Linjer

Innhold

3. Linjer#

utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

En linje er definert på én av to måter:

Ved to punkter \(A\) og \(B\) som ligger på linjen.
Ved ett punkt \(A\) og en retningsvektor \(\vec{v}\) som er parallell med linjen.

Parameterframstillinger#

Retningsvektorer#

En linje som går gjennom punktene \(A\) og \(B\) har en retningsvektor \(\vec{v}\) som er gitt ved

\[ \vec{v} = \lvec{AB} \]

Alle vektorer som er parallelle med \(\lvec{AB}\) er også en retningsvektor for linja.

Eksempel 1#

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A(-1, 2, 5)\) og \(B(3, 0, 1)\).

Finn en retningsvektor \(\vec{v}\) for linja.

En retningsvektor \(\vec{v}\) er gitt ved vektoren fra \(A\) til \(B\):

\[ \vec{v} = \lvec{AB} = [3 - (-1), 0 - 2, 1 - 5] = [4, -2, -4] \]

Merk at siden alle vektorer som er parallelle med \(\lvec{AB}\) også er en retningsvektor for linja, så kan vi også bruke vektoren \([2, -1, -2]\) som retningsvektor for linja siden \([4, -2, -4] = 2 \cdot [2, -1, -2]\).

Parameterframstilling for linjer#

En parameterframstilling for en linje angir alle punktene som ligger på linja.

Posisjonsvektoren \(\vec{r}(t)\) til punktene \(P(t)\) på en linje \(\ell\) med startpunkt \(A\) og retningsvektor \(\vec{v}\) kan skrives som

\[ \vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \qder t \in \real \]

På koordinatform, er posisjonsvektoren gitt ved

\[ \vec{r}(t) = \mqty[A_x + v_x \cdot t, A_y + v_y \cdot t, A_z + v_z \cdot t] \]

Noen ganger skrives parameterframstillingen for linja som

\[\begin{split} \ell: \begin{cases} x = A_x + v_x \cdot t \\ y = A_y + v_y \cdot t \\ z = A_z + v_z \cdot t \end{cases} \end{split}\]

Eksempel 2#

Linja \(\ell\) går gjennom punktene \(A(5, 2, 1)\) og \(B(1, 4, 3)\).

Finn en parameterframstilling for linja \(\ell\).

Vi trenger først og fremst en retningsvektor for linja. Enhver retningsvektor er parallell med vektoren

\[ \lvec{AB} = [1 - 5, 4 - 2, 3 - 1] = [-4, 2, 2] = (-2) \cdot [2, -1, -1] \]

Vi velger derfor \(\vec{v} = [2, -1, -1]\) som retningsvektor for linja. Vi står fritt til å velge hvilket som helst punkt på linja som startpunkt for parameterframstillingen. Vi velger punktet \(A(5, 2, 1)\) som startpunkt. Dermed får vi parameterframstillingen

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}(t) &= \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \\ \\ &= \mqty[5, 2, 1] + \mqty[2, -1, -1] \cdot t \\ \\ &= \mqty[5 + 2t, 2 - t, 1 - t] \end{align*} \end{split}\]

som vi også eventuelt kan skrive som

\[\begin{split} \ell: \begin{cases} x = 5 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 1 - t \end{cases} \end{split}\]

Retningsvektor fra parameterframstilling#

Gitt en parameterframstilling \(\vec{r}(t) = [x(t), y(t), z(t)]\) for en linje \(\ell\), så er en retningsvektor for linja gitt ved den deriverte av posisjonsvektoren \(\vec{r}(t)\):

\[ \vec{v} = \vec{r}'(t) = [x'(t), y'(t), z'(t)] \]

Eksempel 3#

En linje \(\ell\) er gitt ved

\[ \vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 - t, 4 + 5t] \]

Finn en retningtsvektor for linja \(\ell\).

En retningsvektor for linja finner vi ved å deriverte posisjonsvektoren:

\[ \vec{v} = \vec{r}'(t) = [(1 + 2t)', (3 - t)', (4 + 5t)'] = [2, -1, 5] \]

Avstander#

Avstand fra punkt til linje#

Gitt en linje \(\ell\) med en retningsvektor \(\vec{v}\) og et punkt \(A\) på linja, så er avstanden \(L\) fra punktet \(P\) til linja \(\ell\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \times \vec{v}|}{\abs{\vec{v}}} \]

Vi starter med å lage oss en trekant som er spent ut av vektorene \(\vec{AP}\) og \(\vec{v}\). Vi finner så arealet \(T\) av trekanten på to måter og setter de lik hverandre:

\[ T = \dfrac{1}{2} \abs{\lvec{AP} \times \vec{v}} = \dfrac{1}{2} \underbrace{ \abs{\vec{v}} \cdot L}_{\text{grunnlinje} \cdot \text{høyde}} \]

Det forteller oss at

\[ |\lvec{AP} \times \vec{v}| = \abs{\vec{v}} \cdot L \]

så løser vi for avstanden som gir oss formelen vi er ute etter:

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \times \vec{v}|}{\abs{\vec{v}}} \]

Eksempel 4#

En linje går gjennom punktene \(A(3, 2, 0)\) og \(B(4, 4, -2)\).

