Trigonometriske identiteter: Oppgaver

Oppgave 1

a)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{3\pi}{4}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{3\pi}{4}\) og \(\sin \dfrac{3\pi}{4}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qog \sin \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til punktet \(P\) er

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(\dfrac{3\pi}{4}\right), \sin \left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right] \]

Dersom vi roterer denne vektoren 90 grader med klokka, får vi et punkt \(Q\) i 1. kvadrant. Dette punktet får koordinatene:

\[ \lvec{OQ} = \left[\cos \left(\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right), \sin \left(\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right)\right] = \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right] = \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \]

Så roterer vi \(\lvec{OQ}\) 90 grader mot klokka for å komme tilbake til punktet \(P\) ved å bytte om på rekkefølgen på koordinatene og endre fortegnet på \(x\)-koordinaten:

\[ \lvec{OP} = \lvec{OQ}_{+\pi/2} = \left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qog \sin \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

b)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{2\pi}{3}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{2\pi}{3}\) og \(\sin \dfrac{2\pi}{3}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til punktet \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right), \sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right] \]

Roterer vi vektoren \(90\) grader med klokka, får vi et punkt \(Q\) i 1. kvadrant. Dette punktet får koordinatene:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ} &= \lvec{OP}_{-\pi/2} = \left[\cos \left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right), \sin \left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right)\right] \\ \\ &= \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right] \\ \\ &= \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

For å få koordinatene til punktet \(P\), roterer vi vektoren tilbake med \(90\) grader mot klokka:

\[ \lvec{OP} = \lvec{OQ}_{+\pi/2} = \left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

c)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{5\pi}{6}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{5\pi}{6}\) og \(\sin \dfrac{5\pi}{6}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til punktet \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right), \sin \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\right] \]

Roterer vi vektoren \(90\) grader med klokka, får vi et punkt \(Q\) i 1. kvadrant. Dette punktet får koordinatene:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ} &= \lvec{OP}_{-\pi/2} = \left[\cos \left(\dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{2}\right), \sin \left(\dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{2}\right)\right] \\ \\ &= \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\ \\ &= \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

Så roterer vi vektoren tilbake igjen med \(90\) grader mot klokka for å komme tilbake til punktet \(P\):

\[ \begin{align*} \lvec{OP} &= \lvec{OQ}_{+\pi/2} = \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \end{align*} \]

Ergo er

\[ \cos \dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \]

---

Oppgave 2

a)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = -\dfrac{\pi}{6}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) og \(\sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til \(\lvec{OP}\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right), \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right] \]

Dersom vi speiler vektoren om \(x\)-aksen, får vi punktet

\[ \lvec{OQ} = \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right] = \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \]

Vi speiler vektoren tilbake for å finne koordinatene til \(P\) som svarer til å holde \(x\)-koordinaten uendret, mens fortegnet på \(y\)-koordinaten endres:

\[ \lvec{OP} = \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]

b)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = -\dfrac{\pi}{4}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) og \(\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right), \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right] \]

Dersom vi speiler vektoren om \(x\)-aksen, får vi punktet

\[ \lvec{OQ} = \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right] = \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \]

Så speiler vi denne vektoren tilbake igjen for å finne koordinatene til \(P\) som svarer til å holde \(x\)-koordinaten uendret, mens fortegnet på \(y\)-koordinaten endres:

\[ \lvec{OP} = \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \]

Ergo må

\[ \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

c)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = -\dfrac{\pi}{3}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) og \(\sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til punktet \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right), \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \]

Dersom vi speiler vektoren om \(x\)-aksen, får vi punktet

\[ \lvec{OQ} = \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right] = \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Så speiler vi denne vektoren tilbake igjen for å finne koordinatene til \(P\) som svarer til å holde \(x\)-koordinaten uendret, mens fortegnet på \(y\)-koordinaten endres:

\[ \lvec{OP} = \left[\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Ergo må

\[ \cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

---

Oppgave 3

a)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{7\pi}{6}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{7\pi}{6}\) og \(\sin \dfrac{7\pi}{6}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(\dfrac{7\pi}{6}\right), \sin \left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\right] \]

Siden punktet \(P\) ligger i 3. kvadrant, kan vi rotere vektoren med 180 grader med klokka for å få et punkt \(Q\) i 1. kvadrant. Dette punktet får koordinatene:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ} &= \lvec{OP}_{-\pi} = \left[\cos \left(\dfrac{7\pi}{6} - \pi\right), \sin \left(\dfrac{7\pi}{6} - \pi\right)\right] \\ \\ &= \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right] \\ \\ &= \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

