Eksamen høsten 2024

Innhold

Eksamen høsten 2024#

Eksamen høsten 2024 var todelt med 1 timer på del 1 og 4 timer på del 2. Fra våren 2026 vil eksamen være todelt med 3 timer på del 1 og 2 timer på del 2.

Del 1 (Uten hjelpemidler - 1 time)#

Oppgave 1 (2 poeng)#

Deriver funksjonen

\[ f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x} \]

\[ f'(x) = \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2} \]

Vi bruker brøkregelen for derivasjon:

\[\begin{split} \begin{align*} f'(x) &= \dfrac{(e^{2x})' \cdot x - e^{2x} \cdot (x)'}{x^2} \\ \\ &= \dfrac{2e^{2x} \cdot x - e^{2x} \cdot 1}{x^2} \\ \\ &= \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2} \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 2 (2 poeng)#

Bruk en egnet strategi for å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.

def O(x):
    return -0.1 * x**2 + 2000 * x - 50000

x = 0

while O(x + 1) > O(x):
    x = x + 1

print(x)

Programmet skriver ut verdien $10~000$.

Programmet starter med $x = 0$ og øker verdien til $x$ med $1$ så lenge $O(x + 1) \gt O(x)$, som betyr at programmet øker $x$ så lenge neste funksjonsverdi er større enn den forrige. Programmet søker altså etter et toppunkt på grafen til $O$. Til slutt skrives bare ut $x$-koordinaten til punktet.

Vi kan finne denne verdien ved å løse $O'(x) = 0$. Vi har at

\[ O(x) = -\dfrac{1}{10}x^2 + 2000x - 50~000 \]

Dermed er

\[ O'(x) = -\dfrac{1}{5}x + 2000 \]

Vi løser så $O'(x) = 0$:

\[ \dfrac{1}{5}x = 2000 \liff x = 10~000 \]

Altså skriver programmet ut verdien $10~000$.

Oppgave 3 (2 poeng)#

Løs likningen

\[ 100^x - 3 \cdot 10^x = 4 \]

\[ x = \lg 4 \]

Vi skriver om likningen til

\[ (10^x)^2 - 3 \cdot 10^x - 4 = 0 \]

Så setter vi $u = 10^x$ som gir oss andregradslikningen

\[ u^2 - 3 u - 4 = 0 \]

Vi bruker $abc$-formelen til å finne løsningene for $u$:

\[ u = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2} \]

som gir

\[ u = -1 \or u = 4 \]

Vi setter tilbake definisjonen av $u$ som gir oss likningene

\[ 10^x = -1 \or 10^x = 4 \]

Den første av de to likningene har ingen løsning, som betyr at den eneste løsningen til den opprinnelige likningen er

\[ 10^x = 4 \liff x = \lg 4 \]

Oppgave 4 (2 poeng)#

Finn grenseverdien hvis den eksisterer.

\[ \lim_{x\to \infty} \dfrac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18} \]

\[ \lim_{x\to \infty} \dfrac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18} = \dfrac{1}{2} \]

Grenseverdien gir i utgangspunktet et ubestemt $\infty / \infty$-uttrykk, så vi bruker L’Hôpitals regel (2 ganger siden vi får et ubestemt uttrykk igjen etter første runde):

\[ \lim_{x\to \infty} \dfrac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18} \overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{2x + 1}{4x} \overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{=} \lim_{x\to \infty} \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \]

Oppgave 5 (4 poeng)#

Fire vektorer er gitt ved $\vec{u} = [3, -2]$, $\vec{v} = [4, -6]$, $\vec{w} = [2, -3]$ og $\vec{p} = [8, 12]$.

a

Avgjør om noen av vektorene er

like lange
ortogonale

Vektorene $\vec{u}$ og $\vec{w}$ er like lange
Vektorene $\vec{p}$ og $\vec{u}$ er ortogonale

Vi kan se at

\[ \vec{v} = [4, -6] = 2 \cdot [2, -3] = 2 \vec{w} \]

Ergo er de to vektorene $\vec{v}$ og $\vec{w}$ verken like lange eller ortogonale.

