Oppgaver: Kuler (og blandede oppgaver)

Innhold

Oppgaver: Kuler (og blandede oppgaver)#

Oppgave 1#

a)

En kule har sentrum \(S(3, 1, -2)\) og radius \(r = 5\).

Finn likningen til kulen.

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 25 \]

Likningen til en kule med sentrum \(S(x_0, y_0, z_0)\) og radius \(r\) er gitt ved

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \]

Vi setter inn verdiene og får:

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 25 \]

b)

En kule har sentrum \(S(-2, 3, -1)\) og radius \(r = \sqrt{5}\).

Finn likningen til kulen.

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 5 \]

c)

En kule har sentrum \(S(0, 2, 1)\) og radius \(r = 3\).

Finn likningen til kulen.

\[ x^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 9 \]

Oppgave 2#

a)

En kule er gitt ved likningen

\[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z - 3 = 0 \]

Finn sentrum og radius til kulen.

Sentrum \(S(1, -2, 3)\)
Radius \(r = \sqrt{17}\)

Vi fullfører kvadratene for hver variabel:

\[ x^2 - 2x = x^2 - 2x + 1^2 - 1^2 = (x - 1)^2 - 1 \]

\[ y^2 + 4y = y^2 + 4y + 2^2 - 2^2 = (y + 2)^2 - 4 \]

\[ z^2 - 6z = z^2 - 6z + 3^2 - 3^2 = (z - 3)^2 - 9 \]

Så setter vi inn i likningen:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z - 3 = 0 \]

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 - 3 = 0 \]

\[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 17 \]

Fra likningen kan vi lese av at sentrum er \(S(1, -2, 3)\) og radius er \(r = \sqrt{17}\).

b)

En kule er gitt ved likningen

\[ x^2 + 8x + y^2 - 4y + z^2 - 7 = 0 \]

Finn sentrum og radius til kulen.

Sentrum \(S(-4, 2, 0)\)
Radius \(r = \sqrt{27}\)

Vi fullfører kvadratene for hver variabel:

\[ x^2 + 8x = x^2 + 8x + 4^2 - 4^2 = (x + 4)^2 - 16 \]

\[ y^2 - 4y = y^2 - 4y + 2^2 - 2^2 = (y - 2)^2 - 4 \]

Vi trenger ikke gjøre noe med \(z^2\)-leddet siden vi mangler et \(z\)-ledd.

Så setter vi inn i likningen:

\[ (x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 + z^2 - 7 = 0 \]

\[ (x + 4)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 27 \]

Fra likningen kan vi lese av at sentrum er \(S(-4, 2, 0)\) og radius er \(r = \sqrt{27}\).

c)

En kule er gitt ved likningen

\[ x^2 + y^2 + 12y + z^2 + 8z - 12 = 0 \]

Finn sentrum og radius til kulen.

Sentrum \(S(0, -6, -4)\)
Radius \(r = 8\)

Vi fullfører kvadratene der det er nødvendig:

\[ y^2 + 12y = y^2 + 12y + 6^2 - 6^2 = (y + 6)^2 - 36 \]

\[ z^2 + 8z = z^2 + 8z + 4^2 - 4^2 = (z + 4)^2 - 16 \]

Så setter vi inn i likningen:

\[ x^2 + (y + 6)^2 - 36 + (z + 4)^2 - 16 - 12 = 0 \]

\[ x^2 + (y + 6)^2 + (z + 4)^2 = 64 = 8^2 \]

Fra likningen kan vi lese av at sentrum er \(S(0, -6, -4)\) og radius er \(r = 8\).

Oppgave 3#

Punktene \(A(1, 2, 3)\) og \(B(5, 2, 1)\) ligger på en kule der \(AB\) er diameteren til kulen.

a)

Finn kulens sentrum og radius.

