(g(a) = h(a)\)

Deriverbar i \(a\) hvis kontinuerlig i \(a\) og \(g'(a) = h'(a)\)

Omvendte funksjoner

Definisjon: \(f\) og \(g\) er omvendte funksjoner hvis

\[ f(g(x)) = x \qog g(f(x)) = x \]

Finne den omvendte funksjonen:

1. Løs likningen

\[ f(x) = y \liff x = g(y) \]

2. Sett \(f^{-1}(x) = g(x)\)

Definisjonsmengder og verdimengder:

• Verdimengen til \(f\) er lik definisjonsmengden til \(f^{-1}\). Altså \(V_f = D_{f^{-1}}\)

• Definisjonsmengden til \(f\) er lik verdimengden til \(f^{-1}\). Altså \(D_f = V_{f^{-1}}\)

Grafisk sammenheng mellom omvendte funksjoner

• Grafen til \(f\) og \(f^{-1}\) er speilet om linja \(y = x\)

• Et punkt \((a, b)\) på grafen til \(f\) tilsvarer punktet \((b, a)\) på grafen til \(f^{-1}\)

• \(f(a) = b \liff f^{-1}(b) = a\)

Eksistens av omvendte funksjoner

En funksjon \(f\) med definisjonsmengde \(D_f\) har en omvendt funksjon hvis (fra det strengeste kravet til det svakeste):

1. \(f\) er 1-til-1 (også kalt én-entydig). For hver \(y\)-verdi finnes det bare én \(x\)-verdi slik at \(f(x) = y\).

2. \(f\) ikke har noen ekstremalpunkter på innsiden av \(D_f\). Da er \(f\) strengt voksende eller strengt avtangende på \(D_f\).

Fig. 3 Den blå delen og den rød delen, utgjør hver siden del av grafen til \(f\) som har en omvendt funksjon \(f^{-1}\).

Den deriverte av en omvendt funksjon

• Hvis et punkt \((a, b)\) ligger på grafen til \(f\), så er

\[ \left(f^{-1}\right)'(b) = \dfrac{1}{f'(a)} \]

forutsatt at \(f'(a) \neq 0\).

• Hvis en tangent i punktet \((a, b)\) på grafen til \(f\) har stigningstall \(f'(a)\), så har en tangent til grafen til \(f^{-1}\) i punktet \((b, a)\) stigningstall \(\dfrac{1}{f'(a)}\)

Vektorer

\[ \vec{a} = [a_x, a_y] \]

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \]

\[ k \vec{a} = [k a_x, k a_y] \]

\[ \abs{k\vec{a}} = \abs{k} \abs{\vec{a}} \]

Posisjonsvektorer

\[ \lvec{OP} = [x, y] \]

Vektorer mellom punkter

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} \]

Linjer

Skalarproduktet

\[ \vec{a} = [a_x, a_y] \qog \vec{b} = [b_x, b_y] \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi \]

Tverrvektor

\[ \vec{a} = [x, y] \]

\[ \vec{a}_{\perp} = [-y, x] \qeller \vec{a}_{\perp} = [y, -x] \]

Areal

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\vec{a} \cdot \vec{b}_\perp} \]

Avstand fra punkt til linje

\[ h = \dfrac{|\lvec{QR} \cdot \vec{v}_\perp|}{\abs{\vec{v}}} \]

Dekomponering langs en linje

\[ \vec{p} = \dfrac{\overrightarrow{QR} \cdot \vec{v}}{\abs{\vec{v}}^2} \cdot \vec{v} \]

\[ \vec{h} = \dfrac{\overrightarrow{QR} \cdot \vec{v}_\perp}{\abs{\vec{v}_\perp}^2} \cdot \vec{v}_\perp \]