Oppgaver: Kryssproduktet

Innhold

Oppgaver: Kryssproduktet#

Oppgave 1#

a)

Gitt vektorene $\vec{a} = [1, -2, 4]$ og $\vec{b} = [3, 0, -1]$.

Finn $\vec{a} \times \vec{b}$.

\[ \vec{a} \times \vec{b} = [2, 13, 6] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 0 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|-2 & 4 \\ 0 & -1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|1 & 4 \\ 3 & -1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|1 & -2 \\ 3 & 0| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot ((-2)\cdot (-1) - 4\cdot 0) - \vec{e}_y \cdot (1\cdot (-1) - 4\cdot 3) + \vec{e}_z \cdot (1\cdot 0 - (-2)\cdot 3) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (2 - 0) - \vec{e}_y \cdot (-1 - 12) + \vec{e}_z \cdot (0 + 6) \\ \\ &= 2 \cdot \vec{e}_x + 13 \cdot \vec{e}_y + 6 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [2, 13, 6] \end{align*} \end{split}\]

b)

Gitt vektorene $\vec{c} = [2, 1, 0]$ og $\vec{d} = [0, 3, 5]$.

Finn $\vec{c} \times \vec{d}$.

\[ \vec{c} \times \vec{d} = [5, -10, 6] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{c} \times \vec{d} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 5| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & 0 \\ 3 & 5| - \vec{e}_y \cdot \mqty|2 & 0 \\ 0 & 5| + \vec{e}_z \cdot \mqty|2 & 1 \\ 0 & 3| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1\cdot 5 - 0\cdot 3) - \vec{e}_y \cdot (2\cdot 5 - 0\cdot 0) + \vec{e}_z \cdot (2\cdot 3 - 1\cdot 0) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (5 - 0) - \vec{e}_y \cdot (10 - 0) + \vec{e}_z \cdot (6 - 0) \\ \\ &= 5 \cdot \vec{e}_x - 10 \cdot \vec{e}_y + 6 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [5, -10, 6] \end{align*} \end{split}\]

c)

Gitt vektorene $\vec{u} = [-1, 0, 5]$ og $\vec{v} = [2, 4, -3]$.

Finn $\vec{u} \times \vec{v}$.

\[ \vec{u} \times \vec{v} = [-20, 7, -4] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{u} \times \vec{v} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -1 & 0 & 5 \\ 2 & 4 & -3| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|0 & 5 \\ 4 & -3| - \vec{e}_y \cdot \mqty|-1 & 5 \\ 2 & -3| + \vec{e}_z \cdot \mqty|-1 & 0 \\ 2 & 4| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0\cdot -3 - 5\cdot 4) - \vec{e}_y \cdot (-1\cdot -3 - 5\cdot 2) + \vec{e}_z \cdot (-1\cdot 4 - 0\cdot 2) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0 - 20) - \vec{e}_y \cdot (3 - 10) + \vec{e}_z \cdot (-4 - 0) \\ \\ &= -20 \cdot \vec{e}_x + 7 \cdot \vec{e}_y - 4 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [-20, 7, -4] \end{align*} \end{split}\]

d)

Gitt vektorene $\vec{r} = [-4, 0, 1]$ og $\vec{s} = [0, 2, 3]$.

Finn $\vec{r} \times \vec{s}$.

\[ \vec{r} \times \vec{s} = [-2, 12, -8] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r} \times \vec{s} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|0 & 1 \\ 2 & 3| - \vec{e}_y \cdot \mqty|-4 & 1 \\ 0 & 3| + \vec{e}_z \cdot \mqty|-4 & 0 \\ 0 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0\cdot 3 - 1\cdot 2) - \vec{e}_y \cdot (-4\cdot 3 - 1\cdot 0) + \vec{e}_z \cdot (-4\cdot 2 - 0\cdot 0) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0 - 2) - \vec{e}_y \cdot (-12 - 0) + \vec{e}_z \cdot (-8 - 0) \\ \\ &= -2 \cdot \vec{e}_x + 12 \cdot \vec{e}_y - 8 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [-2, 12, -8] \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 2#

Gitt vektorene $\vec{a} = [3, 0, 0]$ og $\vec{b} = [0, 4, 0]$.

a)

Finn $\vec{a} \times \vec{b}$.