Sentrum \(S(3, 2, 2)\)
Radius \(r = \sqrt{5}\)

Sentrum vil ligge midt mellom punktene \(A\) og \(B\). Vi kan finne koordinatene til dette punktet ved å ta gjennomsnittet av koordinatene til \(A\) og \(B\):

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OS} &= \dfrac{1}{2}(\lvec{OA} + \lvec{OB}) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\cdot \left([1, 2, 3] + [5, 2, 1]\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot [6, 4, 4] \\ \\ &= [3, 2, 2] \end{align*} \end{split}\]

Altså er sentrum i \(S(3, 2, 2)\).

Radius er halvparten av lengden av diameteren \(AB\). Vi har at

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [5, 2, 1] - [1, 2, 3] = [4, 0, -2] \]

Lengden av denne vektoren er

\[ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

Radius er derfor

\[ r = \sqrt{5} \]

b)

Et plan \(\alpha\) tangererer kuleflaten i punktet \(B\).

Finn likningen til planet \(\alpha\).

\[ 2x - z - 9 = 0 \]

Normalvektoren til planet vil være parallell med \(\lvec{SB}\). Vi har at

\[ \lvec{SB} = \lvec{OB} - \lvec{OS} = [5, 2, 1] - [3, 2, 2] = [2, 0, -1] \]

Vi kan derfor velge \(\vec{n} = [2, 0, -1]\) som en normalvektor til planet. Gitt et vilkårlig punkt \(P(x, y, z)\) i planet, er da planlikningen gitt ved:

\[ \lvec{BP} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ [x - 5, y - 2, z - 1] \cdot [2, 0, -1] = 0 \]

\[ 2(x - 5) + 0(y - 2) - 1(z - 1) = 0 \]

\[ 2x - 10 - z + 1 = 0 \]

\[ 2x - z - 9 = 0 \]

En linje \(\ell\) går gjennom sentrum av kula og står normalt på \(\alpha\).

c)

Lag en parameterframstilling for linja \(\ell\).

\[ \vec{r}_\ell(t) = [3 + 2t, 2, 2 - t] \]

Normalvektoren til planet vil også være en retningsvektor for linja siden linja står normalt på planet. Dermed kan vi velge retningsvektoren

\[ \vec{v}_\ell = \vec{n} = [2, 0, -1] \]

Linja går gjennom sentrum \(S(3, 2, 2)\) som gir oss parameterframstillingen

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}_\ell(t) &= \lvec{OS} + \vec{n} \cdot t \\ \\ &= [3, 2, 2] + [2, 0, -1] \cdot t \\ \\ &= [3 + 2t, 2, 2 - t] \end{align*} \end{split}\]

d)

Finn koordinatene til det andre punktet der \(\ell\) skjærer kula.

\((1, 2, 3)\)

Det andre skjæringspunktet finner vi ved å følge \(\lvec{SB}\) i motsatt retning fra punkt \(S\). Hvis vi kaller skjæringspunktet for \(C\), har vi

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OC} &= \lvec{OS} - \lvec{SB} \\ \\ &= [3, 2, 2] - [2, 0, -1] \\ \\ &= [1, 2, 3] \end{align*} \end{split}\]

Altså skjærer linja kuleflaten i punktet \(C(1, 2, 3)\).

Oppgave 4#

En kuleflate er gitt ved likningen

\[ x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 6z = 11 \]

a)

Bestem sentrum \(S\) og radius \(r\) til kula.

Sentrum \(S(2, -1, 3)\)
Radius \(r = 5\)

Vi fullfører kvadratene for hver variabel så vi kan lese av sentrum og radius. Vi har at

\[ x^2 - 4x = x^2 - 4x + 2^2 - 2^2 = (x - 2)^2 - 4 \]

\[ y^2 + 2y = y^2 + 2y + 1^2 - 1^2 = (y + 1)^2 - 1 \]

\[ z^2 - 6z = z^2 - 6z + 3^2 - 3^2 = (z - 3)^2 - 9 \]

Dermed kan vi skrive om likningen til kula som

\[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 3)^2 - 9 = 11 \]

\[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25 = 5^2 \]

Dermed er sentrum \(S(2, -1, 3)\) og radius \(r = 5\).

