Enhetssirkelen og radianer: Oppgaver

Innhold

Enhetssirkelen og radianer: Oppgaver#

Oppgave 1#

a)

Finn vinkelen i radianer:

\[ \alpha = 30\degree \]

b)

Finn vinkelen i radianer:

\[ \beta = 45\degree \]

c)

Finn vinkelen i radianer:

\[ \gamma = 60\degree \]

d)

Finn vinkelen i radianer:

\[ \varphi = 90\degree \]

e)

Finn vinkelen i radianer:

\[ \theta = 120\degree \]

Oppgave 2#

a)

Finn vinkelen i grader:

\[ \alpha = \pi \]

b)

Finn vinkelen i grader:

\[ \beta = -\dfrac{\pi}{2} \]

c)

Finn vinkelen i grader:

\[ \gamma = \dfrac{2\pi}{3} \]

d)

Finn vinkelen i grader:

\[ \varphi = \dfrac{3\pi}{2} \]

e)

Finn vinkelen i grader:

\[ \theta = \dfrac{4\pi}{3} \]

Oppgave 3#

a)

En vinkel er gitt ved \(\varphi = \dfrac{2\pi}{3}\).

Hvilken figur nedenfor viser \(\varphi\) i enhetssirkelen?

Figur B

b)

En vinkel er gitt ved \(\theta = -\dfrac{\pi}{4}\).

Hvilken figur nedenfor viser \(\theta\) i enhetssirkelen?

c)

En vinkel er gitt ved \(\gamma = \dfrac{3\pi}{4}\).

Hvilken figur nedenfor viser \(\gamma\) i enhetssirkelen?

d)

En vinkel er gitt ved \(\xi = -\dfrac{5\pi}{6}\).

Hvilken figur nedenfor viser \(\xi\) i enhetssirkelen?

Figur A.

Oppgave 4#

a)

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(3\).

Buelengden til den blå sirkelbuen er \(2\pi\).

Finn vinkelen \(\varphi\) i radianer og grader.

b)

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(15\).

Buelengden til den blå sirkelbuen er \(3\pi\).

Finn vinkelen \(\theta\) i radianer og grader.

c)

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(9\).

Buelengden til den blå sirkelbuen er \(12\pi\).

Finn vinkelen \(\gamma\) i radianer og grader.

d)

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(4\) og en blå sirkelbue.

Vinkelen i figuren er lik \(\dfrac{2\pi}{3}\).

Finn buelengden \(s\) til den blå sirkelbuen.

e)

En sirkel har radius \(r\) og en blå sirkelbue har buelengden \(6\pi\).

Vinkelen i figuren er lik \(\dfrac{3\pi}{4}\).

Finn radiusen \(r\) til sirkelen.

Oppgave 5#

a)

Et punkt \(P\) ligger på enhetssirkelen.

Vinkelen mellom førsteaksen og linjestykket \(OP\) er \(\varphi = 0\).

Finn \(\cos 0\) og \(\sin 0\).

b)

Et punkt \(Q\) ligger på enhetssirkelen.

Vinkelen mellom førsteaksen og linjestykket \(OQ\) er \(\varphi = \dfrac{\pi}{2}\).

Finn \(\cos \dfrac{\pi}{2}\) og \(\sin \dfrac{\pi}{2}\).

c)

Et punkt \(R\) ligger på enhetssirkelen.

Vinkelen mellom førsteaksen og linjestykket \(OR\) er \(\varphi = \pi\).

Finn \(\cos \pi\) og \(\sin \pi\).

d)

Et punkt \(S\) ligger på enhetssirkelen.

Vinkelen mellom førsteaksen og linjestykket \(OS\) er \(\varphi = \dfrac{3\pi}{2}\).

Finn \(\cos \dfrac{3\pi}{2}\) og \(\sin \dfrac{3\pi}{2}\).

Oppgave 6#

a)

Gitt den rettvinklede trekanten til høyre.

Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for

\[ \cos 45\degree \qog \sin 45\degree \]

En likesidet trekant med sidelengder \(1\) er vist til høyre.

b)

Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for

\[ \cos 30\degree \qog \sin 30\degree \]

c)

Bruk trekanten til å finne eksakte verdier for

\[ \cos 60\degree \qog \sin 60\degree \]

Oppgave 7#

a)

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{\pi}{4}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{\pi}{4}\) og \(\sin \dfrac{\pi}{4}\).

Bruk svarene du fant i oppgave 6.

b)

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{\pi}{6}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{\pi}{6}\) og \(\sin \dfrac{\pi}{6}\).

c)

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{\pi}{3}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{\pi}{3}\) og \(\sin \dfrac{\pi}{3}\).

Oppgave 8#

a)

Bestem fortegnet til \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\) når \(\varphi\) ligger i 1.kvadrant.

b)

Finn fortegnet til \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\) når \(\varphi\) ligger i 2.kvadrant.

c)

Finn fortegnet til \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\) når \(\varphi\) ligger i 3.kvadrant.

d)

Finn fortegnet til \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\) når \(\varphi\) ligger i 4.kvadrant.

Oppgave 9#

a)

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at

\(\cos \varphi \gt 0\)
\(\tan \varphi \lt 0\)

Hvilken kvadrant ligger vinkelen \(\varphi\) i?

b)

Om en vinkel \(\theta\) får du vite at

\(\sin \theta \gt 0\)
\(\tan \theta \gt 0\)

Hvilken kvadrant ligger vinkelen \(\theta\) i?

c)

Om en vinkel \(\gamma\) får du vite at

\(\tan \gamma > 0\)

I hvilke kvadranter kan vinkelen \(\gamma\) ligge?

d)

Om en vinkel \(\xi\) får du vite at

\(\cos \xi \lt 0\)
\(\sin \xi \lt 0\)

Bestem fortegnet til \(\tan \xi\) og hvilken kvadrant vinkelen \(\xi\) ligger i.