\[ \vec{a} \times \vec{b} = [0, 0, 12] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|0 & 0 \\ 4 & 0| - \vec{e}_y \cdot \mqty|3 & 0 \\ 0 & 0| + \vec{e}_z \cdot \mqty|3 & 0 \\ 0 & 4| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0\cdot 0 - 0\cdot 4) - \vec{e}_y \cdot (3\cdot 0 - 0\cdot 0) + \vec{e}_z \cdot (3\cdot 4 - 0\cdot 0) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0 - 0) - \vec{e}_y \cdot (0 - 0) + \vec{e}_z \cdot (12 - 0) \\ \\ &= 0 \cdot \vec{e}_x + 0 \cdot \vec{e}_y + 12 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [0, 0, 12] \end{align*} \end{split}\]

b)

Finn $\vec{b} \times \vec{a}$.

\[ \vec{b} \times \vec{a} = [0, 0, -12] \]

Vi har at $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$. Dermed er

\[ \vec{b} \times \vec{a} = -[0, 0, 12] = [0, 0, -12] \]

For to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$, så gjelder $(k\vec{a}) \times (r\vec{b}) = k\cdot r \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ for alle skalarer $k$ og $r$.

c)

Finn $(2\vec{a}) \times (3\vec{b})$.

\[ (2\vec{a}) \times (3\vec{b}) = [0, 0, 72] \]

Vi kan skrive om kryssproduktet som

\[ (2\vec{a}) \times (3\vec{b}) = 6(\vec{a} \times \vec{b}) = 6[0, 0, 12] = [0, 0, 72] \]

d)

Finn $(3 \vec{b}) \times (8 \vec{a})$.

\[ (3 \vec{b}) \times (8 \vec{a}) = [0, 0, -288] \]

\[ (3\vec{b}) \times (8 \vec{a}) = 24(\vec{b} \times \vec{a}) = 24[0, 0, -12] = [0, 0, -288] \]

Oppgave 3#

Gitt vektorene $\vec{a} = [2, -1, 3]$ og $\vec{b} = [1, 4, -2]$.

a)

Finn $\vec{a} \times \vec{b}$.

\[ \vec a \times \vec b = [-10, 7, 9] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec a \times \vec b &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|-1 & 3 \\ 4 & -2| - \vec{e}_y \cdot \mqty|2 & 3 \\ 1 & -2| + \vec{e}_z \cdot \mqty|2 & -1 \\ 1 & 4| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot ((-1)\cdot (-2) - 3\cdot 4) - \vec{e}_y \cdot (2\cdot (-2) - 3\cdot 1) + \vec{e}_z \cdot (2\cdot 4 - (-1)\cdot 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (2 - 12) - \vec{e}_y \cdot (-4 - 3) + \vec{e}_z \cdot (8 + 1) \\ \\ &= -10 \cdot \vec{e}_x + 7 \cdot \vec{e}_y + 9 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [-10, 7, 9] \end{align*} \end{split}\]

b)

Regn ut $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ og $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$.

Hva forteller svarene om vektorene $\vec a$, $\vec b$ og $\vec a \times \vec b$?

Prikkproduktene blir lik null som betyr at $\vec a \times \vec b$ står normalt på både $\vec a$ og $\vec b$.

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \vec a \cdot (\vec a \times \vec b) &= [2, -1, 3] \cdot [-10, 7, 9] \\ \\ &= 2\cdot(-10) + (-1)\cdot 7 + 3\cdot 9 \\ \\ &= -20 - 7 + 27 \\ \\ &= 0 \end{align*} \end{split}\]

og

\[\begin{split} \begin{align*} \vec b \cdot (\vec a \times \vec b) &= [1, 4, -2] \cdot [-10, 7, 9] \\ \\ &= 1\cdot(-10) + 4\cdot 7 + (-2)\cdot 9 \\ \\ &= -10 + 28 - 18 \\ \\ &= 0 \end{align*} \end{split}\]

Siden begge prikkprodukter er lik null, så betyr det at $\vec a \times \vec b$ står normalt på både $\vec a$ og $\vec b$.

Oppgave 4#

a)

Et parallellogram $ABCD$ har hjørnene $A(1, 2, 0)$, $B(4, 2, 1)$, $C(4, 6, 3)$ og $D(1, 6, 2)$.

