Oppgaver: Vektorer i koordinatsystemet

Oppgave 1

I koordinatsystemet til høyre vises to punkter \(A\) og \(B\).

a

Bestem \(\lvec{OA}\) og \(\lvec{OB}\).

Vis fasit

\[ \lvec{OA} = [-2, 3] \qog \lvec{OB} = [3, 4] \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektorene har de samme koordinatene som punktene har. Vi kan lese av fra figuren at punktene er gitt ved \(A(-2, 3)\) og \(B(3, 4)\). Med andre ord er

\[ \lvec{OA} = [-2, 3] \qog \lvec{OB} = [3, 4] \]

b

Bestem \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{BA}\).

Vis fasit

\[ \lvec{AB} = [5, 1] \qog \lvec{BA} = -\lvec{AB} = [-5, -1] \]

Vis løsningsforslag

Vi har at \(\lvec{OA} = [-2, 3]\) og \(\lvec{OB} = [3, 4]\). Da er

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [3 - (-2), 4 - 3] = [5, 1] \]

og

\[ \lvec{BA} = \lvec{OA} - \lvec{OB} = [-2 - 3, 3 - 4] = [-5, -1] \]

c

Bestem avstanden mellom punktene \(A\) og \(B\).

Vis fasit

\[ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{26} \]

Vis løsningsforslag

Vi har at \(\lvec{AB} = [5, 1]\). Da er avstanden mellom punktene \(A\) og \(B\) gitt ved

\[ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} \]

---

Oppgave 2

Gitt punktene \(A\), \(B\) og \(C\) i koordinatsystemet til høyre.

a

Bestem posisjonsvektorene \(\lvec{OA}\), \(\lvec{OB}\) og \(\lvec{OC}\).

Vis fasit

\[ \lvec{OA} = [-4, -3] \qog \lvec{OB} = [4, 2] \qog \lvec{OC} = [1, 4] \]

Vis løsningsforslag

Punktet \(A\) har koordinatene \((-4, -3)\) som betyr at

\[ \lvec{OA} = [-4, -3] \]

Punktet \(B\) har koordinatene \((4, 2)\) som betyr at

\[ \lvec{OB} = [4, 2] \]

Punktet \(C\) har koordinatene \((1, 4)\) som betyr at

\[ \lvec{OC} = [1, 4] \]

b

Bestem \(\lvec{AB}\), \(\lvec{AC}\) og \(\lvec{BC}\).

Vis fasit

\[ \lvec{AB} = [8, 5] \qog \lvec{AC} = [5, 7] \qog \lvec{BC} = [-3, 2] \]

Vis løsningsforslag

Vi kan lese av fra figuren at \(A(-4, -3)\) og \(B(4, 2)\). Da har vi

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [4, 2] - [-4, -3] = [4 - (-4), 2 - (-3)] = [8, 5] \]

Vi kan også lese av fra figuren at \(C(1, 4)\). Da har vi

\[ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [1, 4] - [-4, -3] = [1 - (-4), 4 - (-3)] = [5, 7] \]

Vi kan finne \(\lvec{BC}\) ved å bruke at

\[ \lvec{BC} = \lvec{AC} - \lvec{AB} = [5, 7] - [8, 5] = [5 - 8, 7 - 5] = [-3, 2] \]

c

Bestem omkretsen til trekanten \(\triangle ABC\).

Vis fasit

\[ \mathcal{O} = \sqrt{89} + \sqrt{74} + \sqrt{13} \]

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\lvec{AB}} &= \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \\ \\ \abs{\lvec{AC}} &= \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \\ \\ \abs{\lvec{BC}} &= \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \end{align*} \end{split}\]

Altså er omkretsen til trekanten gitt ved

\[ \mathcal{O} = \abs{\lvec{AB}} + \abs{\lvec{AC}} + \abs{\lvec{BC}} = \sqrt{89} + \sqrt{74} + \sqrt{13} \]

---

Oppgave 3

Gitt punktene \(A(2, 3)\) og \(B(-2, 2)\).

a

Bestem \(\lvec{OA}\) og \(\lvec{OB}\).

Vis fasit

\[ \lvec{OA} = [2, 3] \qog \lvec{OB} = [-2, 2] \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektorene til punktene vil ha samme vektorkoordinater som koordinatene til punktene i seg selv. Altså er:

\[ \lvec{OA} = [2, 3] \qog \lvec{OB} = [-2, 2] \]

b

Bestem \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{BA}\).

Vis fasit

\[ \lvec{AB} = [-4, -1] \qog \lvec{BA} = -\lvec{AB} = [4, 1] \]

Vis løsningsforslag

Vi har at \(\lvec{OA} = [2, 3]\) og \(\lvec{OB} = [-2, 2]\). Da er

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [-2 - 2, 2 - 3] = [-4, -1] \]

og

\[ \lvec{BA} = -\lvec{AB} = (-1) \cdot [-4, -1] = [4, 1] \]

c

Bestem lengden av linjestykket \(AB\).

