Enhetssirkelen og radianer: Oppgaver

Oppgave 1

a)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i radianer.

\[ \alpha = 30\degree \]

Vis fasit

\[ \alpha = \dfrac{\pi}{6} \]

Vis løsningsforslag

\[ \alpha = 30\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{\pi}{6} \]

b)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i radianer.

\[ \beta = 45\degree \]

Vis fasit

\[ \beta = \dfrac{\pi}{4} \]

Vis løsningsforslag

\[ \beta = 45\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{\pi}{4} \]

c)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i radianer.

\[ \gamma = 60\degree \]

Vis fasit

\[ \gamma = \dfrac{\pi}{3} \]

Vis løsningsforslag

\[ \gamma = 60\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{\pi}{3} \]

d)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i radianer.

\[ \varphi = 90\degree \]

Vis fasit

Vis løsningsforslag

\[ \varphi = 90\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{\pi}{2} \]

e)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i radianer:

\[ \theta = 120\degree \]

Vis fasit

\[ \theta = \dfrac{2\pi}{3} \]

Vis løsningsforslag

\[ \theta = 120\degree \cdot \dfrac{\pi}{180\degree} = \dfrac{2\pi}{3} \]

---

Oppgave 2

a)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i grader.

\[ \alpha = \pi \]

Vis fasit

\[ \alpha = 180\degree \]

Vis løsningsforslag

\[ \alpha = \pi \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 180\degree \]

b)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i grader.

\[ \beta = -\dfrac{\pi}{2} \]

Vis fasit

Vis løsningsforslag

\[ \beta = -\dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = -90\degree \]

c)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i grader.

\[ \gamma = \dfrac{4\pi}{3} \]

Vis fasit

\[ \gamma = 240\degree \]

Vis løsningsforslag

\[ \gamma = \dfrac{4\pi}{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 240\degree \]

d)

Skjul oppgaven

Finn vinkelen i grader.

\[ \varphi = \dfrac{3\pi}{2} \]

Vis fasit

\[ \varphi = 270\degree \]

Vis løsningsforslag

\[ \varphi = \dfrac{3\pi}{2} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 270\degree \]

---

Oppgave 3

a)

Skjul oppgaven

En vinkel er gitt ved \(\varphi = \dfrac{2\pi}{3}\).

Hvilken figur nedenfor viser \(\varphi\) i enhetssirkelen?

Vis fasit

Figur B

Vis løsningsforslag

Vi kan regne ut vinkelen i grader for å finne i hvilken kvadrant vinkelen ligger i:

\[ \varphi = \dfrac{2\pi }{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 120\degree \]

som betyr at vinkelen ligger i 2. kvadrant. Dermed må det være figur B som viser vinkelen.

b)

Skjul oppgaven

En vinkel er gitt ved \(\theta = -\dfrac{\pi}{4}\).

Hvilken figur nedenfor viser \(\theta\) i enhetssirkelen?

Vis fasit

Figur A.

Vis løsningsforslag

Vi kan omregne vinkelen til grader:

\[ \theta = -\dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = -45\degree \]

Altså ligger vinkelen i 4. kvadrant. Omløpsretningen er negativ, som betyr at det er figur A som viser vinkelen.

c)

Skjul oppgaven

En vinkel er gitt ved \(\gamma = \dfrac{3\pi}{4}\).

Hvilken figur nedenfor viser \(\gamma\) i enhetssirkelen?

Vis fasit

Figur C.

Vis løsningsforslag

Vinkelen går i positiv omløpsretning. Regner vi om til grader får vi:

\[ \gamma = \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 135\degree = 3 \cdot 45\degree \]

Altså ligger vinkelen i 2. kvadrant. Dermed er riktig svar figur C.

d)

Skjul oppgaven

En vinkel er gitt ved \(\xi = -\dfrac{5\pi}{6}\).

Hvilken figur nedenfor viser \(\xi\) i enhetssirkelen?

Vis fasit

Figur A.

Vis løsningsforslag

Vinkelen går i negativ omløpsretning. Vi kan regne om til grader for å finne hvilken kvadrant vinkelen ligger i:

\[ \xi = -\dfrac{5\pi }{6} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = -150\degree \]

Vinkelen ligger derfor i 3. kvadrant og dermed er riktig svar figur A.

---

Oppgave 4

a)

Skjul oppgaven

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(3\).

Buelengden til den blå sirkelbuen er \(2\pi\).

Finn vinkelen \(\varphi\) i radianer og grader.

