Oversikt: Omvendte funksjoner

Omvendte funksjoner

Definisjon: \(f\) og \(g\) er omvendte funksjoner hvis

\[ f(g(x)) = x \qog g(f(x)) = x \]

Finne den omvendte funksjonen:

1. Løs likningen

\[ f(x) = y \liff x = g(y) \]

2. Sett \(f^{-1}(x) = g(x)\)

Definisjonsmengder og verdimengder:

• Verdimengen til \(f\) er lik definisjonsmengden til \(f^{-1}\). Altså \(V_f = D_{f^{-1}}\)

• Definisjonsmengden til \(f\) er lik verdimengden til \(f^{-1}\). Altså \(D_f = V_{f^{-1}}\)

Grafisk sammenheng

• Grafen til \(f\) og \(f^{-1}\) er speilet om linja \(y = x\)

• Et punkt \((a, b)\) på grafen til \(f\) tilsvarer punktet \((b, a)\) på grafen til \(f^{-1}\)

• \(f(a) = b \liff f^{-1}(b) = a\)

Eksistens av omvendte funksjoner

En funksjon \(f\) med definisjonsmengde \(D_f\) har en omvendt funksjon hvis (fra det strengeste kravet til det svakeste):

1. \(f\) er 1-til-1 (også kalt én-entydig). For hver \(y\)-verdi finnes det bare én \(x\)-verdi slik at \(f(x) = y\).

2. \(f\) ikke har noen ekstremalpunkter på innsiden av \(D_f\). Da er \(f\) strengt voksende eller strengt avtangende på \(D_f\).

Den blå delen og den rød delen, utgjør hver siden del av grafen til \(f\) som har en omvendt funksjon \(f^{-1}\).

Den deriverte av en omvendt funksjon

• Hvis et punkt \((a, b)\) ligger på grafen til \(f\), så er

\[ \left(f^{-1}\right)'(b) = \dfrac{1}{f'(a)} \]

forutsatt at \(f'(a) \neq 0\).

• Hvis en tangent i punktet \((a, b)\) på grafen til \(f\) har stigningstall \(f'(a)\), så har en tangent til grafen til \(f^{-1}\) i punktet \((b, a)\) stigningstall \(\dfrac{1}{f'(a)}\)