Asymptoter

Læringsmål

• Kunne bruke grenseverdier til å avgjøre om en funksjon har asymptoter, og bestemme likningene til asymptoter.

Horisontale asymptoter

Dersom grafen til en funksjon \(f\) “flater ut” og nærmer seg en horisontal linje når vi lar \(x \to \infty\) eller \(x \to -\infty\), så sier vi at den horisontale linja er en horisontal asymptote for \(f\).

Horisontale asymptoter

Linja \(y = L_1\) er en horisontal asymptote for \(f\) hvis

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = L_1 \]

Linja \(y = L_2\) er en horisontal asymptote for \(f\) hvis

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = L_2 \]

De horisontale asymptotene kan også gjelde begge veier slik at \(f(x) \to L\) både når \(x \to \infty\) og når \(x \to -\infty\).

---

Eksempel 1

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{3 + 2e^{-x}}{1 + e^{-x}} \]

Bestem eventuelle horisontale asymptoter til grafen til \(f\).

Vis løsningsforslag

Vi sjekker først om det finnes en horisontal asymptote når \(x \to \infty\). Vi regner ut grenseverdien

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 + 2e^{-x}}{1 + e^{-x}} = \dfrac{3 + 2 \cdot 0}{1 + 0} = 3 \]

Altså er \(y = 3\) en horisontal asymptote for \(f\) når \(x \to \infty\).

Vi sjekker så om det finnes en horisontal asymptote når \(x \to -\infty\). Vi regner ut grenseverdien

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3 + 2e^{-x}}{1 + e^{-x}} = \dfrac{3 + 2 \cdot \infty}{1 + \infty} = \dfrac{\infty}{\infty} \]

Vi får et ubestemt uttrykk \(\infty/\infty\), så vi kan bruke L’Hôpitals regel:

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) \overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{=} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-2e^{-x}}{-e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} 2 = 2 \]

Altså er \(y = 2\) en horisontal asymptote for \(f\) når \(x \to -\infty\).

Vertikale asymptoter

Dersom det finnes punkter \(x = a\) hvor grafen til \(f\) “skyter i været” og vokser eller synker mot uendelig slik at funksjonen nærmer seg en vertikal linje \(x = a\), så sier vi at linja \(x = a\) er en vertikal asymptote for \(f\).

Vertikale asymptoter

Linja \(x = a\) er en vertikal asymptote for \(f\) dersom

\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \]

eller

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \]

Det holder av én av de to grenseverdiene går mot uendelig for at \(x = a\) skal være en vertikal asymptote for \(f\).

I praksis så leter vi etter vertikale asymptoter ved å finne punkter der vi deler på \(0\) i funksjonsuttrykket. Deretter sjekker vi om grenseverdiene fra høyre og venstre går mot uendelig for å avgjøre om det faktisk er en vertikal asymptote i det punktet.

---

Eksempel 2

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{1}{e^{x - 2} - 1} \]

Bestem eventuelle vertikale asymptoter til grafen til \(f\).

Vis løsningsforslag

Vi må først lete etter punkter hvor vi ender opp med å dele på null i \(f(x)\). Da løser vi nevneren lik null:

\[ e^{x - 2} - 1 = 0 \liff e^{x - 2} = 1 \]

\[ \ln e^{x - 2} = \ln 1 \liff x - 2 = 0 \liff x = 2 \]

Altså kan \(x = 2\) være en vertikal asymptote for \(f\). Vi må sjekke ved å regne ut de ensidige grensene:

\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{e^{x - 2} - 1} = \dfrac{1}{e^{2^+ - 2} - 1} = \dfrac{1}{e^{0^+} - 1} = \dfrac{1}{0^+} = \infty \]

Siden grenseverdien fra høyre er \(\infty\), så vet vi at \(x = 2\) er en vertikal asymptote for \(f\). Vi trenger ikke å sjekke den andre grenseverdien, men vi bare viser hvordan det gjøres for å være grundige:

\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{1}{e^{x - 2} - 1} = \dfrac{1}{e^{2^- - 2} - 1} = \dfrac{1}{e^{0^-} - 1} = \dfrac{1}{0^-} = -\infty \]

Legg merke til at vi bruker notasjonen \(0^+\) for å vise at vi nærmer oss \(0\), men at verdien alltid er positiv. På samme måte så bruker vi \(0^-\) for å vise at vi nærmer oss \(0\), men at verdien alltid er negativ.

Skrå asymptoter