Finn avstanden fra punktet \(P(2, 3, -1)\) til linja.

Vi finner først en retningsvektor for linja:

\[ \vec{v} = \lvec{AB} = [4 - 3, 4 - 2, -2 - 0] = [1, 2, -2] \]

Så finner vi en vektor som peker fra et punkt på linja til punktet \(P\). Vi velger punktet \(A\) som ligger på linja, og lager vektoren \(\lvec{AP}\):

\[ \lvec{AP} = [2 - 3, 3 - 2, -1 - 0] = [-1, 1, -1] \]

Vi må finne kryssproduktet mellom vektorene \(\lvec{AP}\) og \(\vec{v}\):

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AP} \times \lvec{v} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & -1 \\ 2 & -2| - \vec{e}_y \cdot \mqty|-1 & -1 \\ 1 & -2| + \vec{e}_z \cdot \mqty|-1 & 1 \\ 1 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 \cdot -2 - (-1) \cdot 2) - \vec{e}_y \cdot (-1 \cdot -2 - (-1) \cdot 1) + \vec{e}_z \cdot (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-2 + 2) - \vec{e}_y \cdot (2 - (-1)) + \vec{e}_z \cdot (-2 - 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot 0 - \vec{e}_y \cdot 3 + \vec{e}_z \cdot (-3) \\ \\ &= [0, -3, -3] \end{align*} \end{split}\]

Avstanden \(L\) fra \(P\) til linja er gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \times \vec{v}|}{\abs{\vec{v}}} \]

Vi regner ut lengden av de to vektorene først:

\[ |\lvec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

og

\[ \abs{\vec{v}} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Dermed får vi at avstanden \(L\) er

\[ L = \dfrac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} \]

Når vi studerer flere linjer i rommet, så kan de være orientert i forhold til hverandre på tre forskjellige måter:

Linjene er parallelle. Da kan de enten ligge ved siden av hverandre eller være sammenfallende (ligger oppå hverandre – slik at avstanden er lik \(0\)).
Linjene er ikke-parallelle og skjærer hverandre. Da har de ett punkt til felles og den korteste avstanden mellom de to er lik \(0\).
Linjene er ikke-parallelle og ikke-skjærende. Da sier vi at linjene er vindskjeve og den korteste avstanden mellom de to linjene er større enn \(0\).

Når to linjer er parallelle, kan vi regne ut avstanden mellom dem ved å bruke formelen for avstanden fra et punkt til en linje.

Avstand mellom parallelle linjer#

Dersom to linjer \(\ell\) og \(m\) er parallelle, så er avstanden mellom de to linjene gitt ved avstanden fra et punkt til en linje.

Gitt at \(A \in \ell\) og \(B \in m\), så er avstanden \(L\) mellom linjene \(\ell\) og \(m\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \times \vec{v}|}{\abs{\vec{v}}} \]

der \(\vec{v}\) er en retningsvektor for linjene \(\ell\) og \(m\).

Hvis linjene er sammenfallende, så er avstanden \(L = 0\).

Når to linjer er ikke-parallelle, trenger vi en annen strategi for å finne den korteste avstanden mellom dem:

Avstand mellom ikke-parallelle linjer#

Gitt to ikke-parallelle linjer \(\ell\) og \(m\) med følgende egenskaper:

linja \(\ell\) går gjennom punktet \(A\) og har retningsvektor \(\vec{v}_\ell\)
linja \(m\) går gjennom punktet \(B\) og har retningsvektor \(\vec{v}_m\)

så er den korteste avstanden \(L\) mellom linjene \(\ell\) og \(m\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

der vektoren \(\vec{n}\) står normalt på begge linjene og er gitt ved

\[ \vec{n} = \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m \]

Hvis linjene skjærer hverandre, så er den korteste avstanden \(L = 0\).