Så roterer vi denne vektoren tilbake med 180 grader mot klokka for å komme tilbake til punktet \(P\). Dette svarer til å gange vektoren med \(-1\):

\[ \lvec{OP} = \lvec{OQ}_{+\pi} = (-1) \cdot \lvec{OQ} = \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2} \]

b)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{5\pi}{4}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{5\pi}{4}\) og \(\sin \dfrac{5\pi}{4}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qog \sin \dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(\dfrac{5\pi}{4}\right), \sin \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right] \]

Siden punktet ligger i 3. kvadrant, kan vi rotere vektoren med 180 grader med klokka for å få et punkt \(Q\) i 1. kvadrant. Dette punktet får koordinatene:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ} &= \lvec{OP}_{-\pi} = \left[\cos \left(\dfrac{5\pi}{4} - \pi\right), \sin \left(\dfrac{5\pi}{4} - \pi\right)\right] \\ \\ &= \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right] \\ \\ &= \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

Så roterer vi denne vektoren tilbake med 180 grader mot klokka for å komme tilbake til punktet \(P\). Dette svarer til å gange vektoren med \(-1\):

\[ \lvec{OP} = \lvec{OQ}_{+\pi} = (-1) \cdot \lvec{OQ} = \left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qog \sin \dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

c)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = \dfrac{4\pi}{3}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \dfrac{4\pi}{3}\) og \(\sin \dfrac{4\pi}{3}\).

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til punktet \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(\dfrac{4\pi}{3}\right), \sin \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right] \]

Siden punktet ligger i 3. kvadrant, kan vi rotere vektoren med 180 grader med klokka for å få et punkt \(Q\) i 1. kvadrant. Dette punktet får koordinatene:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ} &= \lvec{OP}_{-\pi} = \left[\cos \left(\dfrac{4\pi}{3} - \pi\right), \sin \left(\dfrac{4\pi}{3} - \pi\right)\right] \\ \\ &= \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\ \\ &= \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

Så roterer vi denne vektoren tilbake med 180 grader mot klokka for å komme tilbake til punktet \(P\). Dette svarer til å gange vektoren med \(-1\):

\[ \lvec{OP} = \lvec{OQ}_{+\pi} = (-1) \cdot \lvec{OQ} = \left[-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

d)

Skjul oppgaven

Punktet \(P\) ligger på enhetssirkelen. Linjestykket \(OP\) danner vinkelen \(\varphi = -\dfrac{2\pi}{3}\) med førsteaksen.

Finn \(\cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\) og \(\sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right), \sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right] \]

Punktet ligger i 3. kvadrant, men siden vinkelen er negativ, roterer vi vektoren med 180 grader mot klokka for å få et punkt \(Q\) i 1. kvadrant. Dette punktet får koordinatene:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ} &= \lvec{OP}_{+\pi} = \left[\cos \left(-\dfrac{2\pi}{3} + \pi\right), \sin \left(-\dfrac{2\pi}{3} + \pi\right)\right] \\ \\ &= \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\ \\ &= \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

Så roterer vi vektoren tilbake med 180 grader med klokka for å komme tilbake til punktet \(P\). Dette svarer til å gange vektoren med \(-1\):

\[ \lvec{OP} = \lvec{OQ}_{-\pi} = (-1) \cdot \lvec{OQ} = \left[-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

---

Oppgave 4

a)

Skjul oppgaven

Bestem

\[ \cos \dfrac{13\pi}{3} \qog \sin \dfrac{13\pi}{3} \]

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{13\pi}{3} = \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{13\pi}{3} = \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vinkelen har 2 omløp ekstra i positiv retning, så hvis vi trekker fra \(2\pi\) to ganger, får vi en vinkel som ligger i 1. kvadrant:

\[ \varphi = \dfrac{13\pi}{3} - 4\pi = \dfrac{\pi}{3} \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{13\pi}{3} = \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{13\pi}{3} = \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

b)

Skjul oppgaven

Bestem

\[ \cos \dfrac{8\pi}{3} \qog \sin \dfrac{8\pi}{3} \]

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{8\pi}{3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{8\pi}{3} = \sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vinkelen har 1 omløp ekstra om enhetssirkelen. Trekker vi fra \(2\pi\) får vi en vinkel som ligger i 2. kvadrant:

\[ \varphi = \dfrac{8\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{2\pi}{3} \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{8\pi}{3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{8\pi}{3} = \sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

c)

Skjul oppgaven

Bestem

\[ \cos \left(-\dfrac{35\pi}{6}\right) \qog \sin \left(-\dfrac{35\pi}{6}\right) \]

Vis fasit

\[ \cos \left(-\dfrac{35\pi}{6}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{35\pi}{6}\right) = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi legger til \(6\pi\) for å få en positiv vinkel som ligger i 1. kvadrant:

\[ \varphi = -\dfrac{35\pi}{6} + 6\pi = \dfrac{\pi}{6} \]

