Grenseverdier

Innhold

11. Grenseverdier#

Læringsmål

Kunne bruke ulike strategier for å regne ut grenseverdier.
Kunne avgjøre om en grenseverdi eksisterer eller ikke.

Definisjon av grenseverdier#

Å regne ut grenseverdier handler om å undersøke om en funksjon \(f(x)\) nærmer seg et bestemt tall \(L\) når vi lar \(x\) nærme seg et bestem tall \(a\) på tallinja. Hvis dette er tilfellet, så skriver vi at

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

og leser det som at “\(f(x)\) nærmer seg \(L\) når \(x\) nærmer seg \(a\)”.

Før vi ser på noen detaljer, så tar vi den første strategien vi skal bruke når vi regner ut grenseverdier:

Strategi 1 for grenseverdier

For å regne ut grenseverdien

\[ \lim_{x \to a} f(x) \]

så prøver vi å sette inn \(x = a\) direkte i uttrykket for \(f(x)\). Hvis vi får et tallsvar, så er grenseverdien lik det tallet. Det vil si

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

Eksempel 1

Bestem grenseverdien

\[ \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + 8}{2x} \]

Løsning

Vi prøver å sette inn \(x = 4\) direkte i uttrykket og sjekker om vi får et tallsvar:

\[ \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 + 8}{2x} = \dfrac{4^2 + 8}{2 \cdot 4} = \dfrac{24}{8} = 3 \]

Vi fikk et tallsvar, så da er grenseverdien lik \(3\).

Eksistens av grenseverdier#

I figuren nedenfor til venstre, så vil vi nærme oss samme verdi \(L\) om vi bruker forskriften til \(f(x)\) på venstre side av \(x = a\) eller på høyre side av \(x = a\). Da sier vi at grenseverdien eksisterer.

I figuren nedenfor til høyre så vil derimot \(g(x)\) nærme seg to forskjellige verdier \(L_1\) og \(L_2\) avhengig av om vi bruker forskriften til venstre for \(x = a\) eller forskriften til høyre for \(x = a\). Da sier vi at grenseverdien ikke eksisterer fordi den ikke nærmer seg ett bestemt tall fra begge sider av \(x = a\).

Ensidige grenseverdier#

For at en grenseverdi skal eksistere, så må \(f(x)\) nærme seg samme tall \(L\) både når vi nærmer oss \(x = a\) fra venstre og når vi nærmer oss \(x = a\) fra høyre.

Ensidige grenseverdier og eksistens av en grenseverdi

Når vi vil undersøke hva \(f(x)\) nærmer seg når vi lar \(x\) nærme seg \(x = a\) fra venstre side (nedenfra), så skriver vi

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) \]

Når vi vil undersøke hva \(f(x)\) nærmer seg når vi lar \(x\) nærme seg \(x = a\) fra høyre side (ovenfra), så skriver vi

\[ \lim_{x \to a^+} f(x) \]

Hvis vi får samme tall \(L\) for begge de ensidige grenseverdiene, så eksisterer grenseverdien og vi skriver at

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

Grenseverdien eksisterer altså hvis og bare hvis

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \]

Eksempel 2

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \qhvis x < 2 \\ \\ x + 1 & \qhvis x \geq 2 \end{cases} \end{split}\]

Bestem \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\) dersom den eksisterer.

Løsning

Vi lar \(g(x) = x^2 - 1\) og \(h(x) = x + 1\). Vi starter med å regne ut de ensidige grenseverdiene. For \(x < 2\) så er \(f(x) = g(x)\), så da får vi

\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3 \]

For \(x \geq 2\) så er \(f(x) = h(x)\), så da får vi

\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} h(x) = \lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 2 + 1 = 3 \]

Siden vi fikk samme verdi for de ensidige grenseverdiene, så eksisterer grenseverdien og vi har at

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \]

L’Hôpitals regel#

L’Hôpitals regel lar oss regne ut grenseverdier av uttrykk på formen \(\frac{f(x)}{g(x)}\) når både \(f(x)\) og \(g(x)\) nærmer seg 0 når \(x\) nærmer seg en bestemt verdi \(a\).

