Sirkler

Sirkellikningen

En sirkel er en kurve med et punkt \(S\) som kalles for sentrum og en radius \(r\) som er avstanden ut til alle punktene som ligger på kurven.

Hvis vi lar sentrum i sirkelene være \(S(x_0, y_0)\) og et punkt på sirkelen være \(P(x, y)\), så skal avstanden mellom \(S\) og \(P\) være lik radiusen \(r\). Det betyr at

\[ \abs{\overrightarrow{SP}} = r \limplies \abs{\lvec{SP}}^2 = r^2 \]

Men vi har også at

\[ \lvec{SP} = \lvec{OP} - \lvec{OS} = [x - x_0, y - y_0] \limplies \abs{\lvec{SP}}^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \]

Altså får vi at alle punktene på sirkelen må tilfredsstille likningen

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

Sirkellikningen

Alle punkter \(P(x, y)\) som ligger på en sirkel med sentrum i \(S(x_0, y_0)\) og radius \(r\) oppfyller likningen

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

---

Eksempel 1

En sirkel har sentrum i punktet \(S(2, -1)\) og radius \(4\).

Bestem likningen til sirkelen.

Vis løsningsforslag

Vi bruker sirkellikningen

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

der \(S(x_0, y_0) = S(2, -1)\) og \(r = 4\). Vi får da

\[\begin{split} (x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 4^2 \\ \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16 \end{split}\]

---

I noen tilfeller kan likningen til en sirkel være skrevet på en litt annen form, og da må vi omforme likningen så vi kan lese av sentrum og radius.

Eksempel 2

En sirkel er gitt ved likningen

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = -6 \]

Bestem sentrum og radius til sirkelen.

Vis løsningsforslag

Vi må fullføre kvadratene for både \(x\) og \(y\). Vi starter med \(x\)-leddene:

\[ x^2 - 2x = x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1 \]

For \(y\)-leddene gjør vi det samme:

\[ y^2 + 6y = y^2 + 6y + 9 - 9 = (y + 3)^2 - 9 \]

Setter vi dette inn i likningen får vi

\[\begin{split} (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = -6 \\ \\ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = -6 \\ \\ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4 \\ \\ (x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = 2^2 \end{split}\]

Altså har sirkelen sentrum i punktet \(S(1, -3)\) og radius \(r = 2\).

Tangenter til sirkler

En tangent til en sirkel er en linje \(\ell\) som berører sirkelen i et punkt \(P~.\) Hvis vi lar \(\lvec{SP}\) være vektoren fra sentrum \(S\) ut til punktet \(P\), så må tangenten ha en retningsvektor \(\vec{v}\) som er ortogonal med \(\lvec{SP}\). Altså må vi ha at

\[ \lvec{SP} \cdot \vec{v} = 0 \]

Vi er fri til å velge størrelsen på retningsvektoren, så det enkleste er å bruke tverrvektoren til \(\lvec{SP}\) som retningsvektor for tangenten slik at \(\vec{v} = \lvec{SP}_\perp\). Siden linja \(\ell\) går gjennom punktet \(P\), betyr det at tangenten kan beskrives som

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OP} + \lvec{SP}_\perp \cdot t \]

Tangent til en sirkel

En tangent \(\ell\) i et punkt \(P\) på en sirkel med sentrum \(S\) er gitt ved

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OP} + \lvec{SP}_\perp \cdot t \]

der \(\lvec{SP}_\perp\) er tverrvektoren til vektoren fra sentrum \(S\) til punktet \(P\).

---

Eksempel 3

En sirkel har sentrum i punktet \(S(3, 2)\) og radius \(4\).

En punkt \(P\) på sirkelen har koordinatene \((\sqrt{3} + 3, 3)\).

Bestem likningen til tangenten til sirkelen i punktet \(P\).

Vis løsningsforslag

Normaler til sirkler