Altså er

\[ \cos \left(-\dfrac{35\pi}{6}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{35\pi}{6}\right) = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \]

d)

Skjul oppgaven

Bestem

\[ \cos \left(-\dfrac{8\pi}{3}\right) \qog \sin \left(-\dfrac{8\pi}{3}\right) \]

Vis fasit

\[ \cos \left(-\dfrac{8\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{8\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Trekker vi fra \(-4\pi\) får vi en positiv vinkel som ligger i 4. kvadrant:

\[ \varphi = -\dfrac{8\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{4\pi}{3} \]

Denne vinkelen ligger i 3. kvadrant, så vi kan rotere vektoren med 180 grader med klokka for å få et punkt \(Q\) i 1. kvadrant. Dette punktet får koordinatene:

Vi har at

\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Dermed er

\[ \cos \left(-\dfrac{8\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \left(-\dfrac{8\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

e)

Skjul oppgaven

Bestem

\[ \cos \dfrac{11\pi}{4} \qog \sin \dfrac{11\pi}{4} \]

Vis fasit

\[ \cos \dfrac{11\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qog \sin \dfrac{11\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vinkelen har 1 ekstra omløp om enhetssirkelen. Vinkelen i første omløp får vi derfor ved å trekke fra \(2\pi\):

\[ \varphi = \dfrac{11\pi}{4} - 2\pi = \dfrac{3\pi}{4} \]

Dermed har vi at

\[ \cos \dfrac{11\pi}{4} = \cos \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qog \sin \dfrac{11\pi}{4} = \sin \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

---

Oppgave 5

Hint

Bruk Pytagoras’ identitet \(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1\)

a)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at

• Vinkelen \(\varphi\) ligger i 3. kvadrant

• \(\sin \varphi = -\dfrac{2}{3}\)

Bestem en eksakt verdi for \(\cos \varphi\) og \(\tan \varphi\).

Vis fasit

\[ \cos \varphi = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \qog \tan \varphi = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \]

Vis løsningsforslag

Fra Pytagoras’ identitet har vi at

\[ \cos^2\varphi + \sin^2 \varphi = 1 \]

Vi løser denne likningen for \(\cos \varphi\) og velger det negative svaret siden \(\varphi\) ligger i 3. kvadrant:

\[ \cos^2\varphi = 1 - \sin^2 \varphi = 1 - \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} \]

\[ \cos \varphi = -\sqrt{\dfrac{5}{9}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \]

Så finner vi tangens:

\[ \tan \varphi = \dfrac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \]

b)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\theta\) får du vite at

• Vinkelen ligger i 4. kvadrant

• \(\tan \theta = -\dfrac{3}{4}\)

Bestem en eksakt verdi for \(\sin \theta\) og \(\cos \theta\).

Vis fasit

\[ \cos \theta = \dfrac{4}{5} \qog \sin \theta = -\dfrac{3}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi tar utgangspunkt i Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \]

Vi vet at \(\tan \theta = -3/4\), som betyr at

\[ \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\dfrac{3}{4} \liff \sin \theta = -\dfrac{3}{4} \cos \theta \]

Vi setter inn dette i Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \theta + \left(-\dfrac{3}{4} \cos \theta\right)^2 = 1 \]

\[ \cos^2 \theta + \dfrac{9}{16} \cos^2 \theta = 1 \]

\[ \dfrac{25}{16} \cos^2 \theta = 1 \]

\[ \cos^2 \theta = \dfrac{16}{25} \]

Vi vet at \(\theta\) ligger i 4. kvadrant, så \(\cos \theta\) må være positiv:

\[ \cos \theta = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5} \]

Siden vinkelen er i 4. kvadrant, blir \(\sin \theta\) negativ:

\[ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25} \]

\[ \sin \theta = -\sqrt{\dfrac{9}{25}} = -\dfrac{3}{5} \]

c)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\gamma\) får du vite at

• Vinkelen ligger i 3. kvadrant

• \(\tan \gamma = \dfrac{5}{12}\)

Bestem en eksakt verdi for \(\sin \gamma\) og \(\cos \gamma\).