L’Hôpitals regel: Versjon 1

Hvis \(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{0}{0}\) så gjelder

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

Merk at vi også kan ha at \(a = \infty\) eller \(a = -\infty\).

Eksempel 3

Regn ut grenseverdien

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} \]

Løsning

Vi prøver først å sette inn \(x = 2\) direkte:

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \dfrac{2^3 - 8}{2 - 2} = \frac{0}{0} \]

Vi får et ubestemt uttrykk som er \(0/0\). Da kan vi bruke L’Hôpitals regel. Vi deriverer teller og nevner hver for seg og prøver å sette inn \(x = 2\) igjen:

\[ \lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} \overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 2} \frac{(x^3 - 8)'}{(x - 2)'} = \lim_{x\to 2} \dfrac{3x^2}{1} = \dfrac{3 \cdot 2^2}{1} = 12 \]

Nå fikk vi et tallsvar som betyr at

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12 \]

Legg merke til at vi markerer at vi bruker L’Hôpitals regel ved å skrive \([\frac{0}{0}]\) over likhetstegnet. Dette er for å vise at vi har brukt regelen på grunn av at vi fikk et ubestemt uttrykk som er \(0/0\).

L’Hôpitals regel fungerer også i tilfeller der \(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\infty}{\infty}\), altså når både \(f(x)\) og \(g(x)\) nærmer seg uendelig når \(x\) nærmer seg en bestemt verdi \(a\).

L’Hôpitals regel: Versjon 2

Hvis \(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\infty}{\infty}\) så gjelder

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

Merk at vi også kan ha at \(a = \infty\) eller \(a = -\infty\).

Eksempel 4

Bestem grenseverdien

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{8x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3} \]

Løsning

Vi prøver først å sette inn \(x = \infty\) direkte:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{8x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3} = \dfrac{\infty}{\infty} \]

Vi får et ubestemt uttrykk som er \(\infty/\infty\). Da kan vi bruke L’Hôpitals regel. Vi deriverer teller og nevner hver for seg og prøver å sette inn \(x = \infty\) igjen:

\[\begin{split} \begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{8x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3} &\overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{=} \lim_{x \to \infty} \dfrac{16x - 5}{4x} \\ \\ &\overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{=} \dfrac{16}{4} \\ \\ &= 4 \end{align*} \end{split}\]

Altså er grenseverdien lik \(4\).

Spesielle grenseverdier#

Det er noen grenseverdier som er verdt å lære seg utenat fordi de dukker opp såpass ofte.

Grenseverdier for eksponentialfunksjoner

\[\begin{split} \begin{align*} \lim_{x\to \infty} e^x = \infty && \lim_{x\to -\infty} e^x = 0 \\ \\ \lim_{x\to \infty} e^{-x} = 0 && \lim_{x\to -\infty} e^{-x} = \infty \\ \end{align*} \end{split}\]

Grenseverdier for logaritmefunksjoner

\[\begin{split} \begin{align*} \lim_{x\to \infty} \ln(x) = \infty \\ \\ \lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty \end{align*} \end{split}\]

Eksempel 5

Regn ut grenseverdien

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^{3x} - 1}{e^x + 5} \]

Løsning

Vi prøver først å sette inn \(x = \infty\) direkte:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^{3x} - 1}{e^x + 5} = \dfrac{\infty - 1}{\infty + 5} = \dfrac{\infty}{\infty} \]

Vi får et ubestemt uttrykk som er \(\infty/\infty\). Da kan vi bruke L’Hôpitals regel. Vi deriverer teller og nevner hver for seg og prøver å sette inn \(x = \infty\) igjen:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^{3x} - 1}{e^x + 5} \overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{(e^{3x} - 1)'}{(e^x + 5)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3e^{3x}}{e^x} = \lim_{x \to \infty} 3e^{2x} = \infty \]

Når en grenseverdi er lik \(\infty\) eller \(-\infty\) så sier vi også at grenseverdien ikke eksisterer siden den ikke nærmer seg et bestemt tall. Men her er det vanlig å skrive at grenseverdien er lik \(\infty\) eller lik \(-\infty\) for å vise at den ikke eksisterer på grunn av at funksjonen vokser eller synker uten begrensning.