8. Likninger

Læringsmål

• Kunne løse grunnleggende trigonometriske likninger

• Kunne løse trigonometriske likninger ved å forenkle dem med variabelskifte

• Kunne bruke trigonometriske identiteter til å forenkle likninger til grunnleggende trigonometriske likninger

Vi har sett at enhetssirkelen medfører at sinus og cosinus repeterer seg periodisk. Konsekvensen av dette er at trigonometriske likninger kan ha flere løsninger.

Grunnlikninger

Likningen \(\cos x = k\)

Likningen

\[ \cos x = k \]

har i hvert omløp av enhetssirkelen

• to løsninger så lenge \(k \in \langle -1, 1\rangle\)

• når \(k = -1\) eller \(k = 1\) har likningen én løsning

• når \(\abs{k} > 1\) har likningen ingen løsning

---

Eksempel 1

Finn de generelle løsningene til likningen

\[ \cos x = \dfrac{1}{2} \]

Skjul løsningsforslag

Vi vet at i 1. kvadrant så er

\[ \cos x = \dfrac{1}{2} \liff x = \dfrac{\pi}{3} \]

Men det finnes også en løsning i 4. kvadrant, som er speilet om \(x\)-aksen. Ergo er denne løsningen:

\[ x = -\dfrac{\pi}{3} \]

Men om vi legger til eller trekker fra \(2\pi\) til disse løsningene, ender vi opp på samme sted på enhetssirkelen siden det tilsvarer å rotere et fullt omløp rundt enhetssirkelen. Og det kan vi gjøre så mange ganger vi vil.

Vi kan utføre vilkårlig mange omløp \(n\) rundt enhetssirkelen i begge retninger.

For den første løsningen betyr det

\[ x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

For den andre løsningen betyr det at:

\[ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

Likningen \(\sin x = k\)

Likningen

\[ \sin x = k \]

har i hvert omløp av enhetssirkelen

• to løsninger så lenge \(k \in \langle -1, 1\rangle\)

• når \(k = -1\) eller \(k = 1\) har likningen én løsning

• når \(\abs{k} > 1\) har likningen ingen løsning

---

Eksempel 2

Finn løsningene til likningen

\[ \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qfor x \in \langle -\pi, \pi\rangle \]

Skjul løsningsforslag

For likningen

\[ \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

vil det være én vinkel i 3. kvadrant og én i 4. kvadrant per omløp i enhetssirkelen. I 4. kvadrant vil vinkelen kunne beskrives som

\[ x = -\dfrac{\pi}{3} \]

I 3. kvadrant vil vinkelen kunne beskrives som

\[ x = \pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Vi kan ta så mange omløp vi vil i positiv eller negativ omløpsretning som svarer til å legge til eller trekke fra \(2\pi\) til vinklene. Altså blir de generelle løsningene

\[ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \or x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

Men siden vi skal finne løsningene \(x \in \langle -\pi, \pi\rangle\), må prøve ut ulike verdier for \(n\) for å sjekke hvilke løsninger som faller innenfor intervallet. For den første av løsningene får vi:

$n$	$x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n$
$-1$	$-\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{3}$
$0$	$-\dfrac{\pi}{3}$
$1$	$-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$

Vi finner at det bare er \(x = -\dfrac{\pi}{3}\) som faller innenfor intervallet \(\langle -\pi, \pi\rangle\).

Så sjekker vi den andre løsningen:

$n$	$x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot n$
$-1$	$\dfrac{4\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{2\pi}{3}$
$0$	$\dfrac{4\pi}{3}$
$1$	$\dfrac{4\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{10\pi}{3}$

Vi ser at det bare er \(x = -\dfrac{2\pi}{3}\) som faller innenfor intervallet \(\langle -\pi, \pi\rangle\).

Ergo er løsningene av likningen gitt ved

\[ x = -\dfrac{\pi}{3} \or x = -\dfrac{2\pi}{3} \]

---

Likningen \(\tan x = k\)

Likningen

\[ \tan x = k \]

har to løsninger per omløp i enhetssirkelen. Hvis én av løsningene er \(x_1\), så vil de generelle løsningene være gitt ved

\[ x = x_1 + \pi\cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

---

Eksempel 3

Løs likningen

\[ \tan x = \sqrt{3} \]

Skjul løsningsforslag

Siden \(\tan x\) skal være positiv, så må løsningen ligge i 1. kvadrant eller 3. kvadrant siden \(\sin x\) og \(\cos x\) må ha samme fortegn. Vi skriver om likningen ved å bruke definisjonen av tangens:

\[ \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \liff \sin x = \sqrt{3} \cos x \]

Så kvadrerer vi likningen på begge sider:

\[ \sin^2 x = 3 \cos^2 x \]

Nå kan vi bruke Pytagoras’ identitet \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) til å skrive om likningen:

\[ \sin^2 x = 3 (1 - \sin^2 x) \liff \sin^2 x = 3 - 3\sin^2 x \liff 4\sin^2 x = 3 \liff \sin^2 x = \dfrac{3}{4} \]

altså er

\[ \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Siden vinkelen må ligge i 1. kvadrant, så har vi at én løsning er \(x = \dfrac{\pi}{3}\). Resten av de generelle løsningene er da gitt ved

\[ x = \dfrac{\pi}{3} + \pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

Løsning med variabelskifte

I mange likninger, så jobber vi ikke med enkle uttrykk som \(\cos x\) og \(\sin x\), men heller mer sammensatte uttrykk som \(\cos 2x\) eller \(\sin \left(\dfrac{x}{2} - \pi\right)\). Da kan det være lurt å gjøre et variabelskifte for å forenkle likningen til en grunnlikning.