Finn arealet $G$ av parallellogrammet.

\[ G = 14 \]

Vi finner to vektorer som spenner ut parallellogrammet. For eksempel $\lvec{AB}$ og $\lvec{AD}$. Da er $\abs{\lvec{AB} \times \lvec{AD}}$ lik arealet av parallellogrammet. Kryssproduktet er gitt ved:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AD} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|0 & 1 \\ 4 & 2| - \vec{e}_y \cdot \mqty|3 & 1 \\ 0 & 2| + \vec{e}_z \cdot \mqty|3 & 0 \\ 0 & 4| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0\cdot 2 - 1\cdot 4) - \vec{e}_y \cdot (3\cdot 2 - 1\cdot 0) + \vec{e}_z \cdot (3\cdot 4 - 0\cdot 0) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0 - 4) - \vec{e}_y \cdot (6 - 0) + \vec{e}_z \cdot (12 - 0) \\ \\ &= -4 \cdot \vec{e}_x - 6 \cdot \vec{e}_y + 12 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [-4, -6, 12] \end{align*} \end{split}\]

Dermed er arealet av parallellogrammet gitt ved

\[ G = \abs{\lvec{AB} \times \lvec{AD}} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14 \]

b)

En trekant $ABC$ har hjørnene $A(1, 1, 0)$, $B(5, 3, 4)$ og $C(2, 2, 3)$.

Finn arealet $G$ av trekanten.

\[ G = 3\sqrt{2} \]

Vi finner to vektorer som spenner ut trekanten. Vi velger $\lvec{AB}$ og $\lvec{AC}$. Arealvektoren til trekanten er da gitt ved

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Vi regner ut kryssproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 4 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|2 & 4 \\ 1 & 3| - \vec{e}_y \cdot \mqty|4 & 4 \\ 1 & 3| + \vec{e}_z \cdot \mqty|4 & 2 \\ 1 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (6 - 4) - \vec{e}_y \cdot (12 - 4) + \vec{e}_z \cdot (4 - 2) \\ \\ &= 2 \cdot \vec{e}_x - 8 \cdot \vec{e}_y + 2 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [2, -8, 2] \\ \\ &= 2 \cdot [1, -4, 1] \end{align*} \end{split}\]

Lengden av arealvektoren er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\lvec{G}} &= \dfrac{1}{2} \abs{\lvec{AB} \times \lvec{AC}} \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \abs{2 \cdot [1, -4, 1]} \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 1^2} \\ \\ &= \sqrt{1 + 16 + 1} \\ \\ &= \sqrt{18} \\ \\ &= 3\sqrt{2} \end{align*} \end{split}\]

c)

Punktene $A(-1, 3, 2)$, $B(0, 4, 1)$ og $C(2, 1, 5)$ danner en trekant $ABC$.

Finn arealet $G$ av trekanten.

\[ G = \dfrac{1}{2} \sqrt{62} \]

Vi finner to vektorer som spenner ut trekanten:

\[ \lvec{AB} = \mqty[1, 1, -1] \qog \lvec{AC} = \mqty[3, -2, 3] \]

Kryssproduktet av de to vektorene er da

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 3| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & -1 \\ -2 & 3| - \vec{e}_y \cdot \mqty|1 & -1 \\ 3 & 3| + \vec{e}_z \cdot \mqty|1 & 1 \\ 3 & -2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1\cdot 3 - (-1)\cdot -2) - \vec{e}_y \cdot (1\cdot 3 - (-1)\cdot 3) + \vec{e}_z \cdot (1\cdot -2 - 1\cdot 3) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (3 - 2) - \vec{e}_y \cdot (3 + 3) + \vec{e}_z \cdot (-2 - 3) \\ \\ &= 1 \cdot \vec{e}_x - 6 \cdot \vec{e}_y - 5 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [1, -6, -5] \end{align*} \end{split}\]

Arealet av trekanten er da gitt ved

\[ G = \dfrac{1}{2} \abs{\lvec{AB} \times \lvec{AC}} = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + (-6)^2 + (-5)^2} = \dfrac{1}{2} \sqrt{1 + 36 + 25} = \dfrac{1}{2} \sqrt{62} \]

Oppgave 5#

a)

Et prisme har grunnflaten $ABC$ med hjørnene $A(2, 0, 1)$, $B(3, 1, 0)$ og $C(1, 3, 1)$.

Toppflaten til prismet har hjørnene $D(3, 1, 3)$, $E(4, 2, 2)$ og $F(2, 4, 3)$.

