Enhetssirkelen og radianer

Innhold

6. Enhetssirkelen og radianer#

utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Radianer#

Radianer er et absolutt vinkelmål som er bedre egnet enn grader når vi jobber med trigonometriske funksjoner.

Definisjon: Radianer#

Radianer er et vinkelmål som er definert som forholdet mellom buelengden $s$ av en sirkelbue og radiusen $r$ til sirkelen:

\[ \varphi = \dfrac{s}{r} \]

Gitt vinkelen $\varphi \degree$ i grader, så er vinkelen i radianer gitt ved

\[ \varphi = \dfrac{\pi}{180} \cdot \varphi \degree \]

Eksempel 1#

En sirkel med radius $1$ har en omkrets på $2\pi$. En vinkel $\varphi$ på $360\degree$ er tegnet inn.

Finn vinkelen $\varphi$ i radianer.

Buelengden er lik omkretsen som er $s = 2\pi$. Radiusen er $r = 1$. Dermed blir vinkelen i radianer:

\[ \varphi = \dfrac{s}{r} = \dfrac{2\pi}{1} = 2\pi \]

Altså tilsvarer $2\pi$ radianer $360\degree$.

Eksempel 2#

En vinkel $\varphi = 120\degree$.

Finn vinkelen i radianer.

For å omgjøre vinkelen fra grader til radianer, ganger vi med $\pi / 180$:

\[ \varphi = 120\degree = 120\cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3} \]

Enhetssirkelen#

Enhetssirkelen er en sirkel med radius $1$ som lar oss definere sinus og cosinus for alle mulige vinkler.

Enhetssirkelen#

Enhetssirkelen er en sirkel med radius $1$ som er plassert i et koordinatsystem med sentrum i origo. Alle punkter på enhetssirkelen har derfor avstanden $1$ fra origo.

Et linjestykke $OP$ fra origo ut til et punkt $P$ danner en vinkel $\varphi$ med førsteaksen. Da er koordinatene til punktet

\[\begin{split} \begin{align*} x &= \cos \varphi \\ \\ y &= \sin \varphi \end{align*} \end{split}\]

Vi navnsetter derfor ofte $\cos \varphi$ på førsteaksen og $\sin \varphi$ på andreaksen.

Eksempel 3#

Finn $\cos 60\degree$ og $\sin 60\degree$ ved å bruke enhetssirkelen.

Uttrykk svarene ved å bruke radianer for vinklene.

Per definisjon, er det $x$-koordinaten som gir cosinusverdien og $y$-koordinaten som gir sinusverdien. Dermed har vi at

\[ \cos 60\degree = \frac{1}{2} \]

\[ \sin 60\degree = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Vi finner vinkelen i radianer:

\[ 60\degree = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \]

Dermed blir

\[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]

\[ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Omløpsretning og vinkler#

Når en vinkel $\varphi$ er positiv, går vinkelen mot klokka. Når vinkelen er negativ, går vinkelen med klokka. Vi sier derfor at positiv omløpsretning er mot klokka, og negativ omløpsretning er med klokka.

Sinus og cosinus er periodiske#

For en vinkel $\varphi$, vil vi kunne legge til eller trekka fra $2\pi$ og få akkurat samme punkt på enhetssirkelen. Derfor er

\[ \sin \left(\varphi + 2\pi k\right) = \sin \varphi \]

\[ \cos \left(\varphi + 2\pi k\right) = \cos \varphi \]

for alle heltall $k$.

Eksakte verdier for sinus og cosinus i 1.kvadrant#

$\varphi^\circ$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\varphi$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos \varphi$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin \varphi$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$