Vis fasit

\[ \varphi = \dfrac{2\pi}{3} = 120\degree \]

Vis løsningsforslag

Sammenhengen mellom buelengde \(s\), radius \(r\) og vinkelen \(\varphi\) er

\[ \varphi = \dfrac{s}{r} \]

Vi har at \(s = 2\pi\) og \(r = 3\). Ergo er vinkelen i radianer:

\[ \varphi = \dfrac{2\pi}{3} \]

Vinkelen i grader er

\[ \varphi = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 120\degree \]

b)

Skjul oppgaven

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(15\).

Buelengden til den blå sirkelbuen er \(3\pi\).

Finn vinkelen \(\theta\) i radianer og grader.

Vis fasit

\[ \theta = \dfrac{\pi}{5} = 36\degree \]

Vis løsningsforslag

Vinkelen i radianer er gitt ved:

\[ \theta = \dfrac{s}{r} = \dfrac{3\pi}{15} = \dfrac{\pi}{5} \]

Vinkelen i grader er da:

\[ \theta = \dfrac{\pi}{5} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 36\degree \]

c)

Skjul oppgaven

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(9\).

Buelengden til den blå sirkelbuen er \(12\pi\).

Finn vinkelen \(\gamma\) i radianer og grader.

Vis fasit

\[ \gamma = \dfrac{4\pi}{3} = 240\degree \]

Vis løsningsforslag

Vinkelen i radianer er:

\[ \gamma = \dfrac{s}{r} = \dfrac{12\pi}{9} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Vinkelen i grader er da:

\[ \gamma = \dfrac{4\pi}{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 240\degree \]

d)

Skjul oppgaven

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(4\) og en blå sirkelbue.

Vinkelen i figuren er lik \(\dfrac{2\pi}{3}\).

Finn buelengden \(s\) til den blå sirkelbuen.

Vis fasit

\[ s = \dfrac{8\pi}{3} \]

Vis løsningsforslag

Sammenhengen mellom en vinkel \(\varphi\), buelengde \(s\) og radius \(r\) er gitt ved

\[ \varphi = \dfrac{s}{r} \liff s = \varphi \cdot r \]

Vi har at \(\varphi = \dfrac{2\pi}{3}\) og \(r = 4\). Dermed er buelengden:

\[ s = \dfrac{2\pi}{3} \cdot 4 = \dfrac{8\pi}{3} \]

e)

Skjul oppgaven

En sirkel har radius \(r\) og en blå sirkelbue har buelengden \(6\pi\).

Vinkelen i figuren er lik \(\dfrac{3\pi}{4}\).

Finn radiusen \(r\) til sirkelen.

Vis fasit

\[ r = 8 \]

Vis løsningsforslag

Gitt en vinkel \(\varphi\), buelengde \(s\) og radius \(r\) er sammenhengen gitt ved

\[ \varphi = \dfrac{s}{r} \liff r = \dfrac{s}{\varphi} \]

Vi har at \(s = 6\pi\) og \(\varphi = \dfrac{3\pi}{4}\). Dermed er radiusen:

\[ r = \dfrac{6\pi}{3\pi/ 4} = 6\pi \cdot \dfrac{4}{3\pi} = 8 \]

---

Oppgave 5

a)

Skjul oppgaven

Et punkt \(P\) ligger på enhetssirkelen.

Vinkelen mellom førsteaksen og vektoren \(\lvec{OP}\) er \(\varphi = 0\).

Finn \(\cos 0\) og \(\sin 0\).

Vis fasit

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \lvec{OP} = [\cos 0, \sin 0] = [1, 0] \]

Ergo er

\[ \cos 0 = 1 \and \sin 0 = 0 \]

b)

Skjul oppgaven

Et punkt \(Q\) ligger på enhetssirkelen.

Vinkelen mellom førsteaksen og vektoren \(\lvec{OQ}\) er \(\varphi = \dfrac{\pi}{2}\).

Finn \(\cos \dfrac{\pi}{2}\) og \(\sin \dfrac{\pi}{2}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{\pi}{2} = 0 \and \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \]

Vis løsningsforslag

Vektoren er gitt ved

\[ \lvec{OQ} = \mqty[\cos \dfrac{\pi}{2}, \sin \dfrac{\pi}{2}] = [0, 1] \]

som betyr at

\[ \cos \dfrac{\pi}{2} = 0 \and \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \]

c)

Skjul oppgaven

Et punkt \(R\) ligger på enhetssirkelen.