Finn volumet av prismet.

\[ V = 6 \]

Volumet av prismet er gitt ved

\[ V = \abs{\vec{G} \cdot \vec{c}} \]

der $\vec{G}$ er grunnflatevektoren og $\vec{c}$ er en vektor som peker fra et punkt på grunnflaten til et punkt på toppflaten. Siden grunnflaten er en trekant, så kan vi finne grunnflatevektoren ved

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Vi har at

\[ \lvec{AB} = \mqty[1, 1, -1] \qog \lvec{AC} = \mqty[-1, 3, 0] \]

Kryssproduktet av de to vektorene er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & -1 \\ 3 & 0| - \vec{e}_y \cdot \mqty|1 & -1 \\ -1 & 0| + \vec{e}_z \cdot \mqty|1 & 1 \\ -1 & 3| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0 + 3) - \vec{e}_y \cdot (0 - 1) + \vec{e}_z \cdot (3 + 1) \\ \\ &= 3 \cdot \vec{e}_x + 1 \cdot \vec{e}_y + 4 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [3, 1, 4] \end{align*} \end{split}\]

Grunnflatevektoren er da gitt ved

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} \lvec{AB} \times \lvec{AC} = \dfrac{1}{2} \cdot [3, 1, 4] \]

Så finner vi en vektor $\vec{c}$ som peker fra et punkt på grunnflaten til et punkt på toppflaten. Vi kan for eksempel bruke punktene $A$ og $D$. Da er

\[ \vec{c} = \lvec{AD} = \mqty[1, 1, 2] \]

Volumet blir da:

\[\begin{split} \begin{align*} V &= \abs{\vec{G} \cdot \vec{c}} \\ \\ &= \abs{\dfrac{1}{2} [3, 1, 4] \cdot [1, 1, 2]} \\ \\ &= \abs{\dfrac{1}{2} (3\cdot 1 + 1\cdot 1 + 4\cdot 2)} \\ \\ &= \abs{\dfrac{1}{2} (3 + 1 + 8)} \\ \\ &= \abs{\dfrac{12}{2}} \\ \\ &= 6 \end{align*} \end{split}\]

b)

En pyramide $ABCT$ har hjørner i punktene $A(1, 1, 0)$, $B(4, 1, -2)$, $C(2, 3, 1)$ og $T(0, 3, 5)$.

Finn volumet av pyramiden.

\[ V = \dfrac{8}{3} \]

Volumet av pyramiden er gitt ved

\[ V = \dfrac{\abs{\vec{G} \cdot \vec{c}}}{3} \]

der $\vec{G}$ er grunnflatevektoren og $\vec{c}$ er en vektor som peker fra et punkt på grunnflaten til toppunktet $T$.

Grunnflaten er trekantet, så grunnflatevektoren kan uttrykkes som

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Vi har at

\[ \lvec{AB} = \mqty[3, 0, -2] \qog \lvec{AC} = \mqty[1, 2, 1] \]

Kryssproduktet av de to vektorene er da

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|0 & -2 \\ 2 & 1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|3 & -2 \\ 1 & 1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|3 & 0 \\ 1 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0 + 4) - \vec{e}_y \cdot (3 + 2) + \vec{e}_z \cdot (6 - 0) \\ \\ &= 4 \cdot \vec{e}_x - 5 \cdot \vec{e}_y + 6 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [4, -5, 6] \end{align*} \end{split}\]

Så finner vi vektoren $\vec{c}$ som peker fra et punkt på grunnflaten til toppunktet $T$. Vi kan for eksempel bruke punktet $A$. Da er

\[ \vec{c} = \lvec{AT} = \mqty[-1, 2, 5] \]

Prikkproduktet mellom $\vec{G}$ og $\vec{c}$ er da

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{G} \cdot \vec{c} &= \dfrac{1}{2} [4, -5, 6] \cdot [-1, 2, 5] \\ \\ &= \dfrac{1}{2} (4\cdot (-1) + (-5)\cdot 2 + 6\cdot 5)\\ \\ &= \dfrac{1}{2} (-4 - 10 + 30) \\ \\ &= \dfrac{16}{2} \\ \\ &= 8 \end{align*} \end{split}\]

Altså er volumet

\[ V = \dfrac{\abs{\vec{G} \cdot \vec{c}}}{3} = \dfrac{8}{3} \]

c)

En pyramide $ABCDT$ har grunnflate med hjørner $A(0, 0, 1)$, $B(2, 0, 0)$, $C(3, 2, 0)$, $D(-1, 2, 2)$ og et toppunkt i $T(4, 1, 5)$.