Vis fasit

\[ \cos \gamma = -\dfrac{12}{13} \qog \sin \gamma = -\dfrac{5}{13} \]

Vis løsningsforslag

Vi tar utgangspunkt i Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1 \]

Vi vet at \(\tan \gamma = 5/12\), som betyr at

\[ \dfrac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \dfrac{5}{12} \liff \sin \gamma = \dfrac{5}{12} \cos \gamma \]

Vi setter inn i Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2\gamma + \left(\dfrac{5}{12} \cos \gamma\right)^2 = 1 \]

\[ \cos^2\gamma + \dfrac{25}{144} \cos^2 \gamma = 1 \]

\[ \dfrac{169}{144} \cos^2 \gamma = 1 \]

som gir

\[ \cos^2 \gamma = \dfrac{144}{169} \]

Siden \(\gamma\) ligger i 3. kvadrant, må \(\cos \gamma\) være negativ:

\[ \cos \gamma = -\sqrt{\dfrac{144}{169}} = -\dfrac{12}{13} \]

Så finner vi \(\sin \gamma\) som også må være negativ i 3. kvadrant:

\[ \sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma = 1 - \dfrac{144}{169} = \dfrac{25}{169} \]

\[ \sin \gamma = -\sqrt{\dfrac{25}{169}} = -\dfrac{5}{13} \]

d)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\psi\) får du vite at

• Vinkelen ligger i 2. kvadrant

• \(\cos \psi = -\dfrac{4}{5}\)

Bestem en eksakt verdi for \(\sin \psi\) og \(\tan \psi\).

Vis fasit

\[ \sin \psi = \dfrac{3}{5} \qog \tan \psi = -\dfrac{3}{4} \]

Vis løsningsforslag

Vi tar utgangspunkt i Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2\psi + \sin^2\psi = 1 \]

Vi vet at \(\cos \psi = -4/5\), som betyr at

\[ \sin^2 \psi = 1 - \cos^2 \psi = 1 - \left(-\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25} \]

Siden vinkelen \(\psi\) ligger i 2. kvadrant, må \(\sin \psi\) være positiv:

\[ \sin \psi = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} \]

Så finner vi \(\tan \psi\):

\[ \tan \psi = \dfrac{\sin \psi}{\cos \psi} = \dfrac{\dfrac{3}{5}}{-\dfrac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4} \]

e)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\lambda\) får du vite at

• \(\lambda \in \langle 0, \pi\rangle\)

• \(\tan \lambda = -2\)

Bestem de eksakte verdiene for \(\sin \lambda\) og \(\cos \lambda\).

Vis fasit

\[ \cos \lambda = -\dfrac{\sqrt{5}}{5} \qog \sin \lambda = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi tar utgangspunkt i Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \lambda + \sin^2 \lambda = 1 \]

Vi vet at \(\tan \lambda = -2\), som betyr at

\[ \dfrac{\sin \lambda}{\cos \lambda} = -2 \liff \sin \lambda = -2 \cos \lambda \]

Så setter vi inn i Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \lambda + \left(-2 \cos \lambda\right)^2 = 1 \]

\[ \cos^2 \lambda + 4 \cos^2 \lambda = 1 \]

\[ 5 \cos^2 \lambda = 1 \liff \cos^2 \lambda = \dfrac{1}{5} \]

Vi vet at vinkelen må ligge i 2. kvadrant siden \(\tan \lambda\) er negativ og \(\lambda \in \langle 0, \pi\rangle\). Derfor må \(\cos \lambda\) være negativ:

\[ \cos \lambda = -\sqrt{\dfrac{1}{5}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{5} \]

Så finner vi \(\sin \lambda\):

\[ \sin \lambda = -2 \cos \lambda = -2 \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \]

---

Oppgave 6

For en vinkel \(\varphi\) i 1. kvadrant er \(\cos \varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

a)

Skjul oppgaven

Finn \(\sin \varphi\).

Vis fasit

\[ \sin \varphi = \dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi bruker Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \]

\[ \sin^2 \varphi = 1 - \cos^2 \varphi = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} \]

Siden vinkelen \(\varphi\) ligger i 1. kvadrant, må \(\sin \varphi\) være positiv:

\[ \sin \varphi = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} \]

b)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos (\varphi + \pi)\) og \(\sin (\varphi + \pi)\).

Vis fasit

\[ \cos(\varphi + \pi) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin(\varphi + \pi) = -\dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Posisjonsvektoren til punktet \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \varphi, \sin \varphi\right] = \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \]

Roterer vi vektoren med \(180\degree\) i positiv omløpsretning, havner vi på motsatt side av sirkelen. Dette svarer til å gange vektoren med \(-1\):

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OP'} &= \left[\cos(\varphi + \pi), \sin(\varphi + \pi)\right] \\ \\ &= \lvec{OP}_{+\pi} \\ \\ &= (-1) \cdot \lvec{OP} \\ \\ &= \left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

Altså er

\[ \cos(\varphi + \pi) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin(\varphi + \pi) = -\dfrac{1}{2} \]

c)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos \left(\varphi - \pi\right)\) og \(\sin \left(\varphi - \pi\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(\varphi - \pi\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \left(\varphi - \pi\right) = -\dfrac{1}{2} \]