Et plan \(\alpha\) tangerer kuleflaten i punktet \(P(6, -4, 3)\).

b)

Bestem en likning for \(\alpha\).

\[ 4x - 3y - 36 = 0 \]

En normalvektor til planet vil være \(\vec n = \lvec{SP}\):

\[ \vec n = \lvec{SP} = \lvec{OP} - \lvec{OS} = [6, -4, 3] - [2, -1, 3] = [4, -3, 0] \]

Vi lar \(T(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er planlikningen gitt ved

\[ \lvec{PT} \cdot \vec n = 0 \]

\[ [x - 6, y + 4, z - 3] \cdot [4, -3, 0] = 0 \]

\[ 4(x - 6) - 3(y + 4) + 0(z - 3) = 0 \]

\[ 4x - 24 - 3y - 12 = 0 \]

\[ 4x - 3y - 36 = 0 \]

Den rette linja gjennom \(P\) og \(S\) skjærer kuleflaten i et annet punkt \(Q\).

c)

Finn koordinatene til \(Q\).

\(Q(-2, 2, 3)\)

Vi har at \(Q\) må ligge på den andre siden av kuleflaten, diametralt motsatt fra punktet \(P\). Det betyr at

\[ \lvec{OQ} = \lvec{OS} - \lvec{SP} = [2, -1, 3] - [4, -3, 0] = [-2, 2, 3] \]

Altså er punktet gitt ved \(Q(-2, 2, 3)\).

Et annet plan \(\beta\) er parallelt med \(\alpha\) og skjærer kuleflaten langs en sirkel. Avstanden fra \(\beta\) til \(Q\) er \(3\).

d)

Bestem radiusen til skjæringssirkelen mellom \(\beta\) og kuleflaten.

\(\sqrt{21}\)

Vi tenker oss et tverrsnitt av kula som viser hvor planet \(\beta\) skjærer kuleflaten. Vi har at radius til kula er \(r = 5\) og at avstanden fra \(\beta\) til punktet \(Q\) er \(3\) som betyr at den ene kateten i den rettvinklede trekanten er lik \(2\). Med Pytagoras’ setning får vi da at radius \(\rho\) til skjæringssirkelen er

\[ \rho^2 = r^2 - 2^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 \]

Ergo får vi

\[ \rho = \sqrt{21} \]

Oppgave 5#

En kuleflate er gitt ved

\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 8z - 20 = 0 \]

a)

Finn sentrum \(S\) og radius \(r\) til kuleflaten.

Sentrum \(S(3, -2, 4)\)
Radius \(r = 7\)

Vi skriver om kulelikningen til standardform:

\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 8z - 20 = 0 \]

\[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 4)^2 - 16 - 20 = 0 \]

\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 49 = 7^2 \]

Altså er sentrum \(S(3, -2, 4)\) og radius \(r = 7\).

Et plan er gitt ved

\[ 6x - 3y + 2z - 4 = 0 \]

b)

Bestem avstanden fra kulens sentrum til planet.

Avstanden er lik \(4\).

Normalvektoren til planet er \(\vec n = [a, b, c] = [6, -3, 2]\). Avstanden fra \(S(3, -2, 4)\) til planet er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{\abs{ax + by + cz + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{6 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 - 4}}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{18 + 6 + 8 - 4}}{\sqrt{36 + 9 + 4}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{28}}{\sqrt{49}} \\ \\ &= \dfrac{28}{7} \\ \\ &= 4 \end{align*} \end{split}\]

Skjæringen mellom kuleflaten og planet danner en sirkel.

c)

Bestem arealet av sirkelen.

Husk at arealet av en sirkel er \(A = \pi R^2\), der \(R\) er radius til sirkelen.

Arealet er lik \(33\pi\).