Vis fasit

\[ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{17} \]

Vis løsningsforslag

Vi har allerede funnet at \(\lvec{AB} = [-4, -1]\). Da er lengden av linjestykket \(AB\) gitt ved

\[ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} \]

d

Bestem koordinatene til midtpunktet \(M\) på linjestykket \(AB\).

Vis fasit

\(M\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\)

Vis løsningsforslag

Midtpunktet \(M\) ligger midt mellom punktene \(A(2, 3)\) og \(B(-2, 2)\). Vi kan derfor finne dette punktet ved å først gå veien om \(A\), deretter følger vi \(\lvec{AB}\) halve veien. Posisjonsvektoren til punktet er derfor

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OM} &= \lvec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \lvec{AB} \\ \\ &= [2, 3] + \frac{1}{2} \cdot [-4, -1] \\ \\ &= [2, 3] + \left[-2, -\dfrac{1}{2}\right] \\ \\ &= \left[2 - 2, 3 - \dfrac{1}{2}\right] \\ \\ &= \left[0, \dfrac{5}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

Altså er koordinatene til punktet \(M\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\).

---

Oppgave 4

Tre punkter er gitt ved \(A(-2, 1)\), \(B(1, 5)\) og \(C(7, -3)\).

a

Bestem \(\lvec{OA}\), \(\lvec{OB}\) og \(\lvec{OC}\).

Vis fasit

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OA} &= [-2, 1] \\ \\ \lvec{OB} &= [1, 5] \\ \\ \lvec{OC} &= [7, -3] \end{align*} \end{split}\]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektorene til punktene vil ha samme vektorkoordinater som koordinatene til punktene i seg selv. Altså er:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OA} &= [-2, 1] \\ \\ \lvec{OB} &= [1, 5] \\ \\ \lvec{OC} &= [7, -3] \end{align*} \end{split}\]

b

Bestem \(\lvec{AB}\), \(\lvec{BC}\) og \(\lvec{CA}\).

Vis fasit

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} &= [3, 4] \\ \\ \lvec{BC} &= [6, -8] \\ \\ \lvec{CA} &= [-9, 4] \end{align*} \end{split}\]

Vis løsningsforslag

Vi har at \(\lvec{OA} = [-2, 1]\), \(\lvec{OB} = [1, 5]\) og \(\lvec{OC} = [7, -3]\). Da er

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} &= \lvec{OB} - \lvec{OA} = [1 - (-2), 5 - 1] = [3, 4] \\ \\ \lvec{BC} &= \lvec{OC} - \lvec{OB} = [7 - 1, -3 - 5] = [6, -8] \\ \\ \lvec{CA} &= \lvec{OA} - \lvec{OC} = [-2 - 7, 1 - (-3)] = [-9, 4] \end{align*} \end{split}\]

c

Punktene \(A\), \(B\) og \(C\) utgjør en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem hvilken sidelengde som er lengst i trekanten, og hvilken lengde denne sidelengden har.

Vis fasit

\[ |\lvec{BC}| = 10 \]

Vis løsningsforslag

Vi regner ut lengden til hver av sidene i trekanten:

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\lvec{AB}} &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \\ \\ \abs{\lvec{BC}} &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \\ \\ \abs{\lvec{CA}} &= \sqrt{(-9)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \end{align*} \end{split}\]

Altså er \(BC\) den lengste siden i trekanten med lengde \(10\).

---

Oppgave 5

Et parallellogram \(ABCD\) har hjørnene

\[ A(1, 2), \, B(5, 4), \, C(7, 8) \qog D(a, b) \]

a

Bestem koordinatene til punktet \(D\).

Hint: Hva er egentlig et parallellogram?

I et parallellogram så vil to og to sider være parallelle og like lange.

Vis fasit

\[ D(3, 6) \]

Vis løsningsforslag

Sidene \(AD\) og \(BC\) er parallelle og like lange som betyr at

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AD} &= \lvec{BC} \\ \\ &= \lvec{OC} - \lvec{OB} \\ \\&= [7, 8] - [5, 4] \\ \\ &= [2, 4] \end{align*} \end{split}\]

For å finne koordinatene til punktet \(D\), kan vi da gå veien om \(A\) først og så følge vektoren \(\lvec{AD}\):

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OD} &= \lvec{OA} + \lvec{AD} \\ \\ &= [1, 2] + [2, 4] \\ \\ &= [3, 6] \end{align*} \end{split}\]

Dermed er punktet \(D\) gitt ved \(D(3, 6)\).

b

Bestem koordinatene til skjæringspunktet \(P\) mellom diagonalene \(AC\) og \(BD\).

