Oppgaver: Omvendte funksjoner

Oppgave 1

To funksjoner \(f\) og \(g\) er omvendte funksjoner dersom

\[ f(g(x)) = x \qog g(f(x)) = x \]

a

Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner.

\[ f(x) = 10^x \qog g(x) = \lg (x) \]

b

Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner.

\[ f(x) = \ln (2x) \qog g(x) = \frac{1}{2} e^x \]

c

Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner.

\[ f(x) = x^3 - 4 \qog g(x) = \sqrt[3]{x + 4} \]

d

Vis at funksjonene nedenfor er omvendte funksjoner.

\[ f(x) = \frac{2x + 3}{5} \qog g(x) = \frac{5x - 3}{2} \]

---

Oppgave 2

For hver av funksjonene nedenfor:

1. Bestem funksjonsuttrykket til den omvendte funksjonen.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen.

a

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \sqrt{x} + 3 \qder D_f = [0, 4\rangle \]

Vis fasit

\[ f^{-1}(x) = (x - 3)^2 \qder D_{f^{-1}} = [3, 5\rangle. \]

b

En funksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = \ln (x - 5) \qder D_g = \langle 5, \to\rangle. \]

Vis fasit

\[ g^{-1}(x) = e^x + 5 \qder D_{g^{-1}} = \real \]

c

En funksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 + 3 \qder D_h = [0, 2\rangle. \]

Vis fasit

\[ h^{-1}(x) = \sqrt{x - 3} \qder D_{h^{-1}} = [3, 7\rangle \]

d

En funksjon \(k\) er gitt ved

\[ k(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \qder D_k = \real \setminus \{1\}. \]

Vis fasit

\[ k^{-1}(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2} \qder D_{k^{-1}} = \real \setminus \{2\}. \]

---

Oppgave 3

Grafen til en funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

La \(g\) være den omvendte funksjonen til \(f\).

a

Bestem \(D_f\) og \(V_f\).

Vis fasit

\[ D_f = [1, 4\rangle \qog V_f = [-4, 5\rangle. \]

b

Bestem \(D_g\) og \(V_g\).

Vis fasit

\[ D_g = [-4, 5\rangle \qog V_g = [1, 4\rangle. \]

c

Bestem \(g(-3)\).

Vis fasit

\[ g(-3) = 2. \]

d

Bestem \(g(0)\).

Vis fasit

\[ g(0) = 3. \]

e

Én av grafene nedenfor viser grafen til \(g\).

Avgjør hvilken. Husk å argumentere for svaret ditt.

Vis fasit

Graf C.

---

Oppgave 4

a

Om en funksjon \(f\) får du vite at

• \(f\) har en omvendt funksjon \(g\).

• \(f(2) = 3\)

• \(f(3) = -4\).

Bestem \(g(-4)\) og \(g(3)\).

Vis fasit

\[ g(-4) = 3 \]

\[ g(3) = 2 \]

b

Om en funksjon \(f\) får du vite at

• \(f\) har en omvendt funksjon \(g\).

• \(f(1) = 5\)

• \(f(4) = 0\).

Bestem \(g(0)\) og \(g(5)\).

Vis fasit

\[ g(0) = 4 \]

\[ g(5) = 1 \]

c

I tabellen nedenfor ser du en verditabell for en funksjon \(f\) med definisjonsmengden

\[ D_f = \{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}. \]

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(5\)
\(f(x)\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)	\(-2\)	\(4\)	\(0\)

Sett sammen riktig funksjonsverdier for den omvendte funksjonen \(g\).

---

Oppgave 5

a

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt.

Vis fasit

Graf B og D.

b

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt.

Vis fasit

Graf A, B og D.

c

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt.

Vis fasit

Graf A, B, og D.

d

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

Avgjør hvilke av funksjonene som har en omvendt funksjon. Husk å argumentere for svaret ditt.

Vis fasit

Graf A, B og C.

---

Oppgave 6

1. Avgjør om funksjonene nedenfor har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene der den eksisterer.

a

Vis fasit

1. Funksjonen har en omvendt funksjon.

2. \(D_{f^{-1}} = \langle 1, 3]\).

b

Vis fasit

1. Funksjonen har en omvendt funksjon.

2. \(D_{g^{-1}} = [-4, 5\rangle\).

c

Vis fasit

1. Funksjonen har en omvendt funksjon.

2. \(D_{h^{-1}} = \real \setminus \{1\}\)

d

Vis fasit

1. Funksjonen har en omvendt funksjon.

2. \(D_{k^{-1}} = [-1, 2]\).

---

Oppgave 7

a

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer.

Vis fasit

Funksjonene \(g\), \(h\) og \(k\) har omvendte funksjoner.

Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er

\[\begin{split} \begin{align*} D_{g^{-1}} &= [1, 6] \\ \\ D_{h^{-1}} &= [-1, 3] \\ \\ D_{k^{-1}} &= \langle -1, 3] \end{align*} \end{split}\]

b

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer.

Vis fasit

Funksjonene \(f\) og \(k\) har omvendte funksjoner.

Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er

\[\begin{split} \begin{align*} D_{f^{-1}} &= \langle -2, 0\rangle \cup [2, 4\rangle \\ \\ D_{k^{-1}} &= [-4, 8\rangle \end{align*} \end{split}\]

c

I figuren nedenfor vises grafene til fire funksjoner.

1. Avgjør hvilke funksjoner som har en omvendt funksjon.

2. Bestem definisjonsmengden til de omvendte funksjonene der de eksisterer.

Vis fasit

Funksjonene \(f\), \(h\) og \(k\) har omvendte funksjoner.

Definisjonsmengdene til de omvendte funksjonene er

\[\begin{split} \begin{align*} D_{f^{-1}} &= [-1, 3\rangle \\ \\ D_{h^{-1}} &= \langle 0, 2\rangle \\ \\ D_{k^{-1}} &= \langle -2, 4\rangle \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 8

a

Grafen til en funksjon andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(f^{-1}(x)\).

Vis fasit

\[ f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3} \qder D_{f^{-1}} = [3, 7\rangle. \]

b

Grafen til en delt funksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.

Bestem \(g^{-1}(x)\).

Vis fasit

\[\begin{split} g^{-1}(x) = \begin{cases} x + 1, & -3 < x < 0 \\ \\ -\dfrac{x + 4}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases} \end{split}\]

---

Oppgave 9

I figuren nedenfor vises fire grafer, der to og to av grafene er omvendte funksjoner.

Avgjør hvilke som hører sammen.

Vis fasit

• \(A\) og \(F\) er omvendte funksjoner.

• \(B\) og \(C\) er omvendte funksjoner.

• \(D\) og \(E\) er omvendte funksjoner.