Vi lar \(\rho\) være radius til skjæringssirkelen. Fra skissa til høyre kan vi da bruke Pytagoras’ setning:

\[ \rho^2 + L^2 = r^2 \]

\[ \rho^2 = r^2 - L^2 = 49 - 16 = 33 \]

Arealet av sirkelen er da gitt ved

\[ A = \pi \rho^2 = 33\pi \]

Oppgave 6#

En kule har sentrum i \(S(1, 3, 5)\). Punktet \(P(4, -1, 5)\) ligger på kuleflaten.

a)

Bestem en likning for kuleflaten.

\[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 25 \]

Et plan \(\alpha\) tangerer kuleflaten i \(P\).

b)

Finn en likning for \(\alpha\).

\[ 3x - 4y - 16 = 0 \]

En annen kule har sentrum i \(Q(2, 0, 12)\). Planet \(\alpha\) tangerer også denne kuleflaten.

c)

Bestem likningen til den nye kuleflaten.

\[ (x - 2)^2 + y^2 + (z - 12)^2 = 4 \]

Oppgave 7#

En kuleflate \(K\) har likningen

\[ x^2 + y^2 - 4y + z^2 - 2z - 31 = 0 \]

a)

Finn sentrum \(S\) og radius \(r\) til kulen.

Sentrum \(S(0, 2, 1)\)
Radius \(r = 6\)

Vi skriver om likningen til standardlikningen:

\[ x^2 + y^2 - 4y + z^2 - 2z - 31 = 0 \]

\[ x^2 + (y - 2)^2 - 4 + (z - 1)^2 - 1 = 0 \]

\[ x^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 36 = 6^2 \]

Fra likningen kan vi lese av at kulen har sentrum i \(S(0, 2, 1)\) og radius \(r = 6\).

Et plan \(\alpha\) er gitt ved

\[ 2x + y - 2z - 9 = 0 \]

b)

Bestem avstanden fra \(\alpha\) til kulens sentrum.

\[ L = 3 \]

Vi bruker formelen for avstanden fra et punkt til et plan. Avstanden fra sentrum \(S(0, 2, 1)\) til planet \(\alpha\) er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 - 9|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} \\ \\ &= \frac{|0 + 2 - 2 - 9|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \\ \\ &= \frac{9}{3} \\ \\ &= 3 \end{align*} \end{split}\]

c)

Planet \(\alpha\) skjærer kuleflaten langs en skjæringssirkel med sentrum \(Q\).

Bestem de to mulige koordinatene til \(Q\).

\(Q_1(2, 3, -1)\) eller \(Q_2(-2, 1, 3)\)

Avstanden fra kulens sentrum \(S(0, 2, 1)\) til planet \(\alpha\) er \(L = 3\). Går vi en avstand \(3\) langs normalvektoren til planet i begge retninger, vil vi finne de to mulige punktene for sirkelens sentrum.

En enhetsvektor som peker i samme retning som nromalvektoren til planet er

\[ \hat{n} = \dfrac{\vec n}{\abs{\vec n}} = \dfrac{\vec n}{3} \]

Det ene mulige punktet for \(Q\) er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ_1} &= \lvec{OS} + L \cdot \hat{n} \\ \\ &= \lvec{OS} + 3 \cdot \dfrac{\vec n}{3} \\ \\ &= \lvec{OS} + \vec n \\ \\ &= [0, 2, 1] + [2, 1, -2] \\ \\ &= [2, 3, -1] \end{align*} \end{split}\]

Det andre mulige punktet for \(Q\) er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ_2} &= \lvec{OS} - L \cdot \hat{n} \\ \\ &= \lvec{OS} - 3 \cdot \dfrac{\vec n}{3} \\ \\ &= \lvec{OS} - \vec n \\ \\ &= [0, 2, 1] - [2, 1, -2] \\ \\ &= [-2, 1, 3] \end{align*} \end{split}\]

Altså er sentrum i skjæringssirkelen enten \(Q_1(2, 3, -1)\) eller \(Q_2(-2, 1, 3)\).