Hint

Når du deler opp parallellogrammet med diagonalene \(AC\) og \(BD\), hvor havner skjæringspunktet i forhold til \(A\) og \(C\), og \(B\) og \(D\)?

Vis fasit

\[ P(4, 5) \]

Vis løsningsforslag

Vi lager en hjelpefigur som vist til høyre. Fordi linjestykkene \(AC\) deler parallellogrammet i to like store trekanter, må skjæringspunktet \(P\) ligge midt mellom \(B\) og \(D\), altså er det midtpunktet på linjestykket \(BD\). Vi kan også snu dette rundt og si at \(P\) er midtpunktet på linjestykket \(AC\) fordi linjestykket \(BD\) også deler parallellogrammet i to like store trekanter.

Vi kan altså bestemme koordinatene til \(P\) ved å først gå veien om punktet \(A\), og så følge vektoren \(\lvec{AC}\) halve veien. Vi har at

\[ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [7, 8] - [1, 2] = [6, 6] \]

Altså er posisjonsvektoren til punktet \(P\) gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OP} &= \lvec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \lvec{AC} \\ \\ &= [1, 2] + \frac{1}{2} \cdot [6, 6] \\ \\ &= [1, 2] + [3, 3] \\ \\ &= [4, 5] \end{align*} \end{split}\]

Altså er skjæringspunktet \(P(4, 5)\).

---

Oppgave 6

a

En linje \(\ell\) har et punkt \(A(2, 0)\) som ligger på linja og en retningsvektor \(\vec{v} = [1, 2]\).

Bestem posisjonsvektoren \(\vec{r}(t)\) til punktene på linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [2 + t, 2t] \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektorene til punktene på linja \(\ell\) er generelt gitt ved

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \]

Vi har at

\[ \lvec{OA} = [2, 0] \qog \vec{v} = [1, 2] \]

Da får vi

\[ \vec{r}(t) = [2, 0] + [1, 2] \cdot t = [2 + 1 \cdot t, 0 + 2 \cdot t] = [2 + t, 2t] \]

b

En linje \(m\) har et punkt \(B(4, -3)\) som ligger på linja og en retningsvektor \(\vec{v} = [-2, 1]\).

Bestem posisjonsvektoren \(\vec{r}(t)\) til punktene på linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [4 - 2t, -3 + t] \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektorene til punktene på linja \(m\) er generelt gitt ved

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OB} + \vec{v} \cdot t \]

Vi har at

\[ \lvec{OB} = [4, -3] \qog \vec{v} = [-2, 1] \]

Da får vi

\[ \vec{r}(t) = [4, -3] + [-2, 1] \cdot t = [4 - 2t, -3 + t] \]

c

Punktene \(A(2, -1)\) og \(B(5, 3)\) ligger på en linje \(n\).

Bestem en parameterframstilling \(\vec{r}(t)\) for linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [2 + 3t, -1 + 4t] \]

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \lvec{OA} = [2, -1] \qog \lvec{OB} = [5, 3] \]

En retningsvektor for linja er da gitt ved

\[ \vec{v} = \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [5 - 2, 3 - (-1)] = [3, 4] \]

Da er en posisjonsvektoren for punktene på linja gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [2, -1] + [3, 4] \cdot t \\ \\ &= [2 + 3t, -1 + 4t] \end{align*} \end{split}\]

d

Punktene \(C(-1, 4)\) og \(D(3, -2)\) ligger på en linje \(p\).

Bestem en parameterframstilling \(\vec{r}(t)\) for linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [-1 + 4t, 4 - 6t] \]

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \lvec{OC} = [-1, 4] \qog \lvec{OD} = [3, -2] \]

En retningsvektor for linja er da gitt ved

\[ \vec{v} = \lvec{CD} = \lvec{OD} - \lvec{OC} = [3 - (-1), -2 - 4] = [4, -6] \]

Da er en posisjonsvektoren for punktene på linja gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OC} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [-1, 4] + [4, -6] \cdot t \\ \\ &= [-1 + 4t, 4 - 6t] \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 7

a

Punktet \(A(1, 2)\) ligger på en linje \(\ell\) som har stigningstall \(-2\).

Bestem en parameterframstilling \(\vec{r}(t)\) for linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [1 + t, 2 - 2t] \]

Vis løsningsforslag

En retningsvektor for en linje med stigningstall \(a\) er \(\vec{v} = [1, a]\). Dermed er en retningsvektor for linja \(\ell\) gitt ved

\[ \vec{v} = [1, -2] \]

Posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [1, 2] + [1, -2] \cdot t \\ \\ &= [1 + t, 2 - 2t] \end{align*} \end{split}\]

b

Punktet \(B(3, -1)\) ligger på en linje \(m\) som har stigningstall \(4\).

