Kuler: Oppgaver

Oppgave 1

a)

Skjul oppgaven

En kule har sentrum \(S(3, 1, -2)\) og radius \(r = 5\).

Finn likningen til kulen.

Vis fasit

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 25 \]

Vis løsningsforslag

Likningen til en kule med sentrum \(S(x_0, y_0, z_0)\) og radius \(r\) er gitt ved

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \]

Vi setter inn verdiene og får:

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 25 \]

b)

Skjul oppgaven

En kule har sentrum \(S(-2, 3, -1)\) og radius \(r = \sqrt{5}\).

Finn likningen til kulen.

Vis fasit

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 5 \]

c)

Skjul oppgaven

En kule har sentrum \(S(0, 2, 1)\) og radius \(r = 3\).

Finn likningen til kulen.

Vis fasit

\[ x^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 9 \]

---

Oppgave 2

a)

Skjul oppgaven

En kule er gitt ved likningen

\[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z - 3 = 0 \]

Finn sentrum og radius til kulen.

Vis fasit

• Sentrum \(S(1, -2, 3)\)

• Radius \(r = \sqrt{17}\)

Vis løsningsforslag

Vi fullfører kvadratene for hver variabel:

\[ x^2 - 2x = x^2 - 2x + 1^2 - 1^2 = (x - 1)^2 - 1 \]

\[ y^2 + 4y = y^2 + 4y + 2^2 - 2^2 = (y + 2)^2 - 4 \]

\[ z^2 - 6z = z^2 - 6z + 3^2 - 3^2 = (z - 3)^2 - 9 \]

Så setter vi inn i likningen:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z - 3 = 0 \]

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 - 3 = 0 \]

\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 17 \]

Fra likningen kan vi lese av at sentrum er \(S(1, -2, 3)\) og radius er \(r = \sqrt{17}\).

b)

Skjul oppgaven

En kule er gitt ved likningen

\[ x^2 + 8x + y^2 - 4y + z^2 - 7 = 0 \]

Finn sentrum og radius til kulen.

Vis fasit

• Sentrum \(S(-4, 2, 0)\)

• Radius \(r = \sqrt{27}\)

Vis løsningsforslag

Vi fullfører kvadratene for hver variabel:

\[ x^2 + 8x = x^2 + 8x + 4^2 - 4^2 = (x + 4)^2 - 16 \]

\[ y^2 - 4y = y^2 - 4y + 2^2 - 2^2 = (y - 2)^2 - 4 \]

Vi trenger ikke gjøre noe med \(z^2\)-leddet siden vi mangler et \(z\)-ledd.

Så setter vi inn i likningen:

\[ (x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 + z^2 - 7 = 0 \]

\[ (x + 4)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 27 \]

Fra likningen kan vi lese av at sentrum er \(S(-4, 2, 0)\) og radius er \(r = \sqrt{27}\).

c)

Skjul oppgaven

En kule er gitt ved likningen

\[ x^2 + y^2 + 12y + z^2 + 8z - 12 = 0 \]

Finn sentrum og radius til kulen.

Vis fasit

• Sentrum \(S(0, -6, -4)\)

• Radius \(r = 8\)

Vis løsningsforslag

Vi fullfører kvadratene der det er nødvendig:

\[ y^2 + 12y = y^2 + 12y + 6^2 - 6^2 = (y + 6)^2 - 36 \]

\[ z^2 + 8z = z^2 + 8z + 4^2 - 4^2 = (z + 4)^2 - 16 \]

Så setter vi inn i likningen:

\[ x^2 + (y + 6)^2 - 36 + (z + 4)^2 - 16 - 12 = 0 \]

\[ x^2 + (y + 6)^2 + (z + 4)^2 = 64 = 8^2 \]

Fra likningen kan vi lese av at sentrum er \(S(0, -6, -4)\) og radius er \(r = 8\).

---

Oppgave 3

Punktene \(A(1, 2, 3)\) og \(B(5, 2, 1)\) ligger på en kule der \(AB\) er diameteren til kulen.

a)

Skjul oppgaven

Finn kulens sentrum og radius.