Vektoren \(\vec{n} = \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m\) står normalt på begge linjene. Projeksjonsavstanden av vektoren \(\lvec{AB}\) på \(\vec{n}\) er den korteste avstanden mellom de to linjene. Dermed kan vi bruke formelen for projeksjonsavstanden til å finne avstanden mellom de to linjene:

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Eksempel 5#

En linje \(\ell\) går gjennom punktet \(A(3, 0, 4)\) og har en retningsvektor \(\vec{v}_\ell = [2, 1, 1]\).

En linje \(m\) går gjennom punktet \(B(4, 2, -1)\) og har en retningsvektor \(\vec{v}_m = [1, 2, 1]\).

Finn den korteste avstanden mellom \(\ell\) og \(m\).

Først finner vi en vektor \(\vec{n}\) som står normalt på begge linjer:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{n} &= \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m \\ \\ &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & 1 \\ 2 & 1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|2 & 1 \\ 1 & 1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|2 & 1 \\ 1 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \vec{e}_y \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{e}_z \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 - 2) - \vec{e}_y \cdot (2 - 1) + \vec{e}_z \cdot (4 - 1) \\ \\ &= -\vec{e}_x - \vec{e}_y + 3\vec{e}_z \\ \\ &= [-1, -1, 3] \end{align*} \end{split}\]

Vi trenger en vektor som peker fra et punkt på linja \(\ell\) til et punkt på linja \(m\). Vi velger vektoren \(\lvec{AB}\):

\[ \lvec{AB} = [4 - 3, 2 - 0, -1 - 4] = [1, 2, -5] \]

Den korteste avstanden mellom linjene \(\ell\) og \(m\) er da gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi regner ut prikkproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \cdot \vec{n} &= [1, 2, -5] \cdot [-1, -1, 3] \\ \\ &= 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + (-5) \cdot 3 \\ \\ &= -1 - 2 - 15 \\ \\ &= -18 \end{align*} \end{split}\]

så regner vi ut lengden av vektoren \(\vec{n}\):

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} \]

Dermed er den korteste avstanden mellom linjene \(\ell\) og \(m\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|-18|}{\sqrt{11}} = \dfrac{18}{\sqrt{11}} \]

Skjæring mellom linjer#

Gitt to linjer \(\ell\) og \(m\) som ligger i samme plan, kan vi finne koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene ved å løse et likningssystem.

Skjæringspunktet mellom to linjer#

Gitt to linjer \(\ell\) og \(m\) med parameterframstillinger \(\vec{r}_\ell(t)\) og \(\vec{r}_m(s)\), så finner vi skjæringspunktet ved å løse likningssystemet

\[ \vec r_\ell(t) = \vec r_m(s) \]

Eksempel 6#

To linjer \(\ell\) og \(m\) er gitt ved

\[ \vec r_\ell(t) = [-1 + 3t, -3 + 4t, -4 + t] \qog \vec r_m(s) = [4 + s, 5 + 2s, -1 + s] \]

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene.

Dersom linjene skjærer hverandre, må det finnes én verdi for \(t\) og én verdi for \(s\) slik at

\[ \vec r_\ell(t) = \vec r_m(s) \]

Dette gir oss vektorlikningen:

\[ [-1 + 3t, -3 + 4t, -4 + t] = [4 + s, 5 + 2s, -1 + s] \]

Ved å sette hver vektorkomponent lik hverandre, får vi likningssystemet:

\[ -1 + 3t = 4 + s \and -3 + 4t = 5 + 2s \and -4 + t = -1 + s \]

Her kan vi bruke innsettingsmetoden. Vi kan for eksempel først løse likning 3 for \(t\):

\[ -4 + t = -1 + s \liff t = 3 + s \]

Så setter vi dette uttrykket for \(t\) inn i én av de andre likningene for å finne \(s\). Vi velger likning 1:

\[ -1 + 3\cdot(3 + s) = 4 + s \]

\[ -1 + 9 + 3s = 4 + s \]

\[ 8 + 3s = 4 + s \]

\[ 8 - 4 = s - 3s \]

\[ 4 = -2s \]

\[ s = -\dfrac{4}{2} = -2 \]

Vi trenger strengt tatt ikke å finne verdien til \(t\), men vi må huske på at verdien til \(s\) hører til \(\vec r_m(s)\). Koordinatene til skjæringspunktet blir derfor

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r_m(-2) &= [4 + (-2), 5 + 2\cdot (-2), -1 + (-2)] \\ \\ &= [4 - 2, 5 - 4, -1 - 3] \\ \\ &= [2, 1, -3] \end{align*} \end{split}\]

Ergo skjærer linjene hverandre i punktet \((2, 1, -3)\).