Vektorer i 3D

Innhold

1. Vektorer i 3D#

Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet.

Regnereglene for vektorer i 2 dimensjoner (2D) generaliseres naturlig over til 3 dimensjoner (3D). Hovedforskjellen er at vi nå har én ekstra dimensjon å ta hensyn til, men regnereglene du kjenner til fra før av er ellers de samme.

Representasjon av vektorer i 3D#

En vektor $\vec{a}$ kan skrives som

\[ \vec{a} = [a_x, a_y, a_z] \]

Eksempel 1#

I figuren til høyre vises vektoren

\[ \vec{a} = [2, 3, 4] \]

Posisjonsvektorer#

Gitt et punkt $P(x, y, z)$ i rommet, så er posisjonsvektoren $\lvec{OP}$ fra origo $O$ til punktet $P$ gitt ved

\[ \lvec{OP} = [x, y, z] \]

Eksempel 2#

Finn posisjonsvektoren til punktet $P(-1, 3, 5)$.

Posisjonsvektoren til punktet har de samme koordinatene som punktet:

\[ \lvec{OP} = [-1, 3, 5] \]

Vektorer mellom to punkter#

Gitt to punkter $A$ og $B$ i rommet, så er vektoren $\lvec{AB}$ fra $A$ til $B$ gitt ved

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} \]

Eksempel 3#

Gitt punktene $A(1, 2, 3)$ og $B(4, 2, 3)$.

Finn vektoren $\lvec{AB}$ fra $A$ til $B$.

Vi har at

\[ \lvec{OA} = [1, 2, 3] \quad \text{og} \quad \lvec{OB} = [4, 2, 3] \]

Da er vektoren fra $A$ til $B$ gitt ved

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [4, 2, 3] - [1, 2, 3] = [3, 0, 0] \]

Lengden av en vektor#

Lengden av vektoren $\vec{a} = [x, y, z]$ er gitt ved

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Fra figuren til høyre ser vi at vektoren $\vec{a}$ kan danne en rettvinklet trekant med kateter $\sqrt{x^2 + y^2}$ og $z$. Lengden $\abs{\vec{a}}$ av vektoren er hypotenusen i trekanten. Fra Pytagoras’ setning har vi da at

\[ \abs{\vec{a}}^2 = \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \]

Altså er

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Eksempel 4#

Finn lengden av vektoren $\vec{a} = [-2, 1, 5]$.

Lengden av vektoren er gitt ved:

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} \]

Prikkproduktet (skalarproduktet)#

Prikkproduktet mellom to vektorer $\vec{a} = [a_x, a_y, a_z]$ og $\vec{b} = [b_x, b_y, b_z]$ er gitt ved

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \]

Dersom vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $\varphi$, så kan prikkproduktet også skrives som

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi \]

Hvis $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er ortogonale vektorer, er $\varphi = 90\degree$ og $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Da skriver vi at $\vec{a} \perp \vec{b}$. Vi sier iblant at vektorene står normalt på hverandre.

Sammenhengen mellom vinkelen mellom vektorene og prikkproduktet kan oppsummeres i tabellen under:

$\varphi$	$\vec a \cdot \vec b$
$\varphi \in [0^\circ, 90^\circ\rangle$	$\vec a \cdot \vec b > 0$
$\varphi = 90^\circ$	$\vec a \cdot \vec b = 0$
$\varphi \in \langle 90^\circ, 180^\circ]$	$\vec a \cdot \vec b < 0$

Eksempel 5#

To vektorer er gitt ved

\[ \vec{a} = [-2, 1, 4] \quad \text{og} \quad \vec{b} = [5, 2, 3] \]

Finn $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = [-2, 1, 4] \cdot [5, 2, 3] = (-2) \cdot 5 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = -10 + 2 + 12 = 4 \]

Multiplikasjon med skalarer#

Gitt en vektor $\vec{a} = [x, y, z]$ og en skalar $k$, så er $k \cdot \vec{a}$ en ny vektor gitt ved

\[ k \cdot \vec{a} = k \cdot [x, y, z] = [k \cdot x, k \cdot y, k \cdot z] \]

Når $k \neq 0$ er $\vec{a}$ og $k \cdot \vec{a}$ parallelle, og lengden av $k \cdot \vec{a}$ er gitt ved

\[ \abs{k \cdot \vec{a}} = \abs{k} \cdot \abs{\vec{a}} \]

Eksempel 6#

Gitt vektoren $\vec{a} = [-2, 3, 1]$.

En annen vektor er gitt ved $\vec{b} = -3 \cdot \vec{a}$.