Vis fasit

• Sentrum \(S(3, 2, 2)\)

• Radius \(r = \sqrt{5}\)

Vis løsningsforslag

Sentrum vil ligge midt mellom punktene \(A\) og \(B\). Vi kan finne koordinatene til dette punktet ved å ta gjennomsnittet av koordinatene til \(A\) og \(B\):

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OS} &= \dfrac{1}{2}(\lvec{OA} + \lvec{OB}) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\cdot \left([1, 2, 3] + [5, 2, 1]\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot [6, 4, 4] \\ \\ &= [3, 2, 2] \end{align*} \end{split}\]

Altså er sentrum i \(S(3, 2, 2)\).

Radius er halvparten av lengden av diameteren \(AB\). Vi har at

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [5, 2, 1] - [1, 2, 3] = [4, 0, -2] \]

Lengden av denne vektoren er

\[ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

Radius er derfor

\[ r = \sqrt{5} \]

b)

Skjul oppgaven

Et plan \(\alpha\) tangererer kuleflaten i punktet \(B\).

Finn likningen til planet \(\alpha\).

Vis fasit

\[ 2x - z - 9 = 0 \]

Vis løsningsforslag

Normalvektoren til planet vil være parallell med \(\lvec{SB}\). Vi har at

\[ \lvec{SB} = \lvec{OB} - \lvec{OS} = [5, 2, 1] - [3, 2, 2] = [2, 0, -1] \]

Vi kan derfor velge \(\vec{n} = [2, 0, -1]\) som en normalvektor til planet. Gitt et vilkårlig punkt \(P(x, y, z)\) i planet, er da planlikningen gitt ved:

\[ \lvec{BP} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ [x - 5, y - 2, z - 1] \cdot [2, 0, -1] = 0 \]

\[ 2(x - 5) + 0(y - 2) - 1(z - 1) = 0 \]

\[ 2x - 10 - z + 1 = 0 \]

\[ 2x - z - 9 = 0 \]

En linje \(\ell\) går gjennom sentrum av kula og står normalt på \(\alpha\).

c)

Skjul oppgaven

Lag en parameterframstilling for linja \(\ell\).

Vis fasit

\[ \vec{r}_\ell(t) = [3 + 2t, 2, 2 - t] \]

Vis løsningsforslag

Normalvektoren til planet vil også være en retningsvektor for linja siden linja står normalt på planet. Dermed kan vi velge retningsvektoren

\[ \vec{v}_\ell = \vec{n} = [2, 0, -1] \]

Linja går gjennom sentrum \(S(3, 2, 2)\) som gir oss parameterframstillingen

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}_\ell(t) &= \lvec{OS} + \vec{n} \cdot t \\ \\ &= [3, 2, 2] + [2, 0, -1] \cdot t \\ \\ &= [3 + 2t, 2, 2 - t] \end{align*} \end{split}\]

d)

Skjul oppgaven

Finn koordinatene til punktene der \(\ell\) skjærer kula.

Vis fasit

\(B(5, 2, 1)\) og \(C(1, 2, 3)\)

Vis løsningsforslag

Punktet \(B(5, 2, 1)\) vil være et av skjæringspunktene. Det andre skjæringspunktet finner vi ved å følge \(\lvec{SB}\) i motsatt retning fra punkt \(S\). Hvis vi kaller skjæringspunktet for \(C\), har vi

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OC} &= \lvec{OS} - \lvec{SB} \\ \\ &= [3, 2, 2] - [2, 0, -1] \\ \\ &= [1, 2, 3] \end{align*} \end{split}\]

Altså skjærer linja kuleflaten i punktene \(B(5, 2, 1)\) og \(C(1, 2, 3)\).

---

Oppgave 4

En kuleflate er gitt ved likningen

\[ x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 6z = 11 \]

a)

Skjul oppgaven

Bestem sentrum \(S\) og radius \(r\) til kula.