Finn volumet av pyramiden.

\[ V = \dfrac{23}{2} \]

Siden grunnflaten er en firkant, så deler vi den opp i to trekanter. Det betyr at vi i praksis deler opp pyramiden i to mindre pyramider med trekantede grunnflater. La oss dele opp grunnflaten i trekantene $ABC$ og $ACD$.

Trekant $ABC$ har en grunnflatevektor gitt ved

\[ \vec{G}_{ABC} = \dfrac{1}{2} \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Vi har at

\[ \lvec{AB} = \mqty[2, 0, -1] \qog \lvec{AC} = \mqty[3, 2, -1] \]

Kryssproduktet av de to vektorene er da

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|0 & -1 \\ 2 & -1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|2 & -1 \\ 3 & -1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|2 & 0 \\ 3 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0 + 2) - \vec{e}_y \cdot (-2 + 3) + \vec{e}_z \cdot (4 - 0) \\ \\ &= 2 \cdot \vec{e}_x - 1 \cdot \vec{e}_y + 4 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [2, -1, 4] \end{align*} \end{split}\]

En vektor som peker fra et punkt i grunnflaten til toppunktet er gitt ved

\[ \lvec{AT} = \mqty[4, 1, 4] \]

Volumet av pyramiden med grunnflate $ABC$ er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} V_{ABCT} &= \dfrac{\abs{\vec{G}_{ABC} \cdot \lvec{AT}}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{\dfrac{1}{2} [2, -1, 4] \cdot [4, 1, 4]}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{\dfrac{1}{2} (2\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 4\cdot 4)}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{\dfrac{1}{2} (8 - 1 + 16)}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{\dfrac{23}{2}}}{3} \\ \\ &= \dfrac{23}{6} \end{align*} \end{split}\]

Så finner vi en grunnflatevektor for trekant $ACD$. En slik vektor er gitt ved

\[ \vec{G}_{ACD} = \dfrac{1}{2} \lvec{AC} \times \lvec{AD} \]

Vi har at $\lvec{AD} = \mqty[-1, 2, 1]$. Kryssproduktet av de to vektorene er da

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AC} \times \lvec{AD} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 3 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|2 & -1 \\ 2 & 1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|3 & -1 \\ -1 & 1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|3 & 2 \\ -1 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (2 + 2) - \vec{e}_y \cdot (3 - 1) + \vec{e}_z \cdot (6 + 2) \\ \\ &= 4 \cdot \vec{e}_x - 2 \cdot \vec{e}_y + 8 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [4, -2, 8] \end{align*} \end{split}\]

Grunnflatevektoren er dermed

\[ \vec{G}_{ACD} = \dfrac{1}{2} [4, -2, 8] = [2, -1, 4] \]

Volumet av pyramiden med grunnflate $ACD$ er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} V_{ACDT} &= \dfrac{\abs{\vec{G}_{ACD} \cdot \lvec{AT}}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{[2, -1, 4] \cdot [4, 1, 4]}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{(2\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 4\cdot 4)}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{(8 - 1 + 16)}}{3} \\ \\ &= \dfrac{23}{3} \end{align*} \end{split}\]

Volumet av hele pyramiden er da gitt ved summen av de to volumene:

\[ V = V_{ABCT} + V_{ACDT} = \dfrac{23}{6} + \dfrac{23}{3} = \dfrac{23}{6} + \dfrac{46}{6} = \dfrac{69}{6} = \dfrac{23}{2} \]

Oppgave 6#

En pyramide $ABCT$ er gitt ved punktene $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 0)$, $C(1, 4, 1)$ og $T(0, 2, 4)$.

a)

Finn volumet av pyramiden.

\[ V = \dfrac{16}{3} \]

Grunnflaten er trekantet. En grunnflatevektor er derfor gitt ved

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Vi har at

\[ \lvec{AB} = \mqty[3, 1, 0] \qog \lvec{AC} = \mqty[0, 3, 1] \]

Kryssproduktet av de to vektorene er da

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & 0 \\ 3 & 1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|3 & 0 \\ 0 & 1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|3 & 1 \\ 0 & 3| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 - 0) - \vec{e}_y \cdot (3 - 0) + \vec{e}_z \cdot (9 - 0) \\ \\ &= 1 \cdot \vec{e}_x - 3 \cdot \vec{e}_y + 9 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [1, -3, 9] \end{align*} \end{split}\]

