Trigonometriske funksjoner: Oppgaver

Oppgave 1

Hva er amplituden til grafen nedenfor?

\[ A = 3 \]

\[ A = -1 \]

\[ A = 4 \]

\[ A = 2 \]

Hva er likevektslinja til grafen nedenfor?

\[ d = -1 \]

\[ d = 3 \]

\[ d = 4 \]

\[ d = -2 \]

Hva er perioden til grafen nedenfor?

\[ T = 3 \]

\[ T = 2 \]

\[ T = 1 \]

\[ T = \pi \]

Hva er perioden til grafen nedenfor?

\[ T = 3 \]

\[ T = 2 \]

\[ T = 1 \]

\[ T = \pi \]

---

Oppgave 2

a)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(f\) er vist i figuren til høyre.

Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen

\[ f(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d \]

b)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(g\) er vist i figuren til høyre.

Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen

\[ g(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d \]

c)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(h\) er vist i figuren til høyre.

Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen

\[ h(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d \]

d)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(p\) er vist i figuren til høyre.

Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen

\[ p(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d \]

---

Oppgave 3

a)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(f\) er vist i figuren til høyre.

Bestem et mulig funksjonsuttrykk på formen

\[ f(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

b)

Skjul oppgaven

En trigonometrisk funksjon \(g\) er vist i figuren til høyre.

Bestem et funksjonsuttrykk på formen

\[ g(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

Vis fasit

\[ g(x) = 3 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 \]

Vis løsningsforslag

Vi kan først merke oss at

\[\begin{split} \begin{align*} y_\mathrm{topp} &= 4 \\ \\ y_\mathrm{bunn} &= -2 \\ \end{align*} \end{split}\]

Da er amplituden gir ved

\[ A = \frac{y_\mathrm{topp} - y_\mathrm{bunn}}{2} = \frac{4 - (-2)}{2} = 3 \]

Likevektslinja er gitt ved

\[ d = \frac{y_\mathrm{topp} + y_\mathrm{bunn}}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = 1 \]

Perioden \(T\) finner ved å se på den horisontale avstanden mellom to toppunkter som vi kan se er \(T = 3\) siden grafen har et toppunkt både i \(T = 1\) og \(T = 4\). Vinkelfrekvensen er da

\[ \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{3} \]

Nå må vi bestemme fasevinkelen \(\varphi\). Vi har nå at

\[ g(x) = 3 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x + \varphi\right) + 1 \]

For å finne fasevinkelen trenger vi ett punkt på grafen til \(g\). Vi velger punktet \((1, 4)\) som gir oss likningen

\[ g(1) = 4 \liff 3 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} + \varphi\right) + 1 = 4 \]

Vi setter \(u = \frac{2 \pi}{3} + \varphi\) og får da den enkleste likningen som:

\[ \sin u = 1 \liff u = \frac{\pi}{2} \]

Så setter vi tilbake definisjonen av \(u\):

\[ \frac{2 \pi}{3} + \varphi = \frac{\pi}{2} \]

som gir

\[ \varphi = \frac{\pi}{2} - \frac{2 \pi}{3} = - \frac{\pi}{6} \]

Altså er et mulig funksjonsuttrykk for \(g\) gitt ved

\[ g(x) = 3 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 \]

c)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(h\) er vist i figuren til høyre.

Finn et mulig funksjonsuttrykk på formen

\[ h(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

Hint: Hvordan lese av perioden?

Når vi ikke kan tydelig lese av toppunktet eller bunnpunktet til grafen, kan vi for eksempel se etter der grafen til \(f\) skjærer likevektslinja på vei opp. Den horisontale avstanden mellom to slike punkter er lik perioden \(T\).

d)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(p\) er vist i figuren til høyre.

Finn et mulig funksjonsuttrykk på formen

\[ p(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

---

Oppgave 4

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3 \sin \left(2\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 1 \]

Hvilken graf nedenfor viser grafen til \(f\)?

---

Oppgave 5

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2 \cos \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) - 2 \]

Hvilken graf nedenfor vises grafen til \(f\)?

---

Oppgave 6

a)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2 \cos \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) - 2 \]

Skriv om funksjonsuttrykket til formen

\[ f(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

b)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = 3 \sin \left(\frac{\pi}{2} x - \frac{\pi}{3}\right) + 1 \]

Skriv om funksjonsuttrykket til formen

\[ g(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d \]

c)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = 2\sqrt{3} \cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - 3 \]

Skriv om funksjonsuttrykket til formen

\[ h(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

d)

Skjul oppgaven

Funksjonen \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = 3 \sin \left(\frac{2\pi}{3} x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 \]

Skriv om funksjonsuttrykket til formen

\[ p(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d \]

---

Oppgave 7

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x - \frac{\pi}{2}\right) + 1 \qder D_f = [-10, 10]. \]

a)

Skjul oppgaven

Finn perioden til grafen til \(f\).

b)

Skjul oppgaven

Finn faseforskyvningen til grafen til \(f\).

c)

Skjul oppgaven

Finn nullpunktene til \(f\).

d)

Skjul oppgaven

Finn koordinatene til topp- og bunnpunktene til \(f\).

---

Oppgave 8

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \sqrt{3} \cos (2x) + 3 \sin (2x) \qder D_f = \langle 0, 2\pi \rangle \]

a)

Skjul oppgaven

Bestem \(A\), \(\omega\) og \(\varphi\) slik at likningen nedenfor er en identitet:

\[ \sqrt{3} \cos (2x) + 3 \sin (2x) = A \cos (\omega x - \varphi) \]

Vis fasit

\[ A = 2 \sqrt{3} \and \omega = 2 \and \varphi = \dfrac{\pi}{3} \]

b)

Skjul oppgaven

Løs likningen

\[ f(x) = 3 \]

Vis fasit

\[ x \in \left\{\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{13\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{4}\right\} \]