Formler

Formler#

Derivasjonsregler

\[\begin{split} \begin{align*} (x^p)' &= p x^{p-1} \\ \\ (e^x)' &= e^x \\ \\ (\ln x)' &= \dfrac{1}{x} \\ \\ (a^x)' &= a^x \ln a \\ \\ (\log_a x)' &= \dfrac{1}{x \ln a} \\ \\ \end{align*} \end{split}\]

Derivasjonssetninger

\[\begin{split} \begin{align*} (fg)' &= f' g + f g' \\ \\ \left(\dfrac{f}{g}\right)' &= \dfrac{f' g - f g'}{g^2} \\ \\ \left(f(g(x))\right)' &= f'(g(x)) \cdot g'(x) \\ \end{align*} \end{split}\]

Den deriverte og numerisk derivasjon

\[\begin{split} \begin{align*} f'(a) &= \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ \\ f'(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ \\ f'(x) &\approx \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ \end{align*} \end{split}\]

Funksjonsdrøfting

Toppunkt \((m, f(m))\): \(f'(m) = 0\) og \(f''(m) < 0\)
Bunnpunkt \((m, f(m))\): \(f'(m) = 0\) og \(f''(m) > 0\)
Vendepunkt \((m, f(m))\): \(f''(m) = 0\) og \(f''(x)\) skifter fortegn når \(x\) går gjennom \(m\)

Tangenter

\[ y = f(a) + f'(a) \cdot (x - a) \]

Grenseverdier

Grunnleggende grenser: \[\begin{split} \begin{align*} \lim_{x\to \infty} e^x &= \infty && \lim_{x\to \infty} e^{-x} = 0 \\ \\ \lim_{x \to 0^+} \ln x &= -\infty && \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \\ \end{align*} \end{split}\]
L’Hopitals regel: \[\begin{split} \begin{align*} \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \\ \\ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} &\overset{[\frac{\infty}{\infty}]}{=} \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \end{align*} \end{split}\]

Asymptoter

Skrå asymptote \(y = ax + b\): \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \left(f(x) - (ax + b)\right) = 0\)
Vertikal asymptote \(x = a\): \(\lim\limits_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm \infty\)
Horisontal asymptote \(y = a\): \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = a\)

Kontinuitet og deriverbarhet

Eksistens av grenseverdi: \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) finnes hvis \(\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x)\)
Kontinuitet i \(x = a\): \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\)
Deriverbarhet i \(x = a\): \(f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\) må eksistere
Funksjon med delt forskrift: \( f(x) = \begin{cases} g(x) & \qhvis x < a \\ \\ h(x) & \qhvis x \geq a \end{cases} \); Kontinuerlig i \(a\) hvis \(g(a) = h(a)\); Deriverbar i \(a\) hvis kontinuerlig i \(a\) og \(g'(a) = h'(a)\)