Bestem en parameterframstilling \(\vec{r}(t)\) for linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [3 + t, -1 + 4t] \]

Vis løsningsforslag

En retningsvektor for en linje med stigningstall \(a\) er \(\vec{v} = [1, a]\). Dermed er en retningsvektor for linja \(m\) gitt ved

\[ \vec{v} = [1, 4] \]

Posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OB} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [3, -1] + [1, 4] \cdot t \\ \\ &= [3 + t, -1 + 4t] \end{align*} \end{split}\]

c

En linje har likningen

\[ y = 2x - 4 \]

Bestem en parameterframstilling \(\vec{r}(t)\) for linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [t, -4 + 2t] \]

Vis løsningsforslag

Stigningstallet til linja er \(2\) som betyr at en retningsvektor for linja er gitt ved

\[ \vec{v} = [1, 2] \]

Et punkt på linja får vi ved å sette \(x = 0\) i likningen til linja:

\[ y = 2 \cdot 0 - 4 = -4 \]

Dermed er \(A(0, -4)\) et punkt på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [0, -4] + [1, 2] \cdot t \\ \\ &= [0 + t, -4 + 2t] \\ \\ &= [t, -4 + 2t] \end{align*} \end{split}\]

d

En linje har likningen

\[ y = -x + 3 \]

Bestem en parameterframstilling \(\vec{r}(t)\) for linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [t, 3 - t] \]

Vis løsningsforslag

Stigningstallet til linja er \(-1\) som betyr at en retningsvektor for linja er gitt ved

\[ \vec{v} = [1, -1] \]

Et punkt på linja får vi ved å sette \(x = 0\) i likningen til linja:

\[ y = -0 + 3 = 3 \]

Dermed er \(A(0, 3)\) et punkt på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [0, 3] + [1, -1] \cdot t \\ \\ &= [0 + t, 3 - t] \\ \\ &= [t, 3 - t] \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 8

En linje \(\ell\) er beskrevet av parameterframstillingen

\[ \vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 - t] \]

a

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom \(\ell\) og \(x\)-aksen.

Vis fasit

\[ (7, 0) \]

Vis løsningsforslag

For å finne skjæringspunktet mellom linja og \(x\)-aksen, setter vi \(y = 0\) i parameterframstillingen til linja:

\[ 3 - t = 0 \liff t = 3 \]

Når vi setter inn \(t = 3\) i parameterframstillingen, får vi:

\[ \vec{r}(3) = [1 + 2 \cdot 3, 3 - 3] = [7, 0] \]

Altså er skjæringspunktet mellom linja og \(x\)-aksen i punktet \((7, 0)\).

b

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom \(\ell\) og \(y\)-aksen.

Vis fasit

\[ \left(0, \dfrac{7}{2}\right) \]

Vis løsningsforslag

For å finne skjæringspunktet mellom linja og \(y\)-aksen, setter vi \(x = 0\) i parameterframstillingen til linja:

\[ 1 + 2t = 0 \liff t = -\dfrac{1}{2} \]

Når vi setter inn \(t = -\dfrac{1}{2}\) i parameterframstillingen, får vi:

\[ \vec{r}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \left[1 + 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right), 3 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right] = \left[0, \dfrac{7}{2}\right] \]

Altså er skjæringspunktet mellom linja og \(y\)-aksen i punktet \(\left(0, \dfrac{7}{2}\right)\).

c

Avgjør om punktet \(A(5, -2)\) ligger på linja \(\ell\).

Vis fasit

Punktet ligger ikke på linja.

Vis løsningsforslag

For at punktet \(A(5, -2)\) skal ligge på linja, må det finnes en verdi for \(t\) slik at

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OA} \]

som vi kan skrive som

\[ [1 + 2t, 3 - t] = [5, -2] \]

Her må \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene være like, så vi får to likninger:

\[ 1 + 2t = 5 \and 3 - t = -2 \]

Vi løser den første likningen:

\[ 1 + 2t = 5 \liff 2t = 4 \liff t = 2 \]

Så løser vi den andre likningen

\[ 3 - t = -2 \liff -t = -5 \liff t = 5 \]

Vi får to forskjellige verdier for \(t\) som betyr at \(A(5, -2)\) ikke ligger på linja.