Vis løsningsforslag

Som i oppgave b, så er dette her en rotasjon på \(180\) grader, bare denne gangen går det i negativ omløpsretning. Koordinatene blir de samme så

\[ \cos \left(\varphi - \pi\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qog \sin \left(\varphi - \pi\right) = -\dfrac{1}{2} \]

d)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right)\) og \(\sin \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{1}{2} \qog \sin \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Først tenker vi oss at punktet \(P\) har posisjonsvektoren

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \varphi, \sin \varphi\right] = \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \]

Så roterer vi vektoren med \(-\pi/2\) radianer, som svarer til å bytte om \(x\)- og \(y\)-koordinatene, men \(y\)-koordinaten får motsatt fortegn. Altså får vi

\[ \lvec{OP}_{-\pi/2} = \left[\cos \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right), \sin \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right)\right] = \left[\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{1}{2} \qog \sin \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

e)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right)\) og \(\sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi tenker oss et punkt \(P\) med posisjonsvektoren

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \varphi, \sin \varphi\right] = \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \]

Så roterer vi vektoren med \(+\pi/2\) radianer, som svarer til å bytte om \(x\)- og \(y\)-koordinatene, men den nye \(x\)-koordinaten får motsatt fortegn. Altså får vi

\[ \lvec{OP}_{+\pi/2} = \left[\cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right), \sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right)\right] = \left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

f)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos \left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi\right)\) og \(\sin \left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi\right)\).

Hint

Tenk deg at du roterer en posisjonsvektor \(\lvec{OP} = [\cos(-\varphi), \sin(-\varphi)]\) med \(\pi/2\) radianer i positiv omløpsretning.

Vis fasit

\[ \cos \left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi\right) = \dfrac{1}{2} \qog \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi tenker oss først at vi ser på posisjonsvektoren til et punkt \(P\) som er rotert \(-\varphi\) radianer:

\[ \lvec{OP} = [\cos(-\varphi), \sin(-\varphi)] = [\cos \varphi, -\sin \varphi] = \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right] \]

Så roterer vi denne \(+\pi/2\) radianer som svarer til å bytte om rekkefølgen på koordinatene og endre fortegn på den nye \(x\)-koordinaten:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OP}_{+\pi/2} &= \left[\cos(\dfrac{\pi}{2} - \varphi), \sin(\dfrac{\pi}{2} - \varphi)\right] \\ \\ &= \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \end{align*} \end{split}\]

Altså er

\[ \cos \left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi\right) = \dfrac{1}{2} \qog \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - \varphi\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

---

Oppgave 7

Gitt at \(\sin \varphi = \dfrac{4}{5}\) og \(\varphi\) ligger i 2. kvadrant.

a)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos \varphi\).

Vis fasit

\[ \cos \varphi = -\dfrac{3}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi bruker Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \]

\[ \cos^2 \varphi = 1 - \sin^2 \varphi = 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25} \]

Siden vinkelen \(\varphi\) ligger i 2. kvadrant, må \(\cos \varphi\) være negativ:

\[ \cos \varphi = -\sqrt{\dfrac{9}{25}} = -\dfrac{3}{5} \]

b)

Skjul oppgaven

Bestem \(\cos (\varphi + \pi)\) og \(\sin (\varphi + \pi)\).

Vis fasit

\[ \cos (\varphi + \pi) = \dfrac{3}{5} \qog \sin (\varphi + \pi) = -\dfrac{4}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi tenker oss et punkt \(P\) på enhetssirkelen med posisjonsvektoren

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \varphi, \sin \varphi\right] = \left[-\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right] \]

Så roterer vi denne vektoren med \(+\pi\) radianer som svarer til å gange vektoren med \(-1\):

\[ \lvec{OP}_{+\pi} = \left[\cos(\varphi + \pi), \sin(\varphi + \pi)\right] = -1 \cdot \lvec{OP} = \left[\dfrac{3}{5}, -\dfrac{4}{5}\right] \]

Altså er

\[ \cos (\varphi + \pi) = \dfrac{3}{5} \qog \sin (\varphi + \pi) = -\dfrac{4}{5} \]

c)

Skjul oppgaven

Bestem \(\cos \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right)\) og \(\sin \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{4}{5} \qog \sin \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{3}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi ser for oss et punkt \(P\) på enhetssirkelen med posisjonsvektoren

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \varphi, \sin \varphi\right] = \left[-\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right] \]