Eksempel 4

Gitt likningen

\[ \sin \left(\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Finn løsningene for alle \(x \in \langle -2, 2 \rangle\).

Skjul løsningsforslag

Gitt likningen

\[ \sin \left(\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

gjør vi variabelskiftet

\[ u = \pi x - \dfrac{\pi}{2} \]

slik at likningen kan skrives om til

\[ \sin u = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Så løser vi likningen for \(u\), før vi deretter løser for \(x\).

Først og fremst har vi at \(\sin u = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) dersom

\[ u = \dfrac{\pi}{4} \or u = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} \]

Men dette er bare spesielle løsninger for \(u\). Vi kan legge til eller trekke fra \(2\pi\) så mange ganger vi vil og fortsatt få samme sinusverdi. Dermed er de generelle løsningene:

\[ u = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi \cdot n \or u = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

Nå setter vi tilbake definisjonen av variabelen \(u\) for å løse likningene for \(x\):

\[ \pi x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi \cdot n \or \pi x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot n \]

som gir

\[ \pi x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n \or \pi x = \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n \]

som vi forenkler til:

\[ \pi x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot n \or \pi x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi \cdot n \]

Så deler vi begge likningene med \(\pi\) for å få \(x\) alene:

\[ x = \dfrac{3}{4} + 2 \cdot n \or x = \dfrac{5}{4} + 2 \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

Så sjekker vi hvilke løsninger som ligger i intervallet \(\langle -2, 2 \rangle\). For den første løsningen får vi:

$n$	$x = \dfrac{3}{4} + 2 \cdot n$
$-2$	$\dfrac{3}{4} - 4 = -\dfrac{13}{4}$
$-1$	$\dfrac{3}{4} - 2 = -\dfrac{5}{4}$
$0$	$\dfrac{3}{4}$
$1$	$\dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{11}{4}$
$2$	$\dfrac{3}{4} + 4 = \dfrac{19}{4}$

Altså ligger \(x \in \left\{-\dfrac{5}{4}, \dfrac{3}{4}\right\}\) i intervallet \(\langle -2, 2 \rangle\).

Så sjekker vi den andre løsningen:

$n$	$x = \dfrac{5}{4} + 2 \cdot n$
$-2$	$\dfrac{5}{4} - 4 = -\dfrac{11}{4}$
$-1$	$\dfrac{5}{4} - 2 = -\dfrac{3}{4}$
$0$	$\dfrac{5}{4}$
$1$	$\dfrac{5}{4} + 2 = \dfrac{13}{4}$
$2$	$\dfrac{5}{4} + 4 = \dfrac{21}{4}$

Altså ligger \(x \in \left\{-\dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{4}\right\}\) i intervallet \(\langle -2, 2 \rangle\).

Ergo er alle løsningene til likningen

\[ x \in \left\{-\dfrac{5}{4}, -\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{4}\right\} \]

Løsning med identiteter

I en del trigonometriske likninger, må vi først bruke en trigonometrisk identitet for å forenkle likningen før vi kan få en likning vi kan løse.

Eksempel 5

Løs likningen

\[ \cos^2 (\pi x) - \sin^2 \left(\pi x\right) = \dfrac{1}{2} \qfor x \in \langle 0, 1\rangle \]

Skjul løsningsforslag

Vi kan først merke oss at

\[ \cos^2 (\pi x) - \sin^2 \left(\pi x\right) = \cos \left(2\pi x\right) \]

Dermed kan vi skrive om likningen til

\[ \cos \left(2\pi x\right) = \dfrac{1}{2} \]

Vi setter \(u = 2\pi x\) for å gjøre et variabelskifte, og får

\[ \cos u = \dfrac{1}{2} \]

Vi løser likningen for \(u\) som gir oss:

\[ u = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \or u = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

Så setter vi tilbake definisjonen av \(u\):

\[ 2\pi x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \or 2\pi x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n \]

Så deler vi med \(2\pi\) for å få \(x\) alene:

\[ x = -\dfrac{1}{6} + n \or x = \dfrac{1}{6} + n \qfor n \in \mathbb{Z} \]

Vi skal bare finne spesielle løsninger for \(x \in \langle 0, 1\rangle\). For den første løsningen får vi:

$n$	$x = -\dfrac{1}{6} + n$
$0$	$-\dfrac{1}{6}$
$1$	$-\dfrac{1}{6} + 1 = \dfrac{5}{6}$
$2$	$-\dfrac{1}{6} + 2 = \dfrac{11}{6}$

Altså er det bare \(x = \dfrac{5}{6}\) som ligger i intervallet \(\langle 0, 1\rangle\).

Så sjekker vi den andre løsningen:

$n$	$x = \dfrac{1}{6} + n$
$0$	$\dfrac{1}{6}$
$1$	$\dfrac{1}{6} + 1 = \dfrac{7}{6}$

Altså er det bare \(x = \dfrac{1}{6}\) som ligger i intervallet \(\langle 0, 1\rangle\).

Den fullstendige løseningen til likningen er dermed

\[ x \in \left\{\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{6}\right\} \]