Vinkelen mellom førsteaksen og linjestykket \(OR\) er \(\varphi = \pi\).

Finn \(\cos \pi\) og \(\sin \pi\).

Vis fasit

\[ \cos \pi = -1 \and \sin \pi = 0 \]

Vis løsningsforslag

Vektoren \(\lvec{OR}\) er gitt ved

\[ \lvec{OR} = \mqty[\cos \pi, \sin \pi] = [-1, 0] \]

Altså er

\[ \cos \pi = -1 \and \sin \pi = 0 \]

d)

Skjul oppgaven

Et punkt \(S\) ligger på enhetssirkelen.

Vinkelen mellom førsteaksen og linjestykket \(OS\) er \(\varphi = \dfrac{3\pi}{2}\).

Finn \(\cos \dfrac{3\pi}{2}\) og \(\sin \dfrac{3\pi}{2}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{3\pi}{2} = 0 \and \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \]

Vis løsningsforslag

Vektoren \(\lvec{OS}\) er gitt ved

\[ \lvec{OS} = \mqty[\cos \dfrac{3\pi}{2}, \sin \dfrac{3\pi}{2}] = [0, -1] \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{3\pi}{2} = 0 \and \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \]

---

Oppgave 6

a)

Skjul oppgaven

Gitt den rettvinklede trekanten til høyre.

Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for

\[ \cos 45\degree \qog \sin 45\degree \]

Vis fasit

\[ \cos 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Den rettvinkla trekanten er en likebeint trekant med kateter med lengde \(x\) og hypotenus lik \(1\). Fra Pytagoras’ setning får vi at

\[ x^2 + x^2 = 1^2 \liff 2x^2 = 1 \limplies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Dermed får vi at

\[ \cos 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

En likesidet trekant med sidelengder \(1\) er vist til høyre.

b)

Skjul oppgaven

Finn høyden \(h\) i trekanten.

Vis fasit

\[ h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Fra Pytagoras’ setning har vi at

\[ h^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1^2 \]

\[ h^2 + \dfrac{1}{4} = 1 \]

\[ h^2 = \dfrac{3}{4} \]

\[ h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

c)

Skjul oppgaven

Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for

\[ \cos 60\degree \qog \sin 60\degree \]

Vis fasit

\[ \cos 60\degree = \dfrac{1}{2} \and \sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Fra trekanten har vi at

\[ \cos 60\degree = \dfrac{1/2}{1} = \dfrac{1}{2} \]

og

\[ \sin 60\degree = \dfrac{h}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

d)

Skjul oppgaven

Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for

\[ \cos 30\degree \qog \sin 30\degree \]

Vis fasit

\[ \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \and \sin 30\degree = \dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi bruker den rettvinkla trekanten til venstre til å finne verdiene for \(\cos 30\degree\) og \(\sin 30\degree\). Vi har at

\[ \cos 30\degree = \dfrac{h}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

og

\[ \sin 30\degree = \dfrac{1/2}{1} = \dfrac{1}{2} \]

---

Oppgave 7

Hint

Bruk svarene du fant i oppgave 6.

a)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{\pi}{4}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{\pi}{4}\) og \(\sin \dfrac{\pi}{4}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vinkelen i radianer er \(\varphi = \dfrac{\pi}{4}\). I grader er denne vinkelen

\[ \varphi = \dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 45\degree \]

Fra oppgave 6 har vi at

\[ \cos 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Ergo er

\[ \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

b)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{\pi}{6}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{\pi}{6}\) og \(\sin \dfrac{\pi}{6}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vinkelen i radianer er \(\varphi = \dfrac{\pi}{6}\). I grader er denne vinkelen

\[ \varphi = \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 30\degree \]

Fra oppgave 6 har vi at

\[ \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \and \sin 30\degree = \dfrac{1}{2} \]

Ergo er

\[ \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \]

c)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{\pi}{3}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{\pi}{3}\) og \(\sin \dfrac{\pi}{3}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vinkelen i radianer er \(\varphi = \dfrac{\pi}{3}\). I grader er denne vinkelen

\[ \varphi = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{180\degree}{\pi} = 60\degree \]

Fra oppgave 6 har vi at

\[ \cos 60\degree = \dfrac{1}{2} \and \sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Ergo er

\[ \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \and \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

---

---

Oppgave 8

a)

Skjul oppgaven

Bestem fortegnet til \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\) når \(\varphi\) ligger i 1. kvadrant.