Så roterer vi vektoren med \(-\pi/2\) radianer som svarer til å bytte om rekkefølgen på koordinatene og endre fortegn på den nye \(y\)-koordinaten:

\[ \lvec{OP}_{-\pi/2} = \left[\cos(\varphi - \dfrac{\pi}{2}), \sin(\varphi - \dfrac{\pi}{2})\right] = \left[\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right] \]

Altså er

\[ \cos \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{4}{5} \qog \sin \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{3}{5} \]

d)

Skjul oppgaven

Bestem \(\cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right)\) og \(\sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{4}{5} \qog \sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{3}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi tenker oss et punkt \(P\) på enhetssirkelen med posisjonsvektoren

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \varphi, \sin \varphi\right] = \left[-\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right] \]

Så roterer vi vektoren med \(+\pi/2\) radianer som svarer til å bytte om rekkefølgen på koordinatene og endre fortegn på den nye \(x\)-koordinaten:

\[ \lvec{OP}_{+\pi/2} = \left[\cos(\varphi + \dfrac{\pi}{2}), \sin(\varphi + \dfrac{\pi}{2})\right] = \left[-\dfrac{4}{5}, -\dfrac{3}{5}\right] \]

Altså er

\[ \cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{4}{5} \qog \sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{3}{5} \]

e)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos(\pi - \varphi)\) og \(\sin(\pi - \varphi)\).

Vis fasit

\[ \cos (\pi - \varphi) = \dfrac{3}{5} \qog \sin(\pi - \varphi) = \dfrac{4}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi ser for oss at vi først finner posisjonsvektoren til et punkt \(P\) gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos (-\varphi), \sin (-\varphi)\right] = \left[\cos \varphi, -\sin \varphi\right] = \left[-\dfrac{3}{5}, -\dfrac{4}{5}\right] \]

Deretter roterer vi vektoren med \(+\pi\) radianer som svarer til å gange vektoren med \(-1\):

\[ \lvec{OP}_{+\pi} = \left[\cos(\pi - \varphi), \sin(\pi - \varphi)\right] = -1 \cdot \lvec{OP} = \left[\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right] \]

Altså er

\[ \cos (\pi - \varphi) = \dfrac{3}{5} \qog \sin(\pi - \varphi) = \dfrac{4}{5} \]

---

Oppgave 8

a)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at

• \(\cos (2\varphi) = \dfrac{1}{2}\)

• \(\sin \varphi = \dfrac{1}{2}\)

Bestem de mulige verdiene til \(\cos \varphi\).

Vis fasit

\[ \cos \varphi = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi bruker identiteten:

\[ \cos(2\varphi) = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi \]

Vi har at \(\cos(2\varphi) = 1/2\) og \(\sin \varphi = 1/2\) som gir

\[ \dfrac{1}{2} = \cos^2 \varphi - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \]

\[ \dfrac{1}{2} = \cos^2 \varphi - \dfrac{1}{4} \]

\[ \cos^2 \varphi = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \]

\[ \cos \varphi = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

b)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at

\[ \cos (2\varphi) = \dfrac{3}{4} \]

Bestem de mulige verdiene til \(\cos \varphi\).

Vis fasit

\[ \cos\varphi = \pm \dfrac{\sqrt{14}}{4} \]

Vis løsningsforslag

Vi starter med identiteten:

\[ \cos (2\varphi) = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi \]

Så bruker vi Pytagoras’ identitet til å kvitte oss med \(\sin^2 \varphi\):

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \liff \sin^2 \varphi = 1 - \cos^2 \varphi \]

\[ \cos (2\varphi) = \cos^2 \varphi - (1 - \cos^2 \varphi) = 2\cos^2 \varphi - 1 \]

Altså er

\[ \cos^2 \varphi = \dfrac{\cos (2\varphi) + 1}{2} = \dfrac{\dfrac{3}{4} + 1}{2} = \dfrac{\dfrac{7}{4}}{2} = \dfrac{7}{8} \]

Det betyr at de mulige verdiene er

\[ \cos \varphi = \pm \sqrt{\dfrac{7}{8}} = \pm \dfrac{\sqrt{14}}{4} \]

c)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at

• \(\sin \varphi = \dfrac{1}{3}\)

• Vinkelen \(\varphi\) ligger i 1. kvadrant

Finn \(\sin (2\varphi)\).