Vis fasit

• Sentrum \(S(2, -1, 3)\)

• Radius \(r = 5\)

Vis løsningsforslag

Vi fullfører kvadratene for hver variabel så vi kan lese av sentrum og radius. Vi har at

\[ x^2 - 4x = x^2 - 4x + 2^2 - 2^2 = (x - 2)^2 - 4 \]

\[ y^2 + 2y = y^2 + 2y + 1^2 - 1^2 = (y + 1)^2 - 1 \]

\[ z^2 - 6z = z^2 - 6z + 3^2 - 3^2 = (z - 3)^2 - 9 \]

Dermed kan vi skrive om likningen til kula som

\[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 3)^2 - 9 = 11 \]

\[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25 = 5^2 \]

Dermed er sentrum \(S(2, -1, 3)\) og radius \(r = 5\).

Et plan \(\alpha\) tangerer kuleflaten i punktet \(P(6, -4, 3)\).

b)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for \(\alpha\).

Vis fasit

\[ 4x - 3y - 36 = 0 \]

Vis løsningsforslag

En normalvektor til planet vil være \(\vec n = \lvec{SP}\):

\[ \vec n = \lvec{SP} = \lvec{OP} - \lvec{OS} = [6, -4, 3] - [2, -1, 3] = [4, -3, 0] \]

Vi lar \(T(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er planlikningen gitt ved

\[ \lvec{PT} \cdot \vec n = 0 \]

\[ [x - 6, y + 4, z - 3] \cdot [4, -3, 0] = 0 \]

\[ 4(x - 6) - 3(y + 4) + 0(z - 3) = 0 \]

\[ 4x - 24 - 3y - 12 = 0 \]

\[ 4x - 3y - 36 = 0 \]

Den rette linja gjennom \(P\) og \(S\) skjærer kuleflaten i et annet punkt \(Q\).

c)

Skjul oppgaven

Finn koordinatene til \(Q\).

Vis fasit

\(Q(-2, 2, 3)\)

Vis løsningsforslag

Vi har at \(Q\) må ligge på den andre siden av kuleflaten, diametralt motsatt fra punktet \(P\). Det betyr at

\[ \lvec{OQ} = \lvec{OS} - \lvec{SP} = [2, -1, 3] - [4, -3, 0] = [-2, 2, 3] \]

Altså er punktet gitt ved \(Q(-2, 2, 3)\).

---

Oppgave 5

En kuleflate \(K\) har likningen

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 6z = 14 \]

a)

Skjul oppgaven

Finn sentrum og radius til kulen.

Vis fasit

• Sentrum \(S(1, -1, 3)\)

• Radius \(r = 5\)

Vis løsningsforslag

Vi skriver om likningen til standardlikningen:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 2y + z^2 - 6z = 14 \]

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 3)^2 - 9 = 14 \]

\[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25 = 5^2 \]

Fra likningen kan vi lese av at kulen har sentrum i \(S(1, -1, 3)\) og radius \(r = 5\).

b)

Skjul oppgaven

Vis at punktet \(A(4, 3, 3)\) ligger på \(K\).

Vis løsningsforslag

Vi setter inn koordinatene til punktet og sjekker at kulelikningen er oppfylt:

\[ (4 - 1)^2 + (3 + 1)^2 + (3 - 3)^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 25 = 5^2 \]

Likningen er oppfylt som betyr at \(A\) ligger på \(K\).

Et plan \(\alpha\) tangerer kuleflaten i punktet \(A\).

c)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for \(\alpha\).

Vis fasit

\[ 3x + 4y - 24 = 0 \]

Vis løsningsforslag

En normalvektor til planet vil være parallell med \(\lvec{SA}\):

\[ \lvec{SA} = \lvec{OA} - \lvec{OS} = [4, 3, 3] - [1, -1, 3] = [3, 4, 0] \]

Vi setter normalvektoren til \(\vec n = [3, 4, 0]\). Vi lar \(P(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er planlikningen gitt ved

\[ \lvec{AP} \cdot \vec n = 0 \]

\[ [x - 4, y - 3, z - 3] \cdot [3, 4, 0] = 0 \]

\[ 3(x - 4) + 4(y - 3) + 0(z - 3) = 0 \]

\[ 3x - 12 + 4y - 12 = 0 \]

\[ 3x + 4y - 24 = 0 \]

Et annet plan \(\beta\) inneholder både \(S\) og \(B(1, 0, 1)\) og står normalt på \(\alpha\).

d)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for \(\beta\).

