Numerisk derivasjon#
Læringsmål
Kunne forklare Newtons fremover-kvotient, Newtons bakover-kvotient og Newtons symmetriske kvotient og bruke dem til å finne tilnærmede verdier for deriverte.
Selv om alle deriverbare funksjoner i prinsippet kan deriveres hvis vi følger derivasjonsreglene til punkt og prikke, så kan det bli fryktelig knotete å derivere noen funksjoner. For eksempel vil det være et mildt mareritt å derivere funksjonen
Vi er jo ikke nødvendigvis interessert i hva uttrykket til \(f'(x)\) er. I stedet er vi kanskje interessert i hvor \(f'(x) = 0\) eller hvor \(f'(x)\) er positiv eller negativ. For å angripe funksjoner som dette, kan vi derivere dem numerisk.
Hva er numerisk derivasjon?#
Numerisk derivasjon går ut på å finne tilnærmede verdier for den deriverte. Det at vi kaller det for numerisk derivasjon kommer fra at vi bruker tallverdier – numeriske verdier – for å finne en numerisk verdi til den deriverte i bestemt punkt \(x\). For å lage oss meningsfulle fremgangsmåter for å gjøre dette, skal vi ta utgangspunkt i definisjonen av den deriverte:
For at den deriverte skal eksistere, må grenseverdien ovenfra og nedenfra være like som gir oss utgangspunktet for de to første strategiene vi skal se på.
Newtons fremover-kvotient#
Definisjonen av den deriverte når vi tar grenseverdien ovenfra vil gi oss at
Men på en datamaskin er det ikke mulig å la \(h \to 0\) i en teoretisk forstand slik vi kan gjøre i matematikken ved å “tenke oss” at \(h\) nærmer seg null, men likevel kommer aldri helt fram til null. I stedet velger vi oss et lite tall \(h\) som er nesten lik null, og så anser vi det som er grei nok tilnærming til å la \(h \to 0\).
der \(h\) er et lite positivt tall som angir avstanden mellom \(x\) og \(x + h\). Denne fremgangsmåten kalles for Newtons fremover-kvotient.
Rent geometrisk kan vi tolke dette som at vi finner stigningstallet til en sekant som går gjennom punktene \((x, f(x))\) og \((x + h, f(x + h))\) på grafen til \(f\). Se figuren nedenfor.