Grunnflatevektoren er derfor

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} [1, -3, 9] \]

En vektor som peker fra et punkt i grunnflaten til toppunktet $T$ er gitt ved

\[ \lvec{AT} = \mqty[-1, 1, 4] \]

Volumet av pyramiden er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} V &= \dfrac{\abs{\vec{G} \cdot \lvec{AT}}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{\dfrac{1}{2} [1, -3, 9] \cdot [-1, 1, 4]}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{\dfrac{1}{2} (1\cdot -1 + (-3)\cdot 1 + 9\cdot 4)}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{\dfrac{1}{2} (-1 - 3 + 36)}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{\dfrac{32}{2}}}{3} \\ \\ &= \dfrac{16}{3} \end{align*} \end{split}\]

b)

Finn arealet av sideflaten $BCT$.

\[ G_{BCT} = 4\sqrt{3} \]

Sideflaten er en trekant, så arealvektoren $\vec{G}$ er gitt ved

\[ \vec{G}_{BCT} = \dfrac{1}{2} \lvec{BC} \times \lvec{BT} \]

Vi har at

\[ \lvec{BC} = \mqty[-3, 2, 1] \qog \lvec{BT} = \mqty[-4, 0, 4] \]

Kryssproduktet av de to vektorene er da

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{BC} \times \lvec{BT} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -3 & 2 & 1 \\ -4 & 0 & 4| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|2 & 1 \\ 0 & 4| - \vec{e}_y \cdot \mqty|-3 & 1 \\ -4 & 4| + \vec{e}_z \cdot \mqty|-3 & 2 \\ -4 & 0| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (8 - 0) - \vec{e}_y \cdot (-12 + 4) + \vec{e}_z \cdot (0 + 8) \\ \\ &= 8 \cdot \vec{e}_x + 8 \cdot \vec{e}_y + 8 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [8, 8, 8] \\ \\ &= 8 \cdot [1, 1, 1] \end{align*} \end{split}\]

Arealet av trekanten $BCT$ er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} G_{BCT} &= \abs{\vec{G}_{BCT}} \\ \\ &= \abs{\dfrac{1}{2} \lvec{BC} \times \lvec{BT}} \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \abs{8 \cdot [1, 1, 1]} \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \\ \\ &= 4\sqrt{3} \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 7#

En pyramide $ABCDT$ har grunnflate med hjørner $A(1, 1, 0)$, $B(5, 5, 0)$, $C(5, 6, 1)$ og $D(3, 5, 2)$.

Pyramiden har et toppunkt i $T(7, 0, 5)$.

a)

Finn arealet av grunnflaten $ABCD$.

\[ G_{ABCD} = 5\sqrt{3} \]

Vi deler opp grunnflaten i to trekanter $ABC$ og $ACD$.

Arealvektoren til $ABC$ er gitt ved

\[ \vec{G}_{ABC} = \dfrac{1}{2} \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Vi har at

\[ \lvec{AB} = \mqty[4, 4, 0] \qog \lvec{AC} = \mqty[4, 5, 1] \]

Kryssproduktet av de to vektorene er da

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 4 & 4 & 0 \\ 4 & 5 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|4 & 0 \\ 5 & 1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|4 & 0 \\ 4 & 1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|4 & 4 \\ 4 & 5| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (4 - 0) - \vec{e}_y \cdot (4 - 0) + \vec{e}_z \cdot (20 - 16) \\ \\ &= 4 \cdot \vec{e}_x - 4 \cdot \vec{e}_y + 4 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [4, -4, 4] \\ \\ &= 4 \cdot [1, -1, 1] \end{align*} \end{split}\]

Altså er arealvektoren for trekant $ABC$ gitt ved

\[ \vec{G}_{ABC} = \dfrac{1}{2} \lvec{AB} \times \lvec{AC} = 2 \cdot [1, -1, 1] \]

Arealet av $ABC$ er lik lengden av denne vektoren:

\[ G_{ABC} = \abs{\vec{G}_{ABC}} = \abs{2 \cdot [1, -1, 1]} = 2 \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = 2\sqrt{3} \]

Så finner vi arealvektoren for trekant $ACD$. En slik vektor er gitt ved

\[ \vec{G}_{ACD} = \dfrac{1}{2} \lvec{AC} \times \lvec{AD} \]