Vi kan også se at

\[ \vec{p} = [8, 12] = 4 \cdot [2, 3] = 4 \cdot \vec{u}_\perp \]

der $\vec{u}_\perp$ er en tverrvektor til $\vec{u}$. Da følger det at vektorene er ortogonale siden

\[ \vec{p} \cdot \vec{u} = 0, \]

samtidig som vektorene ikke er like lange siden $\abs{\vec{p}} = 4 \abs{\vec{u}}$.

Vi kan også se at vektorene $\vec{u}$ og $\vec{w}$ er like lange:

\[ \abs{\vec{u}} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13} \and \abs{\vec{w}} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} \]

Men vektorene er ikke ortogonale siden $\vec{w}$ ikke er en tverrvektor til $\vec{u}$.

Altså kan vi summere opp:

Vektorene $\vec{u}$ og $\vec{w}$ er like lange
Vektorene $\vec{p}$ og $\vec{u}$ er ortogonale

b

En vektor er gitt ved $\vec{q} = [2a - 3, 1 + 3b]$.

Bestem $a$ og $b$ slik at $\vec{u} + 2\vec{q} = [7, 5]$.

\[ a = \dfrac{5}{2} \and b = \dfrac{5}{6} \]

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{u} + 2 \vec{q} &= [3, -2] + 2 \cdot [2a - 3, 1 + 3b] \\ \\ &= [3, -2] + [4a - 6, 2 + 6b] \\ \\ &= [4a - 3, 6b] \end{align*} \end{split}\]

Så krever vi at

\[ \vec{u} + 2\vec{q} = [7, 5] \liff [4a - 3, 6b] = [7, 5] \]

som gir likningene

\[ 4a - 3 = 7 \and 6b = 5 \]

som gir at

\[ a = \dfrac{5}{2} \and b = \dfrac{5}{6} \]

Oppgave 6 (2 poeng)#

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner $f$, $g$ og $h$.

En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik $\dfrac{1}{2}$ i intervallet $[0, 4]$, og derivert like $1$ når $x = 1$.

Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.

Funksjonen $f$.

Funksjonen $h$ har en gjennomsnittlig vekstfart lik $0$ i intervallet $[0, 4]$ siden $h(0) = h(4)$, så denne kan vi utelukke.

Funksjonen $g$ er lineær og har den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0, 4]$ lik:

\[ \dfrac{g(4) - g(0)}{4 - 0} = \dfrac{4 - 2}{4} = \dfrac{1}{2} \]

Siden funksjonen er lineær vil dette være verdien til den deriverte overalt som betyr at $g'(1) = \dfrac{1}{2}$.

Dermed må den riktige funksjonen være $f$.

Del 2 (Med hjelpemidler - 4 timer)#

Oppgave 1 (6 poeng)#

Et gammelt vannreservoar lekker vann. Mengden vann i reservoaret $V$ er gitt ved

\[ V(t) = 10~000 \cdot e^{-0.07 t} + 500 \]

Her er $t$ antall timer etter lekkasjen startet, og mangden vann er målt i antall liter.

a

Hvor lang tid vil det gå før vannmengden er halvert?

b

Bestem $V'(12)$ og $V''(12)$.

Gi en praktisk tolkning av svarene.

c

Undersøk om $V$ har asymptoter, og gi en praktisk tolkning av verdiene til eventuelle asymptoter.

Oppgave 2 (6 poeng)#

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann.

Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

a

Påstand:

Hvis

\[ \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} g(x) \qog \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} g(x) \]

så er $f(x) = g(x)$.

Usann.

Påstanden er usann, som vi kan vise med ett moteksempel.

La

\[ f(x) = x \qog g(x) = x + 1 \]

Her vil

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \and \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty \]

Altså er grensene like når $x \to \infty$.

Vi har også at

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \and \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty \]

Altså er grensene også like når $x \to -\infty$. Men her er $g(x) = f(x) + 1$ som betyr at $f(x) \neq g(x)$ for alle $x$. Ergo er påstanden usann.

b

Påstand:

Funksjonen $f(x) = \abs{x}$ er deriverbar for alle $x \in \real$, bortsett fra i $x = 0$.

Sann.