Et annet plan \(\beta\) inneholder både \(S\) og \(B(1, 0, 1)\) og står normalt på \(\alpha\).

d)

Bestem en likning for \(\beta\).

\[ 4x + 2y + 5z - 9 = 0 \]

Siden \(\beta\) inneholder både \(S\) og \(B\), vil vektoren \(\lvec{SB}\) være parallell med planet \(\beta\). Siden \(\beta\) står normalt på \(\alpha\), vil også normalvektoren til \(\alpha\) være parallell med \(\beta\). Dermed vil også normalvektoren \(\vec n_\alpha\) til \(\alpha\) være parallell med planet \(\beta\). Da må normalvektoren til \(\beta\) være parallell med kryssproduktet

Vi har at

\[ \vec n_\alpha \times \lvec{SB} = [2, 1, -2] \times [1, -2, 0] \]

Da får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} \vec n_\alpha \times \lvec{SB} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 0| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \mqty| 1 & -2 \\ -2 & 0| - \vec e_y \cdot \mqty| 2 & -2 \\ 1 & 0| + \vec e_z \cdot \mqty| 2 & 1 \\ 1 & -2| \\ \\ &= \vec e_x \cdot (1 \cdot 0 - (-2) \cdot (-2)) - \vec e_y \cdot (2 \cdot 0 - (-2) \cdot 1) + \vec e_z \cdot (2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) \\ \\ &= \vec e_x \cdot (0 - 4) - \vec e_y \cdot (0 - (-2)) + \vec e_z \cdot (-4 - 1) \\ \\ &= -4\vec e_x - 2\vec e_y - 5\vec e_z \\ \\ &= [-4, -2, -5] \\ \\ &= -1 \cdot [4, 2, 5] \end{align*} \end{split}\]

Så vi kan sette \(\vec n_\beta = [4, 2, 5]\). En likning for \(\beta\) blir derfor

\[ \lvec{SP} \cdot \vec n_\beta = 0 \]

\[ [x - 0, y - 2, z - 1] \cdot [4, 2, 5] = 0 \]

\[ 4x + 2(y - 2) + 5(z - 1) = 0 \]

\[ 4x + 2y - 4 + 5z - 5 = 0 \]

\[ 4x + 2y + 5z - 9 = 0 \]

Oppgave 8#

Punktene \(A(1, -4, 1)\) og \(B(3, 0, 5)\) ligger i planet \(\alpha\).

Normalvektoren til \(\alpha\) er på formen \(\vec n = [k, 1, -k]\) for en bestemt verdi av \(k\).

a)

Bestem en likning for \(\alpha\).

\[ 2x + y - 2z + 4 = 0 \]

Siden punktene \(A\) og \(B\) ligger i planet og \(\vec n\) er en normalvektor til planet, så vil \(\lvec{AB}\) og \(\vec n\) være ortogonale. Dermed har vi at

\[ \lvec{AB} \cdot \vec n = 0 \]

\[ [2, 4, 4] \cdot [k, 1, -k] = 0 \]

\[ 2k + 4 - 4k = 0 \liff -2k + 4 = 0 \liff k = 2 \]

Ergo er normalvektoren til planet gitt ved

\[ \vec n = [2, 1, -2] \]

Vi lar \(P(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er planlikningen gitt ved

\[ \lvec{AP} \cdot \vec n = 0 \]

\[ [x - 1, y + 4, z - 1] \cdot [2, 1, -2] = 0 \]

\[ 2(x - 1) + 1(y + 4) - 2(z - 1) = 0 \]

\[ 2x + y - 2z + 4 = 0 \]

Planet \(\alpha\) skjærer \(z\)-aksen i punktet \(C\).

b)

Bestem koordinatene til \(C\).

\(C(0, 0, 2)\).

\(z\)-aksen vil være alle punkter hvor \(x = y = 0\). Vi setter derfor dette inn i planlikningen og løser for \(z\):

\[ 2\cdot 0 + 0 - 2z + 4 = 0 \]

\[ -2z + 4 = 0 \liff z = 2 \]

Ergo er punktet \(C\) gitt ved \(C(0, 0, 2)\).

c)

Bestem volumet av pyramiden \(ABCO\) der \(O\) er origo.