Vis fasit

\[ \sin (2\varphi) = \dfrac{4\sqrt{2}}{9} \]

Vis løsningsforslag

Vi starter med identiteten:

\[ \sin (2\varphi) = 2 \sin \varphi \cos \varphi \]

Fra Pytagoras’ identitet har vi at

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \liff \cos^2 \varphi = 1 - \sin^2 \varphi \]

Siden vinkelen ligger i 1.kvadrant er \(\sin \varphi\) positiv og \(\cos \varphi\) positiv. Vi kan derfor skrive om \(\cos \varphi\) som

\[ \cos \varphi = \sqrt{1 - \sin^2 \varphi} \]

Vi setter tilbake igjen i den første likningen:

\[ \sin (2\varphi) = 2 \sin \varphi \sqrt{1 - \sin^2 \varphi} \]

Da får vi

\[ \sin (2\varphi) = 2 \cdot \dfrac{1}{3} \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{2}{3} \sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = \dfrac{2}{3} \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = \dfrac{4\sqrt{2}}{9} \]

---

Oppgave 9

En vinkel \(\varphi\) ligger i 3. kvadrant der \(\tan \varphi = \dfrac{3}{4}\).

a)

Skjul oppgaven

Finn en eksakt verdi for \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\).

Vis fasit

\[ \cos \varphi = -\dfrac{4}{5} \qog \sin \varphi = -\dfrac{3}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi vet at

\[ \tan \varphi = \dfrac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \dfrac{3}{4} \liff \sin \varphi = \dfrac{3}{4} \cos \varphi \]

Så bruker vi Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \]

\[ \cos^2 \varphi + \left(\dfrac{3}{4} \cos \varphi\right)^2 = 1 \]

\[ \cos^2 \varphi + \dfrac{9}{16} \cos^2 \varphi = 1 \]

\[ \dfrac{25}{16} \cos^2 \varphi = 1 \]

\[ \cos^2 \varphi = \dfrac{16}{25} \]

\[ \cos \varphi = \pm \dfrac{4}{5} \]

Siden \(\varphi\) ligger i 3. kvadrant, er \(\cos \varphi\) negativ:

\[ \cos \varphi = -\dfrac{4}{5} \]

Og dermed:

\[ \sin \varphi = -\dfrac{3}{5} \]

b)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos \left(\varphi + 3\pi\right)\) og \(\sin \left(\varphi + 3\pi\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(\varphi + 3\pi\right) = \dfrac{4}{5} \qog \sin \left(\varphi + 3\pi\right) = \dfrac{3}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi starter med et punkt \(P\) på enhetssirkelen gitt ved

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \varphi, \sin \varphi\right] = \left[-\dfrac{4}{5}, -\dfrac{3}{5}\right] \]

Vinkelen \(\varphi + 3\pi\) vil svare til én full rotasjon med \(2\pi\) og deretter en halv rotasjon med \(\pi\) radianer. Ergo vil vi ende opp på motsatt side av sirkelen. Altså får vi

\[ \lvec{OP}_{+3\pi} = \left[\cos(\varphi + 3\pi), \sin(\varphi + 3\pi)\right] = -1 \cdot \lvec{OP} = \left[\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right] \]

Dermed er

\[ \cos \left(\varphi + 3\pi\right) = \dfrac{4}{5} \qog \sin \left(\varphi + 3\pi\right) = \dfrac{3}{5} \]

c)

Skjul oppgaven

Finn \(\cos \left(\varphi + \dfrac{3\pi}{2}\right)\) og \(\sin \left(\varphi + \dfrac{3\pi}{2}\right)\).

Vis fasit

\[ \cos \left(\varphi + \dfrac{3\pi}{2}\right) = -\dfrac{3}{5} \qog \sin \left(\varphi + \dfrac{3\pi}{2}\right) = \dfrac{4}{5} \]

Vis løsningsforslag

Vi starter i et punkt \(P\) med posisjonsvektoren

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \varphi, \sin \varphi\right] = \left[-\dfrac{4}{5}, -\dfrac{3}{5}\right] \]

Deretter skal vi rotere vektoren \(3\pi/2\) radianer som vi kan dele opp i å først rotere \(\pi\) radianer og deretter \(\pi/2\) radianer. Etter å ha rotert \(\pi\) radianer, vil vi ende opp på motsatt side av sirkelen:

\[ \lvec{OP}_{+\pi} = \left[\cos(\varphi + \pi), \sin(\varphi + \pi)\right] = -1 \cdot \lvec{OP} = \left[\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right] \]

Deretter skal vi rotere \(\pi/2\) radianer som svarer til å bytte om rekkefølgen på koordinatene og endre fortegn på den nye \(x\)-koordinaten:

\[ \lvec{OP}_{+\pi + \pi/2} = \left[\cos(\varphi + 3\pi/2), \sin(\varphi + 3\pi/2)\right] = \left[-\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right] \]

Ergo er

\[ \cos \left(\varphi + \dfrac{3\pi}{2}\right) = -\dfrac{3}{5} \qog \sin \left(\varphi + \dfrac{3\pi}{2}\right) = \dfrac{4}{5} \]

---

Oppgave 10

Avgjør om påstandene nedenfor er sanne eller usanne.