Finn $\vec{b}$ og $\abs{\vec{b}}$.

Først finner vi komponentene til $\vec{b}$:

\[ \vec{b} = -3 \cdot \vec{a} = -3 \cdot [-2, 3, 1] = [6, -9, -3] \]

For å regne ut lengden bruker vi at $\abs{\vec{b}} = \abs{-3} \cdot \abs{\vec{a}}$:

\[ \abs{\vec{b}} = \abs{-3} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = 3 \cdot \sqrt{4 + 9 + 1} = 3 \cdot \sqrt{14} \]

Enhetsvektorer#

En enhetsvektor er en vektor med lengde lik $1$. Gitt vektoren $\vec{a}$, så er enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ gitt ved

\[ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} \]

Vi bruker en “hatt” over enhetsvektorer for å indikere at de er enhetsvektorer.

Gitt vektoren $\vec{a}$, så er enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ gitt ved

\[ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} \]

Lengden av enhetsvektoren er da

\[ \abs{\hat{a}} = \abs{\dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}}} = \dfrac{\abs{\vec{a}}}{\abs{\vec{a}}} = 1 \]

Altså har $\hat{a}$ lengde lik $1$, og er dermed en enhetsvektor.

Eksempel 7#

Gitt vektoren $\vec{a} = [-2, 3, 1]$.

Finn enhetsvektoren $\hat{a}$ i samme retning som $\vec{a}$.

Lengden av vektoren er gitt ved

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

Dermed er enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ gitt ved

\[ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} = \dfrac{[-2, 3, 1]}{\sqrt{14}} = \left[-\dfrac{2}{\sqrt{14}}, \dfrac{3}{\sqrt{14}}, \dfrac{1}{\sqrt{14}}\right] \]

Projeksjonslengde#

Gitt en vektor $\vec{a}$ og en annen vektor $\vec{b}$, så er projeksjonslengden $L$ av $\vec{b}$ på $\vec{a}$ gitt ved

\[ L = \dfrac{\abs{\vec{b} \cdot \vec{a}}}{\abs{\vec{a}}} = \abs{\vec{b} \cdot \hat{a}} \]

Projeksjonslengden er lengden av den delen av $\vec{b}$ som er parallell med $\vec{a}$.

La $\varphi$ være vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$. Da kan vi skrive projeksjonslengden $L$ som

\[ \cos \varphi = \dfrac{L}{\abs{\vec{b}}} \liff L = \abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi \]

Samtidig er prikkproduktet mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ gitt ved

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \underbrace{\abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi}_{=L} \]

Ergo får vi at

\[ \abs{\vec{a}} \cdot L = \vec{a} \cdot \vec{b} \liff L = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\abs{\vec{a}}} \]

Men siden $\vec{a}$ og $\vec{b}$ kan ha en vinkel større enn $90\degree$, så vil $L$ bli negativ. Dermed tar vi absoluttverdien av prikkproduktet:

\[ L = \dfrac{\abs{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{\abs{\vec{a}}} \]

Hvis vi i stedet bruker enhetsvektoren $\hat{a}$, så er $\abs{\hat{a}} = 1$, og da får vi at

\[ L = \abs{\vec{b} \cdot \hat{a}} \]

Eksempel 8#

En vektor $\vec{a} = [2, 1, 4]$ og $\vec{b} = [-3, 4, -1]$.

Finn projeksjonslengden $L$ av $\vec{b}$ på $\vec{a}$.

Vi finner først enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$:

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{21} \]

Enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ er da

\[ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} = \dfrac{[2, 1, 4]}{\sqrt{21}} = \left[\dfrac{2}{\sqrt{21}}, \dfrac{1}{\sqrt{21}}, \dfrac{4}{\sqrt{21}}\right] \]

Så finner vi projeksjonslengden $L$ av $\vec{b}$ på $\vec{a}$:

\[ \vec{b} \cdot \hat{a} = [-3, 4, -1] \cdot \left[\dfrac{2}{\sqrt{21}}, \dfrac{1}{\sqrt{21}}, \dfrac{4}{\sqrt{21}}\right] = -\dfrac{6}{\sqrt{21}} + \dfrac{4}{\sqrt{21}} - \dfrac{4}{\sqrt{21}} = -\dfrac{6}{\sqrt{21}} \]

Projeksjonslengden er da

\[ L = \abs{\vec{b} \cdot \hat{a}} = \abs{-\dfrac{6}{\sqrt{21}}} = \dfrac{6}{\sqrt{21}} \]