10. Derivasjon

Vis læringsmål

• Kunne derivere sinus- og cosinusfunksjoner.

• Kunne derivere tangensfunksjonen.

• Kunne finne koordinatene til topp- og bunnpunkter med derivasjon

• Kunne finne den raskeste vekstfarten til sinus- og cosinusfunksjoner.

De deriverte til sinus og cosinus

De deriverte til sinus og cosinus er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} (\cos x)' &= -\sin x \\ \\ (\sin x)' &= \cos x \end{align*} \end{split}\]

Vis forklaring

Vi tenker oss et punkt på enhetssirkelen der vi har rotert en vinkel \(x\) som beveger seg med en konstant vinkelfart lik \(1\). Posisjonsvektoren til dette punktet vil være gitt ved:

\[ \vec{r}(x) = [\cos x, \sin x] \]

Fra vektorregningen vet vi at fartsvektoren er lik en tangentvektor til sirkelen i punktet gitt ved:

\[ \vec{v}(x) = \vec{r}'(x) = [(\cos x)', (\sin x)'] \]

Vi vet også at banefarten \(\abs{\vec{v}(x)}\) til punktet på sirkelen er gitt ved

\[ v = \omega r \liff \abs{\vec{v}(x)} = \omega \cdot \abs{\vec{r}(x)} \]

Siden både vinkelfarten \(\omega = 1\) og radiusen til enhetssirkelen \(\abs{\vec{r}(x)} = 1\), så vil banefarten være \(\abs{\vec{v}(x)} = 1\). Ved å rotere posisjonsvektoren \(90\degree\) mot klokka, får vi en vektor som tangerer sirkelen i punktet og har lengde \(1\). Dermed må fartsvektoren være lik:

\[ \vec{v}(x) = [-\sin x, \cos x] \]

Sammenligner vi de to uttrykkene for fartsvektoren, så får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} (\cos x)' &= -\sin x \\ \\ (\sin x)' &= \cos x \end{align*} \end{split}\]

---

Eksempel 1

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 4 \cos \left(4x - 2\right) + 3 \]

Finn \(f'(x)\).

Skjul løsningsforslag

Vi bruker kjernereglene med \(u = 4x - 2\). Da har vi at \(u' = 4\) og \((\cos u)' = -\sin u\). Dermed får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} f'(x) &= \left(4 \cos \left(4x - 2\right) + 3 \right)' \\ \\ &= 4 \cdot (\cos u)' \cdot u' + 0 \\ \\ &= 4 \cdot (-\sin u) \cdot 4 \\ \\ &= -16 \sin \left(4x - 2\right) \end{align*} \end{split}\]

---

Eksempel 2

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3 \sin x + 4 \cos (2x) \]

Finn \(f'(x)\).

Skjul løsningsforslag

Vi vet at \((\sin x)' = \cos x\) og \((\cos x)' = -\sin x\). Dermed får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} f'(x) &= 3 (\sin x)' + 4 (\cos (2x))' \\ \\ &= 3 \cos x + 4 \cdot (-\sin (2x)) \cdot (2x)' \\ \\ &= 3 \cos x - 8 \sin (2x) \end{align*} \end{split}\]