Vi har at

\[ \lvec{AC} = \mqty[4, 5, 1] \qog \lvec{AD} = \mqty[2, 4, 2] \]

Vi regner ut kryssproduktet av de to vektorene:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AC} \times \lvec{AD} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 4 & 5 & 1 \\ 2 & 4 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|5 & 1 \\ 4 & 2| - \vec{e}_y \cdot \mqty|4 & 1 \\ 2 & 2| + \vec{e}_z \cdot \mqty|4 & 5 \\ 2 & 4| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (10 - 4) - \vec{e}_y \cdot (8 - 2) + \vec{e}_z \cdot (16 - 10) \\ \\ &= 6 \cdot \vec{e}_x - 6 \cdot \vec{e}_y + 6 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [6, -6, 6] \\ \\ &= 6 \cdot [1, -1, 1] \end{align*} \end{split}\]

Ergo er arealvektoren for trekant $ACD$ gitt ved

\[ \vec{G}_{ACD} = \dfrac{1}{2} \lvec{AC} \times \lvec{AD} = 3 \cdot [1, -1, 1] \]

Da er arealet av trekant $ACD$ lik lengden av denne vektoren:

\[ G_{ACD} = \abs{\vec{G}_{ACD}} = \abs{3 \cdot [1, -1, 1]} = 3 \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = 3\sqrt{3} \]

Arealet av grunnflaten $ABCD$ er da gitt ved summen av arealene til de to trekantene:

\[ G_{ABCD} = G_{ABC} + G_{ACD} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]

b)

Finn volumet av pyramiden $ABCDT$.

\[ V_{ABCDT} = 20 \]

Fra oppgave a har vi de to grunnflatevektorene

\[ \vec{G}_{ABC} = 2 \cdot [1, -1, 1] \qog \vec{G}_{ACD} = 3 \cdot [1, -1, 1] \]

Vi deler opp pyramiden $ABCDT$ i to mindre pyramider med de to trekantede grunnflatene $ABC$ og $ACD$. For å finne volumet av pyramiden må vi ha en vektor $\vec{c}$ som peker fra et punkt på grunnflaten opp til toppunktet $T$. Vi kan for eksempel bruke punktet $A$. Da er

\[ \vec{c} = \lvec{AT} = \mqty[6, -1, 5] \]

For pyramiden med grunnflate $ABC$ er volumet gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} V_{ABCT} &= \dfrac{\abs{\vec{G}_{ABC} \cdot \vec{c}}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{2 \cdot [1, -1, 1] \cdot [6, -1, 5]}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{2 \cdot (6 + 1 + 5)}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{2 \cdot 12}}{3} \\ \\ &= \dfrac{24}{3} \\ \\ &= 8 \end{align*} \end{split}\]

For pyramiden med grunnflate $ACD$ er volumet gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} V_{ACDT} &= \dfrac{\abs{\vec{G}_{ACD} \cdot \vec{c}}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{3 \cdot [1, -1, 1] \cdot [6, -1, 5]}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{3 \cdot (6 + 1 + 5)}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{3 \cdot 12}}{3} \\ \\ &= \dfrac{36}{3} \\ \\ &= 12 \end{align*} \end{split}\]

Volumet av hele pyramiden er dermed

\[ V_{ABCDT} = V_{ABCT} + V_{ACDT} = 8 + 12 = 20 \]

Oppgave 8#

Tre vektorer er gitt ved

\[ \vec{a} = \mqty[-2, 1, 3] \qog \vec{b} = \mqty[1, 2, -1] \qog \vec{c} = \mqty[3, 0, 2] \]

a)

Finn $\vec{a} \times \vec{b}$.

\[ \vec{a} \times \vec{b} = [-7, 1, -5] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \underbrace{\mqty|1 & 3 \\ 2 & -1|}_{=-7} - \vec{e}_y \cdot \underbrace{\mqty|-2 & 3 \\ 1 & -1|}_{=-1} + \vec{e}_z \cdot \underbrace{\mqty|-2 & 1 \\ 1 & 2|}_{=-5} \\ \\ &= -7 \cdot \vec{e}_x + 1 \cdot \vec{e}_y - 5 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [-7, 1, -5] \end{align*} \end{split}\]

b)

Finn $\vec{b} \times \vec{c}$.