---

Oppgave 9

En linje \(\ell\) går gjennom punktet \(A(2, -1)\) og har retningsvektoren \(\vec{v} = [2, 3]\).

a

Bestem posisjonsvektoren \(\vec{r}(t)\) for linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [2 + 2t, -1 + 3t] \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektorene til punktene på linja \(\ell\) er generelt gitt ved

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \]

Vi har at

\[ \lvec{OA} = [2, -1] \qog \vec{v} = [2, 3] \]

Da får vi

\[ \vec{r}(t) = [2, -1] + [2, 3] \cdot t = [2 + 2t, -1 + 3t] \]

b

Bestem koordinatene til punktet \(B\) på linja gitt ved posisjonsvektoren \(\lvec{OB} = \vec{r}(2)\).

Vis fasit

\[ \lvec{OB} = \vec{r}(2) = [6, 5] \]

Så punktet \(B\) har koordinatene \((6, 5)\).

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \vec{r}(t) = [2 + 2t, -1 + 3t] \]

Når vi setter inn \(t = 2\), får vi posisjonsvektoren til punktet \(B\):

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OB} = \vec{r}(2) &= [2 + 2 \cdot 2, -1 + 3 \cdot 2] \\ \\ &= [2 + 4, -1 + 6] \\ \\ &= [6, 5] \end{align*} \end{split}\]

c

Et annet punkt \(C(0, -4)\) ligger på linja \(\ell\).

Bestem hvilken verdi for \(t\) som gir posisjonsvektoren til punktet \(C\).

Vis fasit

\[ t = -1 \]

Vis løsningsforslag

For at punktet \(C(0, -4)\) skal ligge på linja, må det finnes en verdi for \(t\) slik at

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OC} \]

som vi kan skrive som

\[ [2 + 2t, -1 + 3t] = [0, -4] \]

Her må \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig:

\[ 2 + 2t = 0 \and -1 + 3t = -4 \]

Vi løser den første likningen:

\[ 2 + 2t = 0 \liff 2t = -2 \liff t = -1 \]

Så løser vi den andre likningen:

\[ -1 + 3t = -4 \liff 3t = -3 \liff t = -1 \]

Vi får \(t = -1\) for begge likninger, som betyr at posisjonsvektoren til \(C(0, -4)\) er

\[ \vec{r}(-1) = [0, -4] \]

d

En annet punkt er gitt ved \(D(3, 2)\).

Avgjør om punktet \(D\) ligger på linja \(\ell\).

Vis fasit

Punktet ligger ikke på linja siden vi får at \(t = \dfrac{1}{2}\) for at \(x\)-komponentene skal være like, og \(t = 1\) for at \(y\)-komponentene skal være like.

Vis løsningsforslag

For at punktet \(D(3, 2)\) skal ligge på linja, må det finnes en verdi for \(t\) slik at

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OD} \]

som vi kan skrive som

\[ [2 + 2t, -1 + 3t] = [3, 2] \]

Her må \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig:

\[ 2 + 2t = 3 \and -1 + 3t = 2 \]

Vi løser den første likningen:

\[ 2 + 2t = 3 \liff 2t = 1 \liff t = \dfrac{1}{2} \]

Så løser vi den andre likningen:

\[ -1 + 3t = 2 \liff 3t = 3 \liff t = 1 \]

Vi får to forskjellige verdier for \(t\) som betyr at \(D(3, 2)\) ikke ligger på linja.

---

Oppgave 10

En linje \(\ell\) er beskrevet av parameterframstillingen

\[\begin{split} \ell: \begin{cases} x = 3t + 1 \\ \\ y = -2t + 4 \end{cases} \end{split}\]

a

Bestem retningsvektoren til parameterframstillingen.

Vis fasit

\[ \vec{v} = [3, -2] \]

Vis løsningsforslag

Retningsvektoren til parameterframstillingen er gitt ved koeffisientene til \(t\) i likningene for \(x\) og \(y\). Altså er retningsvektoren

\[ \vec{v} = [3, -2] \]

b

Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom \(\ell\) og koordinataksene.

Vis fasit

• Linja skjærer \(x\)-aksen i \((7, 0)\)

• Linja skjærer \(y\)-aksen i \(\left(0, \dfrac{14}{3}\right)\)

Vis løsningsforslag

Vi har at \(x(t) = 3t + 1\). Når linja \(\ell\) skjærer \(y\)-aksen vil \(x(t) = 0\):

\[ x(t) = 0 \liff 3t + 1 = 0 \liff t = -\dfrac{1}{3} \]

Vi har at \(y(t) = -2t + 4\), så da blir \(y\)-koordinaten til skjæringspunktet

\[ y\left(-\dfrac{1}{3}\right) = -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) + 4 = \dfrac{2}{3} + 4 = \dfrac{14}{3} \]

Altså skjærer linja \(y\)-aksen i \(\left(0, \dfrac{14}{3}\right)\).

For å finne skjæringspunktet mellom linja og \(x\)-aksen, setter vi \(y(t) = 0\):

\[ y(t) = 0 \liff -2t + 4 = 0 \liff -2t = -4 \liff t = 2 \]

Når vi setter inn \(t = 2\) i \(x(t)\), får vi:

\[ x(2) = 3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7 \]

Altså skjærer linja \(x\)-aksen i punktet \((7, 0)\).