Begrunn svaret ditt!

a)

Skjul oppgaven

Påstand:

Hvis \(\varphi\) ligger i 1. kvadrant, så ligger også \(2\varphi\) i 1. kvadrant.

Vis fasit

Usann.

Vis løsningsforslag

Siden \(\varphi\) ligger i 1. kvadrant, vil \(\varphi \in \left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle\). Da vil \(2\varphi\) doble alle verdiene i intervallet som gir oss at

\[ 2\varphi \in \left\langle 0, \pi \right\rangle \]

Det må bety at for noen vinkler \(\varphi\) i 1. kvadrant, så vil \(2\varphi\) ligge i 2. kvadrant.

Dermed er påstanden usann.

b)

Skjul oppgaven

Påstand:

Hvis \(\varphi\) ligger i 2. kvadrant, så ligger \(2\varphi\) enten i 3. kvadrant eller 4. kvadrant

Vis fasit

Sann.

Vis løsningsforslag

Siden \(\varphi\) ligger i 2. kvadrant, er

\[ \varphi \in \left \langle \dfrac{\pi}{2}, \pi\right \rangle \]

Det betyr at

\[ 2\varphi \in \langle \pi, 2\pi \rangle \]

Altså ligger \(2\varphi\) i 3. eller 4. kvadrant.

Dermed er påstanden sann.

c)

Skjul oppgaven

Påstand:

Hvis \(\cos \varphi\) er positiv, så kan \(\cos (2\varphi)\) være positiv eller negativ.

Vis fasit

Sann.

Vis løsningsforslag

Siden \(\cos \varphi\) er positiv, følger det at \(\varphi\) ligger i 4. eller 1. kvadrant. Da er

\[ \varphi \in \left \langle -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right \rangle \]

Det betyr at

\[ 2 \varphi \in \left \langle -\pi, \pi \right \rangle \]

Her kan \(\cos (2\varphi)\) være både positiv og negativ siden mengden inneholder alle kvadrantene.

d)

Skjul oppgaven

Påstand:

Hvis \(\sin \varphi\) er negativ, så er også \(\sin (2\varphi)\) negativ.

Vis fasit

Usann.

Vis løsningsforslag

Hvis \(\sin \varphi\) er negativ, så ligger \(\varphi\) i 3. eller 4. kvadrant.

Altså er

\[ \varphi \in \left\langle \pi, 2\pi \right\rangle \]

Det betyr at

\[ 2\varphi \in \left\langle 2\pi, 4\pi \right\rangle = \left\langle 0, 2\pi \right\rangle \]

som forteller oss at \(2\varphi\) kan ligge i alle kvadranter. Dermed kan \(\sin (2\varphi)\) være både positiv og negativ, helt avhengig av hva \(\varphi\) er.

Altså er påstanden usann.

---

Oppgave 11

a)

Skjul oppgaven

Vektoren \(\lvec{OP} = [1, 0]\) er vist i figuren til høyre.

Vi får et punkt \(Q\) ved å rotere \(\lvec{OP}\) med \(\varphi\) radiener i positiv omløpsretning.

Bestem koordinatene til punktet \(Q\) uttrykt med \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\).

Vis fasit

\[ \lvec{OQ} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \]

b)

Skjul oppgaven

Vektoren \(\lvec{OR} = [0, 1]\) er vist i figuren til høyre.

Vi får et punkt \(T\) ved å rotere \(\lvec{OR}\) med \(\varphi\) radianer i positiv omløpsretning.

Bestem koordinatene til punktet \(T\) uttrykt med \(\cos \varphi\) og \(\sin \varphi\).

Vis fasit

\[ \lvec{OT} = [-\sin \varphi, \cos \varphi] \]

c)

Skjul oppgaven

Forklar at

\[ \lvec{OP} = [\cos \varphi, \sin \varphi] = \cos \varphi \cdot [1, 0] + \sin \varphi \cdot [0, 1] \]

d)

Skjul oppgaven

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at

• \(\cos \varphi = -\dfrac{3}{5}\)

• \(\sin \varphi = \dfrac{4}{5}\)

Finn de eksakte verdiene til

\[ \cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{4}\right) \qog \sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{4}\right) \]

Oppgave 12

Bruk ideen fra oppgave 11 til å vise at

\[ \cos(\varphi + \theta) = \cos \varphi \cdot \cos \theta - \sin \varphi \cdot \sin \theta \]

og

\[ \sin (\varphi + \theta) = \sin \varphi \cdot \cos \theta + \cos \varphi \cdot \sin \theta \]