Vis fasit

\[ \cos \varphi \gt 0 \and \sin \varphi \gt 0 \]

Vis løsningsforslag

I 1. kvadrant vil \(x\)-koordinatene og \(y\)-koordinatene til punktene på enhetssirkelen være positive. Dermed er

\[ \cos \varphi \gt 0 \and \sin \varphi \gt 0 \]

b)

Skjul oppgaven

Finn fortegnet til \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\) når \(\varphi\) ligger i 2. kvadrant.

Vis fasit

\[ \cos \varphi \lt 0 \and \sin \varphi \gt 0 \]

Vis løsningsforslag

I 2. kvadrant vil \(x\)-koordinatene til punktene på enhetssirkelen være negative, mens \(y\)-koordinatene vil være positive. Dermed er

\[ \cos \varphi \lt 0 \and \sin \varphi \gt 0 \]

c)

Skjul oppgaven

Finn fortegnet til \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\) når \(\varphi\) ligger i 3. kvadrant.

Vis fasit

\[ \cos \varphi \lt 0 \and \sin \varphi \lt 0 \]

Vis løsningsforslag

I 3. kvadrant vil \(x\)-koordinatene og \(y\)-koordinatene til punktene på enhetssirkelen være negative. Dermed er

\[ \cos \varphi \lt 0 \and \sin \varphi \lt 0 \]

d)

Skjul oppgaven

Finn fortegnet til \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\) når \(\varphi\) ligger i 4. kvadrant.

Vis fasit

\[ \cos \varphi \gt 0 \and \sin \varphi \lt 0 \]

Vis løsningsforslag

I 4. kvadrant vil \(x\)-koordinatene til punktene på enhetssirkelen være positive, mens \(y\)-koordinatene vil være negative. Dermed er

\[ \cos \varphi \gt 0 \and \sin \varphi \lt 0 \]

---

Oppgave 9

a)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at

• \(\cos \varphi \gt 0\)

• \(\tan \varphi \lt 0\)

Hvilken kvadrant ligger vinkelen \(\varphi\) i?

Vis fasit

Vinkelen \(\varphi\) ligger i 4. kvadrant.

Vis løsningsforslag

Siden \(\cos \varphi \gt 0\), vet vi at vinkelen ligger enten i 1. eller 4. kvadrant. Siden \(\tan \varphi \lt 0\), vet vi at vinkelen må ligge i 4. kvadrant siden \(\sin \varphi\) må være negativ, og dette er tilfellet i 4. kvadrant, men ikke i 1. kvadrant. Dermed ligger vinkelen \(\varphi\) i 4. kvadrant.

b)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\theta\) får du vite at

• \(\sin \theta \gt 0\)

• \(\tan \theta \gt 0\)

Hvilken kvadrant ligger vinkelen \(\theta\) i?

Vis fasit

Vinkelen \(\theta\) ligger i 1. kvadrant.

Vis løsningsforslag

Siden \(\sin \theta \gt 0\), vet vi at \(\theta\) enten ligger i 1. kvadrant eller 2. kvadrant. Siden \(\tan \theta \gt 0\), må \(\cos \theta\) ha samme fortegn som \(\sin \theta\). Dette er tilfellet i 1. kvadrant som betyr at \(\theta\) må ligge i 1. kvadrant.

c)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\gamma\) får du vite at

• \(\tan \gamma > 0\)

I hvilke kvadranter kan vinkelen \(\gamma\) ligge?

Vis fasit

\(\gamma\) ligger enten i 1. kvadrant eller 3. kvadrant.

Vis løsningsforslag

Siden vi har at

\[ \tan \gamma \gt 0 \and \tan \gamma = \dfrac{\sin \gamma}{\cos \gamma} \]

må det bety at \(\sin \gamma\) og \(\cos \gamma\) har samme fortegn. Det betyr at \(\gamma\) enten ligger i 1. kvadrant eller 3. kvadrant.

d)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\xi\) får du vite at

• \(\cos \xi \lt 0\)

• \(\sin \xi \gt 0\)

Bestem fortegnet til \(\tan \xi\) og hvilken kvadrant vinkelen \(\xi\) ligger i.

Vis fasit

\(\tan \xi \lt 0\) og \(\xi\) ligger i 2. kvadrant.

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \tan \xi = \dfrac{\sin \xi}{\cos \xi} \]

som betyr at \(\tan \xi\) må være negativ. Vinkelen \(\xi\) må ligge i 2. kvadrant siden \(\sin \xi\) er positiv og \(\cos \xi\) er negativ.