---

Oppgave 11

En linje \(\ell\) har likningen \(y = x - 4\).

a

Bestem en retningsvektor for \(\ell\).

Vis fasit

\[ \vec{v} = [1, 1] \]

Vis løsningsforslag

En retningsvektor for en linje med stigningstall \(a\) er \(\vec{v} = [1, a]\). Siden stigningstallet til linja er \(1\), er en retningsvektor for linja gitt ved

\[ \vec{v} = [1, 1] \]

b

Bestem en posisjonsvektor \(\vec{r}(t)\) for linja.

Vis fasit

\[ \vec{r}(t) = [t, -4 + t] \]

Vis løsningsforslag

En posisjonsvektor for punktene på linja er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= [0, -4] + [1, 1] \cdot t \\ \\ &= [t, -4 + t] \end{align*} \end{split}\]

c

En annen linje \(m\) er gitt ved

\[\begin{split} m: \begin{cases} x = 2s + 1 \\ \\ y = -s + 3 \end{cases} \end{split}\]

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene \(\ell\) og \(m\).

Vis fasit

\[ (5, 1) \]

Vis løsningsforslag

Vi kaller posisjonsvektoren til \(\ell\) for \(\vec{r}_\ell(t)\) og posisjonsvektoren til \(m\) for \(\vec{r}_m(s)\). For å bestemme koordinagtene til skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi finne verdier for \(t\) og \(s\) slik at

\[ \vec{r}_\ell(t) = \vec{r}_m(s) \]

som vi kan skrive som

\[ [t, -4 + t] = [2s + 1, -s + 3] \]

Her må \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig:

\[ t = 2s + 1 \and -4 + t = -s + 3 \]

Den første likningen er allerede løst for \(t\), så vi setter inn dette i den andre likningen:

\[ -4 + (2s + 1) = -s + 3 \]

\[ -3 + 2s = -s + 3 \]

\[ 3s = 6 \liff s = 2 \]

Når vi setter inn \(s = 2\) i den første likningen, får vi:

\[ t = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \]

Når vi setter inn \(t = 5\) i posisjonsvektoren til linja \(\ell\), får vi skjæringspunktet mellom de to linjene:

\[ \vec{r}_\ell(5) = [5, -4 + 5] = [5, 1] \]

Altså er koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene \(\ell\) og \(m\) gitt ved \((5, 1)\).

---

Oppgave 12

a

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A(-6, 1)\) og \(B(3, -2)\).

En annen linje \(m\) er gitt ved parameterframstillingen

\[\begin{split} m: \begin{cases} x = 2s + 1 \\ \\ y = 3s - 5 \end{cases} \end{split}\]

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom \(\ell\) og \(m\).

Vis fasit

\[ (3, -2) \]

Vis løsningsforslag

Vi starter med å finne en retningsvektor \(\vec{v}_\ell\) for linja \(\ell\). En retningsvektor for linja er gitt ved

\[ \vec{v}_\ell = \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [3 - (-6), -2 - 1] = [9, -3] \]

Et punkt på linja kan vi velge å være \(A(-6, 1)\), og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved

\[ \vec{r}_\ell(t) = \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t = [-6, 1] + [9, -3] \cdot t = [-6 + 9t, 1 - 3t] \]

For å finne skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi finne verdier for \(t\) og \(s\) slik at

\[ \vec{r}_\ell(t) = \vec{r}_m(s) \]

som vi kan skrive som

\[ [-6 + 9t, 1 - 3t] = [2s + 1, 3s - 5] \]

Her må \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig:

\[ -6 + 9t = 2s + 1 \and 1 - 3t = 3s - 5 \]

Den første likningen kan vi skrive om til

\[ 9t - 2s = 7 \liff 9t = 2s + 7 \liff t = \dfrac{2s + 7}{9} \]

Deretter setter vi dette inn i den andre likningen:

\[ 1 - 3\left(\dfrac{2s + 7}{9}\right) = 3s - 5 \]

\[ 1 - \dfrac{2s + 7}{3} = 3s - 5 \]

Så ganger vi med \(3\) på begge sider for å kvitte oss med brøken:

\[ 3 - (2s + 7) = 9s - 15 \]

Så forenkler vi slik at vi får \(s\) alene:

\[ -2s - 4 = 9s - 15 \]

\[ -4 + 15 = 9s + 2s \]

\[ 11 = 11s \liff s = 1 \]

Setter vi inn \(s = 1\) i \(\vec{r}_m(s)\) for å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene:

\[ \vec{r}_m(1) = [2 \cdot 1 + 1, 3 \cdot 1 - 5] = [3, -2] \]

Altså skjærer linjene hverandre i punktet \((3, -2)\).

b

En linje \(\ell\) har likningen \(y = -2x + 4\).

