Følger og rekker

Innhold

Følger og rekker#

Kunne veksle mellom eksplisitte summer og summetegn, og regne ut summen av rekker skrevet med summetegn.
Kunne finne formelen for det $n$-te leddet i en følge.
Kunne finne rekursive formler for leddene i en følge.
Kunne finne rekursive formler for summen av rekker.

Følger#

En følge er en ordnet liste med tall som følger et bestemt mønster. For eksempel er

\[ 2, 4, 6, 8, 10 \]

en tallfølge som består av fem ledd. Vi kaller det første tallet $a_1$ i følgen for det første leddet, det andre tallet $a_2$ for det andre leddet, og så videre. Det $n$-te leddet i en følge skriver vi gjerne som $a_n$. Følgen kan bestå av endelig mange ledd, eller det kan være uendelig mange ledd. Vi kaller $n$ for indeksen til leddet $a_n$.

Følger#

En (tall)følge $\{a_n\}_{n=1}^N$ er en ordnet liste med tall som følger et bestemt mønster. Det $n$-te leddet i en følge skriver vi som $a_n$, og skriver følgen som

\[ a_1, \, a_2, \, a_3, \, \ldots, \, a_N \]

Når verdiene som $n$ kan ha i en følge er underforstått, så skriver vi ofte bare $\{a_n\}$ for å betegne følgen.

Eksempel 1#

Nedenfor vises noen kjente tallfølger.

Partallene

\[ 2, 4, 6, 8, 10, \ldots, 2n, \ldots \]

Oddetallene

\[ 1, 3, 5, 7, 9, \ldots, 2n-1, \ldots \]

Kvadrattallene

\[ 1, 4, 9, 16, 25, \ldots, n^2, \ldots \]

Fibonaccitallene

\[ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots \]

Representasjoner av følger#

Følger kan representeres på to måter med

en eksplisitt formel som gir verdien til det $n$-te leddet direkte.
en rekursjonsformel som forteller hvordan vi finner det neste leddet dersom vi kjenner verdien til det forrige leddet.

Eksplisitt formel

\[ a_n = 3 + 2(n - 1) \]

Rekursjonsformel

\[ a_{n + 1} = a_n + 2 \qder a_1 = 3 \]

Eksempel 2#

En følge $\{a_n\}$ er gitt ved den eksplisitte formelen

\[ a_n = 2n - 1 \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \]

Finn de fem første leddene i følgen.

Vi regner ut verdiene i følgen for $n = 1, 2, 3, 4, 5$

$n$	$a_n = 2n - 1$
$1$	$2 \cdot 1 - 1 = 1$
$2$	$2 \cdot 2 - 1 = 3$
$3$	$2 \cdot 3 - 1 = 5$
$4$	$2 \cdot 4 - 1 = 7$
$5$	$2 \cdot 5 - 1 = 9$

Altså er de fem første leddene i følgen gitt ved

\[ 1, 3, 5, 7, 9 \]

som er de fem første oddetallene.

Eksempel 3#

En tallfølge er definert som

\[ a_{n + 1} = 2 a_n + 1 \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \qder a_1 = 4. \]

Bestem $a_4$ (det fjerde leddet i følgen).

Vi bruker rekursjonsformelen til å regne ut $a_2$, $a_3$ og $a_4$.

\[\begin{split} \begin{align*} a_2 &= 2 a_1 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \\ \\ a_3 &= 2 a_2 + 1 = 2 \cdot 9 + 1 = 19 \\ \\ a_4 &= 2 a_3 + 1 = 2 \cdot 19 + 1 = 39 \end{align*} \end{split}\]

Altså er $a_4 = 39$.

Rekker#

En rekke er en sum av leddene i en følge.

Definisjon: Rekke#

En rekke $S_N$ med $N$ ledd er summen av tallene i en tallfølge $a_1, a_2, \ldots, a_N$. Det vil si

\[ S_N = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_N \]

Vi kaller $S_N$ for delsummen (med $N$ ledd) til rekka

\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \]

Så en rekke er altså summen av leddene i en følge. Vi kan illustrere sammenhengen mellom følger og rekker slik:

Følge

\[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_N \]

Eksempel:

\[ 1, 4, 9, 16, 25 \]

Rekke

\[ S_N = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_N \]

Eksempel:

\[ S_5 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 \]

Summetegn og rekker#

Vi bruker ofte summetegnet $\sum$ til å skrive rekker på en mer kompakt måte.

Summetegn#

En rekke $S_N = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_N$ kan skrives som

\[ S_N = \sum_{n=1}^N a_n \]

der notasjonen forteller oss at vi skal plusse sammen leddene $a_n$ for $n = 1, 2, 3, \ldots, N$.

Eksempel 4#

En rekke er gitt ved

\[ S_4 = \sum_{n = 1}^4 (2n + 1) \]

Bestem verdien til $S_4$.

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} S_4 &= \sum_{n = 1}^4 (2 \cdot \textcolor{red}{n} + 1) \\ \\ &= (2 \cdot \textcolor{red}{1} + 1) + (2 \cdot \textcolor{red}{2} + 1) + (2 \cdot \textcolor{red}{3} + 1) + (2 \cdot \textcolor{red}{4} + 1) \\ \\ &= 3 + 5 + 7 + 9 \\ \\ &= 24 \end{align*} \end{split}\]

Eksempel 5#

Skriv rekken nedenfor med summetegn:

\[ S = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 \]

Vi kan merke oss at leddene i rekka er tallfølgen

\[ 1, 4, 9, 16, 25 = 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2 \]

Dermed kan vi skrive om rekka som følger

\[ S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = \sum_{n = 1}^5 n^2 \]

der vi har brukt at hvert ledd er gitt ved

\[ a_n = n^2 \qfor n = 1, 2, 3, 4, 5 \]