\(V = 4\)

Vi velger \(OAC\) som grunnflate i pyramiden. Da er grunnflatevektoren gitt ved

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} \lvec{OA} \times \lvec{OC} \]

Vi har at \(\lvec{OA} = [1, -4, 1]\) og \(\lvec{OC} = [0, 0, 2]\). Dermed får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OA} \times \lvec{OC} &= \mqty| \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 | \\ \\ &= \vec e_x \cdot \mqty| -4 & 1 \\ 0 & 2 | - \vec e_y \cdot \mqty| 1 & 1 \\ 0 & 2 | + \vec e_z \cdot \mqty| 1 & -4 \\ 0 & 0 | \\ \\ &= \vec e_x \cdot (-8) - \vec e_y \cdot (2) + \vec e_z \cdot (0) \\ \\ &= [-8, -2, 0] \end{align*} \end{split}\]

som gir

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} [-8, -2, 0] = [-4, -1, 0] \]

Volumet av pyramiden er da \(V = \dfrac{\abs{\vec{G} \cdot \lvec{OB}}}{3}\). Vi har at

\[ \vec{G} \cdot \lvec{OB} = [-4, -1, 0] \cdot [3, 0, 5] = -12 + 0 + 0 = -12 \]

Dermed er volumet

\[ V = \dfrac{\abs{-12}}{3} = 4 \]

En kule har sentrum i origo og tangerer planet \(\alpha\) i et punkt \(P\).

d)

Bestem koordinatene til punktet \(P\).

\(P\left(-\dfrac{8}{9}, -\dfrac{4}{9}, \dfrac{8}{9}\right)\)

Vektoren \(\lvec{OP}\) vil være parallell med normalvektoren \(\vec n\). Dermed har vi at

\[ \lvec{OP} = t \cdot \vec n = t \cdot [2, 1, -2] = [2t, t, -2t] \]

Vi setter dette inn i planlikningen og løser for \(t\):

\[ 2(2t) + 1(t) - 2(-2t) + 4 = 0 \]

\[ 4t + t + 4t + 4 = 0 \]

\[ 9t + 4 = 0 \liff t = -\dfrac{4}{9} \]

Dermed er koordinatene til punktet \(P\) gitt ved

\[ \lvec{OP} = \mqty[2 \cdot -\dfrac{4}{9}, -\dfrac{4}{9}, -2 \cdot -\dfrac{4}{9}] = \mqty[-\dfrac{8}{9}, -\dfrac{4}{9}, \dfrac{8}{9}] \]

Oppgave 9#

Punktene \(P(2, 4, -4)\) og \(Q(0, 0, 0)\) ligger på en kuleflate \(K\) slik at \(PQ\) er diameteren i kulen.

a)

Finn en likning for \(K\).

\[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 3^2 \]

Sentrum \(S\) vil ligge midt mellom \(P\) og \(Q\) som gir oss

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OS} &= \frac{1}{2} (\lvec{OP} + \lvec{OQ}) \\ \\ &= \frac{1}{2} ([2, 4, -4] + [0, 0, 0]) \\ \\ &= \frac{1}{2} [2, 4, -4] \\ \\ &= [1, 2, -2] \end{align*} \end{split}\]

Radiusen er halvparten av avstanden mellom de to \(P\) og \(Q\):

\[ r = \dfrac{\abs{\lvec{PQ}}}{2} = \dfrac{\abs{[2, 4, -4]}}{2} = 3 \]

Dermed er avstanden fra sentrum til kuleflaten lik radiusen \(r = 3\), og likningen for kuleflaten blir

\[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 3^2 \]

Et plan \(\alpha\) tangerer kuleflaten i punktet \(P\).

b)

Bestem en likning for \(\alpha\).

\[ x + 2y - 2z - 18 = 0 \]

Likningen for planet vil ha en normalvektor som er parallell med

\[ \lvec{SP} = \lvec{OP} - \lvec{OS} = [2, 4, -4] - [1, 2, -2] = [1, 2, -2] \]

Vi setter \(\vec n = [1, 2, -2]\). Da blir likningen til planet gitt ved:

\[ [x - 2, y - 4, z + 4] \cdot [1, 2, -2] = 0 \]

\[ x - 2 + 2(y - 4) - 2(z + 4) = 0 \]

\[ x - 2 + 2y - 8 - 2z - 8 = 0 \]

\[ x + 2y - 2z - 18 = 0 \]

Et annet plan \(\gamma\) er parallelt med \(\alpha\), og skjærer kuleflaten \(K\) som gir en sirkel med radius \(\sqrt{5}\).

c)

Bestem de mulige koordinatene til sirkelens sentrum.