Posisjonsvektoren til punktene på en annen linje \(m\) er gitt ved

\[ \vec{r}_m(s) = [1 + s, 1 - s] \]

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom \(\ell\) og \(m\).

Vis fasit

\[ (2, 0) \]

Vis løsningsforslag

Vi har at likningen til linja \(\ell\) er

\[ y = -2x + 4 \]

Siden linja har stigningstall \(-2\), kan vi skrive en retningsvektor for linja som

\[ \vec{v}_\ell = [1, -2] \]

Vi kan finne et punkt \(A\) på linja \(\ell\) ved å sette \(x = 0\) i likningen til linja:

\[ y = -2 \cdot 0 + 4 = 4 \]

Altså er \(A(0, 4)\) et punkt på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved

\[ \vec{r}_\ell(t) = \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t = [0, 4] + [1, -2] \cdot t = [t, 4 - 2t] \]

For å finne skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi finne verdier for \(t\) og \(s\) slik at

\[ \vec{r}_\ell(t) = \vec{r}_m(s) \]

som vi kan skrive som

\[ [t, 4 - 2t] = [1 + s, 1 - s] \]

Her må \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig:

\[ t = 1 + s \and 4 - 2t = 1 - s \]

Den første likningen er allerede løst for \(t\), så vi setter inn dette i den andre likningen:

\[ 4 - 2(1 + s) = 1 - s \]

\[ 4 - 2 - 2s = 1 - s \]

\[ 2 - 2s = 1 - s \]

\[ -s = -1 \liff s = 1 \]

Vi setter inn \(s = 1\) i \(\vec{r}_m(s)\) for å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene:

\[ \vec{r}_m(1) = [1 + 1, 1 - 1] = [2, 0] \]

Altså skjærer linjene hverandre i punktet \((2, 0)\).

c

En linje \(\ell\) har stigningstall \(2\) og har et punkt \(A(0, 2)\) som ligger på linja.

En annen linje \(m\) har stigningstall \(-1\) og har et punkt \(B(-1, 6)\) som ligger på linja.

Besten koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene \(\ell\) og \(m\).

Vis fasit

\[ (1, 4) \]

Vis løsningsforslag

Linja \(\ell\) har stigningstall \(2\) som betyr at en retningsvektor for linja er

\[ \vec{v}_\ell = [1, 2] \]

Punktet \(A(0, 2)\) ligger på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved

\[ \vec{r}_\ell(t) = \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t = [0, 2] + [1, 2] \cdot t = [t, 2 + 2t] \]

Linja \(m\) har stigningstall \(-1\) som betyr at en retningsvektor for linja er

\[ \vec{v}_m = [1, -1] \]

Punktet \(B(-1, 6)\) ligger på linja, og posisjonsvektoren til punktene på linja er da gitt ved

\[ \vec{r}_m(s) = \lvec{OB} + \vec{v}_m \cdot s = [-1, 6] + [1, -1] \cdot s = [-1 + s, 6 - s] \]

For å finne skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi finne verdier for \(t\) og \(s\) slik at

\[ \vec{r}_\ell(t) = \vec{r}_m(s) \]

som vi kan skrive som

\[ [t, 2 + 2t] = [-1 + s, 6 - s] \]

Her må \(x\)-komponentene og \(y\)-komponentene være like, så vi får to likninger som må være tilfredsstilt samtidig:

\[ t = -1 + s \and 2 + 2t = 6 - s \]

Den første likningen er allerede løst for \(t\), så vi setter inn dette i den andre likningen:

\[ 2 + 2(-1 + s) = 6 - s \]

\[ 2 - 2 + 2s = 6 - s \]

\[ 3s = 6 \liff s = 2 \]

Vi setter inn \(s = 2\) i \(\vec{r}_m(s)\) for å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene:

\[ \vec{r}_m(2) = [-1 + 2, 6 - 2] = [1, 4] \]

Altså er koordinatene til skjæringspunktet mellom \(\ell\) og \(m\) gitt ved \((1, 4)\).

---

Oppgave 13

Et punkt er gitt ved \(A(3, 2)\). To vektorer \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\) er gitt ved

\[ \vec{u} = [4, 3] \qog \vec{v} = [2t, 5t] \]

Et parallellogram \(ABCD\) er bestemt ved at \(\lvec{AB} = \vec{u}\) og \(\lvec{AD} = \vec{v}\).

a

Bestem koordinatene til \(B\).

Bestem koordinatene til \(C\) og \(D\) uttrykt ved \(t\).