\[ \vec{b} \times \vec{c} = [4, -5, -6] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{b} \times \vec{c} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|2 & -1 \\ 0 & 2| - \vec{e}_y \cdot \mqty|1 & -1 \\ 3 & 2| + \vec{e}_z \cdot \mqty|1 & 2 \\ 3 & 0| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (4 - 0) - \vec{e}_y \cdot (2 + 3) + \vec{e}_z \cdot (0 - 6) \\ \\ &= 4 \cdot \vec{e}_x - 5 \cdot \vec{e}_y - 6 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [4, -5, -6] \end{align*} \end{split}\]

c)

Finn $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$.

\[ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = [2, -1, -3] \]

\[\begin{split} \begin{align*} (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -7 & 1 & -5 \\ 3 & 0 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & -5 \\ 0 & 2| - \vec{e}_y \cdot \mqty|-7 & -5 \\ 3 & 2| + \vec{e}_z \cdot \mqty|-7 & 1 \\ 3 & 0| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (2 - 0) - \vec{e}_y \cdot (-14 + 15) + \vec{e}_z \cdot (0 - 3) \\ \\ &= 2 \cdot \vec{e}_x - 1 \cdot \vec{e}_y - 3 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [2, -1, -3] \end{align*} \end{split}\]

d)

Finn $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$.

\[ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [9, 0, 6] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -2 & 1 & 3 \\ 4 & -5 & -6| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & 3 \\ -5 & -6| - \vec{e}_y \cdot \mqty|-2 & 3 \\ 4 & -6| + \vec{e}_z \cdot \mqty|-2 & 1 \\ 4 & -5| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-6 + 15) - \vec{e}_y \cdot (12 - 12) + \vec{e}_z \cdot (10 - 4) \\ \\ &= 9 \cdot \vec{e}_x - 0 \cdot \vec{e}_y + 6 \cdot \vec{e}_z \\ \\ &= [9, 0, 6] \end{align*} \end{split}\]

e)

Hvilken generell sammenheng kan du trekke fra svarene i oppgave c og d?

Kryssproduktet er ikke assosiativt som betyr at

\[ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \]

Vektoren vi får er avhengig av rekkefølgen vi utfører kryssproduktene i. Vi er vant til at når vi ganger sammen tre tall $a$, $b$ og $c$, så er

\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]

så da skriver vi bare produktet som $a \cdot b \cdot c$ siden det ikke spiller noen rolle hvilke tall vi ganger sammen først.

Men dette er ikke sant for kryssproduktet.

Oppgave 9#

Avgjør om påstandene nedenfor stemmer. Hvis du mener påstanden er feil, finn et moteksempel.

a)

Påstand:

Hvis to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er parallelle, så er $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$.

Sann.

Dersom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er parallelle, så får vi et parallellogram som har areal lik null. Det betyr at

\[ \abs{a \times \vec{b}} = 0 \liff \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \]

b)

Påstand:

Gitt to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ der $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, så er $\abs{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}}$.

Sann.

Generelt har vi at

\[ \abs{\vec a \times \vec b} = \abs{\vec a} \cdot \abs{\vec b} \cdot \sin\varphi \]

Dersom $\vec a \cdot \vec b = 0$, så er vinkelen mellom vektorene $\varphi = 90^\circ$. Dermed får vi at $\sin\varphi = 1$, og vi får

\[ \abs{\vec a \times \vec b} = \abs{\vec a} \cdot \abs{\vec b} \cdot 1 = \abs{\vec a} \cdot \abs{\vec b} \]

Altså er påstanden sann.

c)

Påstand:

Gitt to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$, så er $\abs{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{\vec{b} \times \vec{a}}$.

Sann.

For alle vektorer $\vec{a}$ og $\vec b$ så er

\[ \vec{a} \times \vec b = -(\vec b \times \vec a)$ \]

Rekkefølgen på kryssproduktet gir altså to vektorer som er antiparallelle, men som har samme lengde. Ergo er påstanden sann.

d)

Påstand:

Gitt tre vektorer $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$, så er

\[ \abs{(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}} = \abs{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})} \]

Sann.

Vi kan tolke uttrykket på venstre side som at det er et prisme med grunnflatevektor $\vec{a} \times \vec{b}$ og en vektor $\vec{c}$ som forbinder grunnflaten med toppflaten. Men vi kan snu om på situasjonen og tolke $\vec{b} \times \vec{c}$ som grunnflatevektoren og $\vec{a}$ som vektoren som forbinder grunnflaten med toppflaten.

Volumet blir uansett likt, så derfor må

\[ \abs{(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}} = \abs{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})} \]