\(Q_1\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{10}{3}, -\dfrac{10}{3}\right)\) eller \(Q_2\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{2}{3}\right)\).

Siden planet \(\gamma\) er parallelt med \(\alpha\), så vil en normalvektor til \(\gamma\) også være

\[ \vec n = [1, 2, -2]. \]

Hvis vi kjenner til avstanden fra planet \(\gamma\) til kuleflatens sentrum, kan vi gå fra sentrum \(S\) langs en enhetsvektor \(\hat{n}\) i retning av normalvektoren til planet for å finne senteret til den ene sirkelen. Den andre mulige sirkelen finner vi ved å gå i motsatt retning.

Avstanden \(L\) fra \(S\) til \(\gamma\) vil være:

\[ L^2 + \rho^2 = r^2 \liff L = \sqrt{r^2 - \rho^2} \]

der \(r\) er radius til kuleflaten og \(\rho\) er radius til sirkelen. Da får vi:

\[ L = \sqrt{3^2 - \sqrt{5}^2} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2 \]

Vi har at \(\abs{\vec n} = 3\) som betyr at enhetsvektoren som peker i samme retning er:

\[ \hat n = \dfrac{\vec n}{\abs{\vec n}} = \dfrac{\vec n}{3} \]

La \(Q_1\) være det ene mulige senteret til sirkelen. Da får vi at:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ_1} &= \lvec{OS} + L \hat{n} \\ \\ &= \lvec{OS} + 2 \dfrac{\vec n}{3} \\ \\ &= \lvec{OS} + \dfrac{2}{3} \cdot \vec n \\ \\ &= [1, 2, -2] + \dfrac{2}{3} \cdot [1, 2, -2] \\ \\ &= \mqty[1 + \dfrac{2}{3}, 2 + \dfrac{4}{3}, -2 - \dfrac{4}{3}] \\ \\ &= \mqty[\dfrac{5}{3}, \dfrac{10}{3}, -\dfrac{10}{3}] \\ \end{align*} \end{split}\]

La \(Q_2\) være det andre mulige senteret til sirkelen. Da får vi at:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ_2} &= \lvec{OS} - L \hat{n} \\ \\ &= \lvec{OS} - 2 \dfrac{\vec n}{3} \\ \\ &= \lvec{OS} - \dfrac{2}{3} \cdot \vec n \\ \\ &= [1, 2, -2] - \dfrac{2}{3} \cdot [1, 2, -2] \\ \\ &= \mqty[1 - \dfrac{2}{3}, 2 - \dfrac{4}{3}, -2 + \dfrac{4}{3}] \\ \\ &= \mqty[\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{2}{3}] \\ \end{align*} \end{split}\]

Altså må sirkelens sentrum enten være \(Q_1\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{10}{3}, -\dfrac{10}{3}\right)\) eller \(Q_2\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{2}{3}\right)\).

Oppgave 10#

Gitt punktene \(A(-1, -1, 2)\), \(B(3, 4, -1)\), \(C(5, 3, 1)\) og \(D(5, 6, 4)\) har vi at

Planet \(\alpha\) går gjennom \(A\), \(B\) og \(C\)
Linja \(\ell\) går gjennom \(A\) og \(D\)
En kuleflate har radius \(8\) og sentrum \(S\) som ligger på linja \(\ell\)
Kuleflaten tangerer \(\alpha\).

Bestem de mulige koordinatene til kuleflatens sentrum.

\[ S_1(11, 13, 6) \qeller S_2(-13, -15, -2) \]

Her må vi kombinere en del teori sammen. Først kan vi merke oss at siden kuleflaten tangerer \(\alpha\), må avstanden fra kulens sentrum til \(\alpha\) være lik radius som er \(8\). Derfor vil det være lurt å finne likningen til planet, og da må vi først finne oss en normalvektor.