Vis fasit

• \(B(7, 5)\)

• \(C(7 + 2t, 5 + 5t)\)

• \(D(3 + 2t, 2 + 5t)\)

Vis løsningsforslag

Vi lager oss en hjelpefigur som vist til høyre.

For å komme til punktet \(B\), går vi via punktet \(A\) og så følger vi \(\lvec{AB}\) for å ende opp i punktet \(B\). Altså:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OB} &= \lvec{OA} + \lvec{AB} \\ \\ &= [3, 2] + [4, 3] \\ \\ &= [3 + 4, 2 + 3] \\ \\ &= [7, 5] \end{align*} \end{split}\]

Altså er koordinatene til punktet \(B\) gitt ved \((7, 5)\).

For å komme til punktet \(D\), kan vi gå via punktet \(A\) og så følge \(\lvec{AD}\) for å ende opp i punktet \(D\). Altså:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OD} &= \lvec{OA} + \lvec{AD} \\ \\ &= [3, 2] + [2t, 5t] \\ \\ &= [3 + 2t, 2 + 5t] \\ \end{align*} \end{split}\]

Altså er koordinatene til punktet \(D\) gitt ved \((3 + 2t, 2 + 5t)\).

For å komme til punktet \(C\), kan vi gå via punktet \(B\) og så følge \(\lvec{AD} = \lvec{BC}\) for å ende opp i punktet \(C\). Altså:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OC} &= \lvec{OB} + \lvec{AD} \\ \\ &= [7, 5] + [2t, 5t] \\ \\ &= [7 + 2t, 5 + 5t] \\ \end{align*} \end{split}\]

Dermed er koordinatene til punktet \(C\) gitt ved \((7 + 2t, 5 + 5t)\).

b

Bestem \(t\) slik at skjæringspunktet mellom diagonalene i parallellogrammet er \(P(8, 11)\).

Vis fasit

\[ t = 3 \]

Vis løsningsforslag

Vi lager oss en hjelpefigur først. Vi kan tenke oss at vi har to linjer \(\ell\) (blå) og \(m\) (rød), der linja \(\ell\) går gjennom punktene \(A\) og \(C\), og linja \(m\) går gjennom punktene \(B\) og \(D\). Skjæringspunktet til de to linjene er da skjæringspunktet \(P\) mellom diagonalene i parallellogrammet.

Både linja \(\ell\) og linja \(m\) deler parallellogrammet i to like store deler som er speilet om linjene, som betyr at skjæringspunktet \(P\) må ligge midt mellom \(A\) og \(C\), og midt mellom \(B\) og \(D\).

Det betyr at vi kan komme oss til punktet \(P\), ved å først gå til punktet \(A\) og deretter følge vektorer \(\lvec{AC}\) halvveis. Vi har at

\[ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [7 + 2t, 5 + 5t] - [3, 2] = [4 + 2t, 3 + 5t] \]

Altså er posisjonsvektoren til punktet \(P\) gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OP} &= \lvec{OA} + \dfrac{1}{2} \cdot \lvec{AC} \\ \\ &= [3, 2] + \dfrac{1}{2} \cdot [4 + 2t, 3 + 5t] \\ \\ &= [3, 2] + \left[2 + t, \dfrac{3 + 5t}{2}\right] \\ \\ &= \left[5 + t, 2 + \dfrac{3 + 5t}{2}\right] \\ \end{align*} \end{split}\]

Vi skal kreve at \(\lvec{OP} = [8, 11]\), som gir oss likningene

\[ 5 + t = 8 \and 2 + \dfrac{3 + 5t}{2} = 11 \]

Vi løser den første likningen:

\[ 5 + t = 8 \liff t = 3 \]

Så løser vi den andre likningen for å sjekke at vi får samme verdi for \(t\):

\[ 2 + \dfrac{3 + 5t}{2} = 11 \liff 4 + (3 + 5t) = 22 \]

\[ 7 + 5t = 22 \liff 5t = 15 \liff t = 3 \]

Altså vil koordinatene til skjæringspunktet \(P\) mellom diagonalene være \((8, 11)\) når

\[ t = 3 \]

---

Oppgave 14

Om et parallellogram \(ABCD\) får du vite at

• \(A(0, 1)\).

• \(\lvec{AB} = [4, 2]\).

• \(\lvec{AD} = [t, 3]\) for et tall \(t \in \real\).

a

Bestem koordinatene til \(B\), \(C\) og \(D\).

Vis fasit

• \(B(4, 3)\)

• \(C(4 + t, 6)\)

• \(D(t, 4)\)

b

Bestem \(t\) slik at skjæringspunktet mellom diagonalene ligger på linja \(y = 2x + 1\).

Vis fasit

\[ t = -\dfrac{3}{2} \]