Vis fasit

\[ -8x + 6y + 3z + 5 = 0 \]

Vis løsningsforslag

Siden \(\beta\) inneholder \(S\) og \(B\), vil \(\lvec{SB}\) være parallell med planet. Siden \(\beta\) står normalt på \(\alpha\), vil også normalvektoren til \(\alpha\) være parallell med \(\beta\). Dermed kan vi lage en normalvektor til \(\beta\) ved å ta kryssproduktet mellom \(\lvec{SB}\) og normalvektoren til \(\alpha\). Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \vec n_\alpha \times \lvec{SB} &= \mqty| \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 | \\ \\ &= \vec e_x \cdot \mqty| 4 & 0 \\ 1 & -2 | - \vec e_y \cdot \mqty| 3 & 0 \\ 0 & -2 | + \vec e_z \cdot \mqty| 3 & 4 \\ 0 & 1 | \\ \\ &= \vec e_x \cdot (-8) - \vec e_y \cdot (-6) + \vec e_z \cdot (3) \\ \\ &= [-8, 6, 3] \end{align*} \end{split}\]

Vi lar \(P(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er planlikningen til \(\beta\) gitt ved

\[ \lvec{BP} \cdot \vec n_\beta = 0 \]

\[ [x - 1, y - 0, z - 1] \cdot [-8, 6, 3] = 0 \]

\[ -8(x - 1) + 6(y - 0) + 3(z - 1) = 0 \]

\[ -8x + 6y + 3z + 5 = 0 \]

---

Oppgave 6

En kuleflate er gitt ved

\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 8z - 20 = 0 \]

a)

Skjul oppgaven

Finn sentrum \(S\) og radius \(r\) til kuleflaten.

Vis fasit

• Sentrum \(S(3, -2, 4)\)

• Radius \(r = 7\)

Vis løsningsforslag

Vi skriver om kulelikningen til standardform:

\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 8z - 20 = 0 \]

\[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 4)^2 - 16 - 20 = 0 \]

\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 49 = 7^2 \]

Altså er sentrum \(S(3, -2, 4)\) og radius \(r = 7\).

Et plan er gitt ved

\[ 6x - 3y + 2z - 4 = 0 \]

b)

Skjul oppgaven

Bestem avstanden fra kulens sentrum til planet.

Vis fasit

Avstanden er lik \(4\).

Vis løsningsforslag

Normalvektoren til planet er \(\vec n = [a, b, c] = [6, -3, 2]\). Avstanden fra \(S(3, -2, 4)\) til planet er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{\abs{ax + by + cz + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{6 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 - 4}}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{18 + 6 + 8 - 4}}{\sqrt{36 + 9 + 4}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{28}}{\sqrt{49}} \\ \\ &= \dfrac{28}{7} \\ \\ &= 4 \end{align*} \end{split}\]

Skjæringen mellom kuleflaten og planet danner en sirkel.

c)

Skjul oppgaven

Bestem arealet av sirkelen.

Vis hint

Husk at arealet av en sirkel er \(A = \pi R^2\), der \(R\) er radius til sirkelen.

Vis fasit

Arealet er lik \(33\pi\).

Vis løsningsforslag

Vi lar \(\rho\) være radius til skjæringssirkelen. Fra skissa til høyre kan vi da bruke Pytagoras’ setning:

\[ \rho^2 + L^2 = r^2 \]

\[ \rho^2 = r^2 - L^2 = 49 - 16 = 33 \]

Arealet av sirkelen er da gitt ved

\[ A = \pi \rho^2 = 33\pi \]