Funksjonen kan skrives om til

\[\begin{split} |x| = \begin{cases} -x & \qhvis x \lt 0 \\ x & \qhvis x \geq 0 \\ \end{cases} \end{split}\]

For $x \lt 0$ vil stigningstallet til funksjonen være $-1$, mens for $x \gt 0$ vil stigningstallet være $1$. La $f_+(x) = x$ og $f_-(x) = -x$. Tar vi grensen ovenfra av den deriverte får vi $+1$. Tar vi grensen nedenfra av den deriverte får vi $-1$. Siden de to grensene ikke er like, så er ikke funksjonen deriverbar i $x = 0$.

Funksjonen er ellers deriverbar i alle punkter siden både $x$ og $-x$ er deriverbare funksjoner i alle punkter.

Altså er påstanden sann.

c

Påstand:

For likningen $a^x = a^y$ der $a \in \real$, er løsningen alltid $x = y$.

Usann.

Påstanden er usann, siden for $a = 0$ vil alle verdier for $x$ og $y$ tilfredsstille likningen bortsett fra $x = y = 0$. Da kan i utgangspunktet $x = 2$ og $y = 1$ tilfredsstille likningen siden $0^2 = 0^1 = 0$ som gir muligheten for at $x \neq y$ kan være en løsning til likningen.

Oppgave 3 (8 poeng)#

Denne oppgaven trenger du ikke øve på før halvdagsprøven – vi skal først se på logisitiske modeller etter halvdagsprøven.

Forskere har registrert en ny fiskeart i en innsjø. I tabellen nedenfor ser du hvor mange fisk av arten som var i innsjøen noen måneder etter at arten først ble registrert.

Måneder etter første registrering	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
Antall tusen fisk	$1$	$2.5$	$5.5$	$9$	$14$	$22$	$32$	$45$	$60$

a

Fiskepopulasjonen kan beskrives av en modell på formen

\[ A(t) = A_0 \cdot k^t \]

der $A(t)$ er antall tusen fisk $t$ måneder etter første registrering.

Bestem $A_0$ og $k$, og gi en praktisk tolkning av disse verdiene.

b

Fiskepopulasjonen kan også beskrives med en logistisk modell på formen

\[ N(t) = \dfrac{B}{1 + \dfrac{B - N_0}{N_0}e^{-r\cdot t}} \]

der $B$ er bæreevnen, $N_0$ er antall tusen fisk ved $t = 0$ og $r$ er vekstparameteren.

Bestem $N_0$, $B$ og $r$.

c

Bestem den deriverte til funksjonene du fant i oppgavene a og b.

Forklar hvordan vekstfarten endrer seg ifølge hver av de to modellene.

d

Hvilken modell mener du beskriver den praktiske situasjonen best?

Hvor mange fisk vil det være 12 måneder etter første registrering, ifølge denne modellen?

Oppgave 4 (2 poeng)#

I koordinatssystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ gitt ved

\[ f(x) = \log_a (x) \]

Bestem $a$.

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

\[ a = 5 \]

Vi ser at grafen til $f$ går gjennom punktet $(5, 1)$ som betyr at

\[ \log_a(5) = 1 \liff a^1 = 5 \liff a = 5 \]

Altså må $a = 5$.

Oppgave 5 (4 poeng)#

Nedenfor ser du grafene til funksjonene $f$, $g$ og $h$.

a

Avgjør og begrunn for hver av funksjonene om de har en omvendt funksjon.

b

Bestem funksjonsuttrykket og definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene den eksisterer.

Oppgave 6 (8 poeng)#

To småfugler er ute og flyr. Posisjonen til de to fuglene er gitt ved

\[ \vec{r}_1(t) = [-10 + 6t, 35 - 3t] \qog \vec{r}_2(t) = [2 + 5t, 4t] \]

Tiden $t$ er målt i sekunder, og enhetene langs aksene er målt i meter.

a

Hvor fort flyr hver av de to småfuglene?

b

Hvor stor er avstanden mellom småfuglene når $t = 0$?

c

På hvilket tidspunkt er småfuglene nærmest hverandre, og hvor langt unna hverandre er de da?

d

En rovfugl er også ute og flyr, og oppdager småfuglene ved tidspunktet $t = 0$.

Posisjonen til rovfuglen de første $6$ sekundene er gitt ved

\[ \vec{r}_R(t) = [7t - 10, 2t^2 - 6t + 5] \]

Gjør nødvendige bergninger og beskriv jakten rovfuglen har på småfuglene.