En normalvektor til \(\alpha\) vil være parallell med \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\). Vi har at

\[ \lvec{AB} = [4, 5, -3] \qog \lvec{AC} = [6, 4, -1] \]

Kryssproduktet mellom de to vektorene blir:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 4 & 5 & -3 \\ 6 & 4 & -1| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|5 & -3 \\ 4 & -1|}_{\displaystyle =7} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|4 & -3 \\ 6 & -1|}_{\displaystyle =14} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|4 & 5 \\ 6 & 4| }_{\displaystyle =-14} \\ \\ &= [7, -14, -14] \\ \\ &= 7 \cdot [1, -2, -2] \end{align*} \end{split}\]

Altså er en normalvektor til \(\alpha\) gitt ved

\[ \vec n = [1, -2, -2] \]

Likningen til planet kan vi da få ved å ta utgangspunkt i punktet \(A\):

\[ [x + 1, y + 1, z - 2] \cdot [1, -2, -2] = 0 \]

\[ x + 1 - 2(y + 1) - 2(z - 2) = 0 \]

\[ x + 1 - 2y - 2 - 2z + 4 = 0 \]

\[ x - 2y - 2z + 3 = 0 \]

Siden \(\alpha\) tangerer kulen \(K\) og radius er lik \(8\) (som også blir avstanden fra planet til kulens sentrum) har vi at

\[ 8 = \dfrac{\abs{x - 2y - 2z + 3}}{\abs{\vec n}} \]

der vi har at \(\abs{\vec n} = 3\).

Dermed får vi at

\[ 8 = \dfrac{\abs{x - 2y - 2z + 3}}{3} \liff \abs{x - 2y - 2z + 3} = 24 \]

der \((x, y, z)\) er kulens sentrum. Vi vet også at kulens sentrum ligger på linja \(\ell\) gjennom \(A\) og \(D\), så hvis vi krever at punktet både må ligge på \(\ell\) og samtidig må ha en avstand lik \(8\), kan vi finne to muligheter for kulens sentrum med likningen ovenfor.

Da trenger vi først en parameterframstilling for linja. Vi finner en retningsvektor for linja som er gitt ved:

\[ \vec v = \lvec{AD} = [6, 7, 2] \]

En parameterframstilling for linja er da

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r(t) &= \lvec{OA} + \vec v \cdot t \\ \\ &= [-1, -1, 2] + [6, 7, 2] \cdot t \\ \\ &= [-1 + 6t, -1 + 7t, 2 + 2t] \end{align*} \end{split}\]

Hvis vi nå setter koordinatene til parameterframstillingen inn i likningen for avstanden fra sentrum til planet, kan vi finne de verdiene for \(t\) som sørger for at

Sentrum ligger på linja \(\ell\)
Avstanden fra planet til kulens sentrum er lik \(8\)

Da får vi:

\[ |\underbrace{(-1 + 6t)}_{\displaystyle x} - 2 \cdot \underbrace{(-1 + 7t)}_{\displaystyle y} - 2 \cdot \underbrace{(2 + 2t)}_{\displaystyle z} + 3| = 24 \]

\[ |-1 + 6t + 2 - 14t - 4 - 4t + 3| = 24 \]

\[ |-12t| = 24 \liff 12\abs{t} = 24 \]

som betyr at

\[ \abs{t} = 2 \liff t = \pm 2 \]

Den ene muligheten for kulens sentrum \(S_1\) blir derfor

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OS_1} &= \vec r(2) \\ \\ &= [-1 + 6 \cdot 2, -1 + 7 \cdot 2, 2 + 2\cdot 2] \\ \\ &= [11, 13, 6] \end{align*} \end{split}\]

Den andre muligheten for kulens sentrum \(S_2\) blir

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OS_2} &= \vec r(-2) \\ \\ &= [-1 + 6 \cdot (-2), -1 + 7 \cdot (-2), 2 + 2 \cdot (-2)] \\ \\ &= [-13, -15, -2] \end{align*} \end{split}\]

Altså er mulighetene for kulens sentrum

\[ S_1(11, 13, 6) \qeller S_2(-13, -15, -2) \]